Моделирование оптимального управленческого решения задачей линейного программирования

Данный метод является методом целенаправленного перебора опорных решений задачи линейного  программирования.

Он позволяет за конечное число шагов либо найти оптимальное  решение, либо установить, что оптимальное  решение отсутствует.

 

Требуется решить симплексным методом ЗЛП.

 

 

 

Приведём задачу к канонической форме:

 

 

 

 

 

 

 

1		-1		-1		2		0		0		0
i	Базис		С															ϴ
1			0		2		-1		2		-1		1		1	0	0	2
2			0		12		3		1		1		-2		0	1	0	-
3			0		6		2		-1		4		2		0	0	1	3
							-1		1		1		-2		0	0	0
1			2		2		-1		2		-1		1		1	0	0	-
2			0		14		1		5		-1		0		2	1	0	14
3			0		2		4		-5		6		0		-2	0	1	1/2
							-3		5		-1		0		2	0	0
1			2		5/2		0		3/4		1/2		1		1/2	0	1/4
2			0		27/2		0		25/4		-5/2		0		5/2	1	-1/4
3			1		1/2		1		-5/4		3/2		0		-1/2	0	1/4
					11/2		0		5/4		7/2		0		1/2	0	3/4

 

Ответ:,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

5. Анализ чувствительности производственной программы предприятия к изменению цен на продукцию.

 

Пусть предприятие для  изготовления различных изделий  А, В и С использует три вида сырья. Нормы расхода сырья каждого  вида на производство единицы продукции  данного вида, цена изделия каждого  вида приведены в таблице. Изделия  А, В и С могут производиться  в любых соотношениях. Однако производство ограничено, имеющимся в распоряжении предприятия сырьем первого вида в количестве 200кг, второго вида в количестве 250 кг, третьего вида в количестве 300 кг.

Найти план производства изделий, реализация которого обеспечивает максимальный выпуск продукции в стоимостном  выражении.

Провести анализ устойчивости оптимального плана задачи при условии  возможного изменения цены единицы  каждого изделия.

Вид сырья	Нормы затрат сырья на производство единицы продукции (кг)
	А	В	С
I  200	20	16	10
II  250	7	6	9
III  300	8	5	7
Цена на ед. продукции	10	8	14

 

Решение:

Составим математическую модель задачи. Пусть:

- объём выпускаемой продукции  изделий вида А

- объём выпускаемой продукции  изделий вида В

- объём выпускаемой продукции  изделий вида С

F = 10+8+14 → max

 

 

 

 

 

Приведем задачу к канонической форме:

F = 10+8+14 → max

 

 

 

 

10		8			14	0		0		0
i	Базис		С													ϴ
1			0	200			20		16			10	1	0	0	20
2			0	250			7		6			9	0	1	0	250/9
3			0	300			8		5			7	0	0	1	300/7
							-10		-8			-14	0	0	0
1			14	20			2		16/10			1	1/10	0	0
2			0	70			-11		-84/10			0	-9/10	1	0
3			0	160			-6		-62/10			0	-7/10	0	1
				280			18		144/10			0	14/10	0	0

 

= (0; 0;) – оптимальное решение.

 

Таким образом планом производства изделий А, В и С является план, согласно которому производится 20 изделий вида С и не производятся изделия видов А и В. При этом плане общая стоимость выпускаемой продукции максимальна и равна

Проведём анализ устойчивости оптимального плана задачи, при условии  возможного изменения цены единицы  каждого из изделий.

Начнём с изделия вида А. Предположим, что его цена:

= 10+

10+

 

Тогда требуется найти  значения параметра , такие что для найденного плана =(0; 0; достигается максимальное значение функции:

F = (++8+14 → max

 

 

 

Используем последнюю  таблицу, первые три строки переписываем, а оценочную строку пересчитаем:

10+		8			14	0		0		0
i	Базис		С
1			14	20			2		16/10		1		1/10	0	0
2			0	70			-11		-84/10		0		-9/10	1	0
3			0	160			-6		-62/10		0		-7/10	0	1
				280			18-t1		144/10		0		14/10	0	0

 

= (0; 0; является оптимальным для построенной задачи параметрического программирования, если:

 

 

 

 

 

Таким образом цена одного из изделий вида А .

Вывод: при нецелесообразно включать в план производства продукции выпуск изделий вида А.

Аналогично можно проанализировать для изделий вида В и С.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

6. Анализ чувствительности производственной программы предприятия к изменению уровня запасов сырья.

 

Для производства продукции  трех видов А, В и С необходимо три различных вида сырья. Каждый из видов сырья может быть использован  в объеме соответственно не больше чем 100,120,150 кг. Нормы затрат каждого из видов сырья на единицу продукции данного вида и цена единицы продукции данного вида приведены в таблице. Определить план производства продукции, обеспечивающий ее максимальный выпуск в стоимостном выражении и провести анализ устойчивости оптимального плана относительно возможных изменений объемов каждого из используемых видов сырья.

 

Вид сырья	Нормы затрат сырья на производство единицы продукции (кг)
	А	В	С
I  100	5	3	2
II  120	4	2	4
III  150	2	3	6
Цена на ед. продукции	11	15	14

 

Решение:

Составим математическую модель задачи. Пусть:

- предполагаемый выпуск  изделий вида А

- предполагаемый выпуск  изделий вида В

- предполагаемый выпуск  изделий вида С. 

 

Тогда для определения  оптимального плана производства нужно  решить задачу, состоящую в максимизации целевой функции.

 

 

 

F = 11+15+14 → max

 

 

Приведем задачу к канонической форме:

F = 11+15+14 → max

 

 

11		15		14		0		0			0
i	Базис		С													ϴ
1			0		100		5		3	2			1	0	0	100/3
2			0		120		4		2	4			0	1	0	60
3			0		150		2		3	6			0	0	1	50
							-11		-15	-14			0	0	0
1			15		100/3		5/3		1	2/3			1/3	0	0	50
2			0		160/3		2/3		0	8/3			-2/3	1	0	20
3			0		50		-3		0	4			-1	0	1	12,5
							14		0	-4			5	0	0
1			15		25		26/12		1	0			6/12	0	-2/12
2			0		20		32/12		0	0			0	1	-8/12
3			14		12,5		-3/4		0	1			-1/4	0	1/4
					550		11		0	0			4	0	1

 

=(0; 25;) – оптимальное решение.

 

Таким образом оптимальным планом производства изделий видов А, В и С является план, согласно которому производится 25 изделий вида В и 12,5 изделий вида С. При данном плане общая стоимость выпускаемой продукции максимальна и равна 550.

Проведем анализ устойчивости найденного плана относительно возможного изменения сырья каждого вида.

Начнем с сырья первого  вида. Предположим, что производство изделий ограничено не 100 кг сырья первого вида, а 100+, где 100.

Таким образом следует  найти такие значения параметра  , при которых задача состоящая в определении максимального значения функции F = 11+15+14 → max  и ограничений

,

имеет оптимальный план =(0; 25;).

 

Найдём решение задачи параметрического программирования при  каждом значении параметра . Оптимальный план задачи параметрического программирования определяется из таблицы, отличающейся от последней только элементами столбца , который обозначим через ,,. Указанные числа представляют собой компоненты разложения вектора по векторам, образующим последний базис, то есть по векторам , , , следовательно , где – матрица, обратная матрице , составленной из первоначальных компонент векторов , , , то есть столбца векторов , , .

=

 

 

 

 

Найденный вектор определяет оптимальный план

Х =(0;;) задачи параметрического программирования, если:

 

 

При t∊ [-50; 50], Х =(0;;) является оптимальным решением и= 550 +.

 

Вывод: план будет совпадать с оптимальным планом при Это означает, что всякое незначительное изменение объёмов сырья первого вида приведёт к изменению оптимального плана задачи непараметрического программирования.

Аналогично можно проанализировать для сырья второго и третьего видов.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

7. Анализ чувствительности  производственной программы предприятия  к изменению цен и уровня  запасов сырья.

 

Для производства трех видов  изделий предприятие использует три вида сырья. Предприятие может  использовать сырья первого вида - не более 20t;второго вида - не более 42+t;третьего вида - не более 36t. Запасы сырья, цена единицы продукции каждого вида, линейно-зависящая от некоторого параметра t, представлены в таблице. Для каждого значения параметра t. Найти такой план выпуска продукции, реализация которого обеспечивает максимальный выпуск изделий в стоимостном выражении.

 

Вид сырья	Нормы затрат сырья на производство единицы продукции
	А	В	С
I 20-t	1	1	2
II 42+t	2	0	1
III 36-t	0	1	0
Цена на ед. продукции	2+t	12-t	6+t