Парная регрессия и корреляция

ПАРНАЯ РЕГРЕССИЯ И  КОРРЕЛЯЦИЯ

Задача 1. По территориям региона приводятся данные за 200X г.

Требуется:

1. Постройте поле корреляции и сформулируйте гипотезу о форме связи.

2. Рассчитайте параметры уравнений линейной, степенной, экспоненциальной, полулогарифмической, обратной для линейной, гиперболической парной регрессии.

3. Оцените тесноту связи с помощью показателей корреляции, детерминации.

4. Дайте с помощью среднего коэффициента эластичности сравнительную оценку силы связи прожиточного минимума x со значением заработной платы y .

5. Оцените с помощью средней ошибки аппроксимации качество уравнений.

6. Оцените с помощью F – критерия Фишера статистическую надежность результатов регрессионного моделирования.

7. По значениям характеристик, рассчитанных в пп. 4,5,6, выберите лучшее уравнение регрессии и дайте его обоснование.

8. Рассчитайте прогнозное значение заработной платы y , если прогнозное значение среднедушевого прожиточного минимума x увеличится на 10 % от его среднего значения.

9. Оценить точность прогноза, рассчитав ошибку прогноза и его доверительный интервал для уровня значимости α = 0,05.

10. Оцените полученные результаты, сделайте выводы.

Номер региона	Среднедушевой прожиточный минимум в день одного трудоспособного, руб., x	Среднедневная заработная плата, руб., y
1	81	124
2	77	131
3	85	146
4	79	139
5	93	143
6	100	159
7	72	135
8	90	152
9	71	127
10	89	154
11	82	127
12	111	162

Цель работы - овладеть навыками определения параметров линейной регрессии и корреляции с использованием формул и табличного процессора MS Excel.

 

Рисунок 1 - Поле корреляции

Линейная модель парной регрессии и корреляции: ŷ = a₀ + a₁∙ x.

Таблица 1 Расчет показателей  парной линейной регрессии и корреляции

№	x	y	xy	x2	y2	ŷ	(y-ŷ)²	A
1	81	124	10044	6561	15376	137,005	10,488	81
2	77	131	10087	5929	17161	133,216	1,692	77
3	85	146	12410	7225	21316	140,794	3,566	85
4	79	139	10981	6241	19321	135,111	2,798	79
5	93	143	13299	8649	20449	148,372	3,757	93
6	100	159	15900	10000	25281	155,002	2,514	100
7	72	135	9720	5184	18225	128,480	4,830	72
8	90	152	13680	8100	23104	145,530	4,256	90
9	71	127	9017	5041	16129	127,533	0,419	71
10	89	154	13706	7921	23716	144,583	6,115	89
11	82	127	10414	6724	16129	137,952	8,624	82
12	111	162	17982	12321	26244	165,422	2,112	111
Итого	1030	1699	147240	89896	242451	1699	51,171	1030
Среднее значение	85,833	141,58	12270	7491,333	20204,25	141,583	4,264	85,8333

 

Решим систему по формуле:

Система нормальных уравнений  составит:

12 ∙ a₀ + a₁∙ 1030 = 1699

a₀ ∙ 1030 + a₁∙ 89896 =  147240

Параметры уравнения  определяются  по следующим формулам:

a₀ = y - a₁ ∙ x; a₁ = (y ∙ x)/(x² - (x)²)

Получим: a₁ = 0,947; a₀ = 60,279.

Уравнение линейной регрессии  имеет вид: ŷ = 60,279 + 0,947 ∙ x.

Величина коэффициента регрессии a₁ = 0,947 означает, что с ростом среднедушевого прожиточного минимума в день одного трудоспособного на 1 руб. среднедневная заработная плата увеличится в среднем на 0,947 руб.

Линейный коэффициент  парной корреляции: r_xy = σ_x/σ_y.

Показатель тесноты  связи = 0,838. (коэффициент корреляции > 0,7, значит связь сильная (выше средней)).

Коэффициент детерминации: r²_xy = 1- σ²_ост./σ²_y = 0,702.

Таким образом, вариация величины среднедневной заработной платы на 70,2% зависит от вариации уровня среднедушевого прожиточного минимума, а на остальные 29,8% от вариации приходится влияние факторов, не включенных в модель. Коэффициент характеризует долю дисперсии результативного признака y, объясняемую регрессией, в общей дисперсии результативного признака.

Средняя ошибка аппроксимации характеризует качество модели:

Ā = 1/n ∙ ∑|(y - ŷ)/y| = 4,264 %

Так как допустимый предел значений не более 8-10%, качество модели по данному показателю удовлетворительное.

С помощью F−критерия Фишера оценим статистическую надежность результатов регрессионного моделирования:

F _факт. = r²_xy∙ (n - 2)/(1- r²_xy)

F_факт = 23,579; F_табл = 4,96. Так как F_факт > F_табл, уравнение регрессии значимо, статистически надежно.

 

Степенная модель парной регрессии и корреляции: ŷ = a₀ ∙ x ^a1.

Таблица 2 Расчет показателей парной степенной модели линейной регрессии и корреляции

№	x	y	X=lnx	Y=lny	XY	X2	Y2	ŷ=ea0 * Xa1	(y-ŷ)2	A
1	81	124	4,3944	4,8203	21,182	19,311	23,235	136,98802	168,68	10,4742
2	77	131	4,3438	4,8752	21,176	18,868	23,767	133,00727	4,0291	1,5323
3	85	146	4,4427	4,9836	22,140	19,737	24,836	140,88746	26,138	3,5017
4	79	139	4,3694	4,9345	21,560	19,092	24,349	135,00817	15,934	2,8718
5	93	143	4,5326	4,9628	22,494	20,544	24,629	148,4633	29,848	3,8205
6	100	159	4,6052	5,0689	23,343	21,207	25,693	154,8714	17,044	2,5965
7	72	135	4,2767	4,9053	20,978	18,289	24,061	127,90768	50,300	5,2536
8	90	152	4,4998	5,0239	22,606	20,248	25,239	145,65554	40,252	4,1740
9	71	127	4,2627	4,8442	20,649	18,170	23,466	126,87021	0,0168	0,1022
10	89	154	4,4886	5,0370	22,609	20,147	25,370	144,71096	86,286	6,0318
11	82	127	4,4067	4,8442	21,347	19,419	23,466	137,97028	120,34	8,6380
12	111	162	4,7095	5,0876	23,960	22,179	25,883	164,57463	6,6288	1,5893
Итого	1030	1699	53,332	59,387	264,04	237,216	293,99	1696,9150	565,51	50,586
Среднее значение	85,83	141,58	4,4443	4,9489	22,004	19,768	24,500	141,40959	47,126	4,2155

 

Параметры уравнения определяются по следующим формулам:

a₀ = Y - a₁ ∙ X; a₁ = (Y∙ X - X∙ Y)/(X² - (X)²)

Получим: a₁ = 0,582; a₀ = 2,361.

Уравнение степенной модели регрессии имеет вид: ŷ = 2,361 ∙ x ^0,582.

Индекс корреляции: r_xy = √ 1 -σ²_ост/σ²_y.

Показатель тесноты  связи = 0,838. Так как коэффициент корреляции > 0,7, между исследуемыми факторами связь хорошая.

σ²_y - общая дисперсия результативного признака  = 158,410.

σ²_ост - остаточная дисперсия = 47,126.

Коэффициент детерминации = 0,703

Таким образом, вариация величины среднедневной заработной платы на 70,3% зависит от вариации уровня среднедушевого прожиточного минимума, а на остальные 29,7% от вариации приходится влияние факторов, не включенных в модель.

Средняя ошибка аппроксимации: Ā = 1/n ∙ ∑|y - ŷ|/y ∙ 100% = 4,216 %

Так как допустимый предел значений не более 8-10%, качество модели по данному показателю удовлетворительное.

С помощью F−критерия Фишера оценим статистическую надежность результатов регрессионного моделирования: F _факт. = 23,614; F_табл = 4,96. Так как F_факт > F_табл, уравнение регрессии значимо, статистически надежно.

 

Экспоненциальная  модель парной регрессии и корреляции: ŷ = e^{a0 +x ∙a1}.

Таблица 3 Расчет показателей экспоненциальной нелинейной регрессии и корреляции

№	x	y	X=x	Y=lny	XY	X2	Y2	ŷ=ea0+a1x	(y-ŷ)2	A
1	81	124	81	4,8203	390,4428	6561	23,2351	136,6150	159,139	10,173
2	77	131	77	4,8752	375,3902	5929	23,7675	133,0686	4,2791	1,5791
3	85	146	85	4,9836	423,6066	7225	24,8363	140,2560	32,9936	3,9343
4	79	139	79	4,9345	389,8234	6241	24,3490	134,8302	17,3876	2,9999
5	93	143	93	4,9628	461,5446	8649	24,6298	147,8316	23,3443	3,3787
6	100	159	100	5,0689	506,8904	10000	25,6938	154,7952	17,6806	2,6446
7	72	135	72	4,9053	353,1798	5184	24,0617	128,7647	38,8786	4,6187
8	90	152	90	5,0239	452,1492	8100	25,2394	144,9439	49,7879	4,6421
9	71	127	71	4,8442	343,9373	5041	23,4661	127,9208	0,8479	0,7250
10	89	154	89	5,0370	448,2888	7921	25,3709	143,9940	100,120	6,4974
11	82	127	82	4,8442	397,2233	6724	23,4661	137,5163	110,592	8,2806
12	111	162	111	5,0876	564,7232	12321	25,8836	166,4066	19,4177	2,7201
Итого	1030	1699	1030	59,3874	5107,1996	89896	293,999	1696,942	574,469	52,193
Среднее значение	85,83	141,58	85,83	4,9489	425,6000	7491,3	24,5000	141,4119	47,8725	4,3495

 

Параметры уравнения: a₁ = 0,007; a₀ = 4,385.

Уравнение экспоненциальной регрессии имеет вид: ŷ = e ^{4,385+x ∙ 0,007}.

Величина коэффициента эластичности = 0,564 означает, что при увеличении среднедушевого прожиточного минимума в день одного трудоспособного на 1%, среднедневная заработная плата увеличится на 0,564%.

Индекс корреляции: r_xy = √ 1 - ∑(y - ŷ)² /∑(y -ȳ)²

Показатель тесноты  связи = 0,835. Так как коэффициент корреляции > 0,7, между исследуемыми факторами связь сильная.

Коэффициент детерминации = 0,698.

Таким образом, вариация величины среднедневной заработной платы на 69,8% зависит от вариации уровня среднедушевого прожиточного минимума, а на остальные 30,2% от вариации приходится  влияние факторов, не включенных в модель.

Средняя ошибка аппроксимации: Ā = ∑|(y - ŷ_x)|/y ∙ 100% = 4,350 %

Так как допустимый предел значений не более 8-10%, качество модели по данному показателю удовлетворительное.

С помощью F−критерия Фишера оценим статистическую надежность результатов регрессионного моделирования: F _факт. = 23,090; F_табл = 4,96. Так как F_факт > F_табл, уравнение регрессии значимо, статистически надежно.

Полулогарифмическая модель парной регрессии и корреляции: ŷ = a₀ +ln x ∙a₁.

Таблица 4 Расчет показателей парной полулогарифмической регрессии и корреляции

№	x	y	X=lnx	Y=y	XY	X2	Y2	ŷ=a0+a1lnx	A	(y-ŷ)2
1	81	124	4,3944	124	544,912	19,311	15376	137,403	10,809	179,64
2	77	131	4,3438	131	569,039	18,869	17161	133,160	1,649	4,667
3	85	146	4,4427	146	648,627	19,737	21316	141,441	3,122	20,78
4	79	139	4,3694	139	607,353	19,092	19321	135,309	2,656	13,627
5	93	143	4,5326	143	648,162	20,544	20449	148,977	4,180	35,72
6	100	159	4,6052	159	732,222	21,208	25281	155,056	2,480	15,55
7	72	135	4,2767	135	577,350	18,290	18225	127,536	5,529	55,71
8	90	152	4,4998	152	683,971	20,248	23104	146,230	3,796	33,29
9	71	127	4,2627	127	541,360	18,170	16129	126,364	0,501	0,404
10	89	154	4,4886	154	691,250	20,148	23716	145,294	5,653	75,800
11	82	127	4,4067	127	559,653	19,419	16129	138,431	9,001	130,66
12	111	162	4,7095	162	762,944	22,180	26244	163,799	1,111	3,237
Итого	1030	1699	53,332	1699	7566,84	237,216	242451	1699,000	50,487	569,11
Среднее значение	85,83	141,5	4,4443	141,5	630,570	19,768	20204,2	141,583	4,207	47,42