Моделирование оптимального управленческого решения задачей линейного программирования

Министерство образования  и науки РФ

 

Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования

«Воронежский государственный  Архитектурно-строительный университет»

 

Кафедра управления строительством

 

 

 

Курсовая работа

по дисциплине «Исследования операций при моделировании социально-экономических систем»

 

 

 

 

 

 

Выполнил: студент ФЭМиИТ гр. 1921Б

Беденко Д.С.

Проверила: доц., к.т.н. Порядина В.Л.

Оценка ________________

Дата ________________

 

 

 

Воронеж 2013

Содержание:

1. Введение …………………………….…………………………….………….3
2. Моделирование оптимального управленческого решения задачей линейного программирования………………………………….……………...5
3. Базисные решения системы линейных уравнений ………...……….….…10
4. Решение задач линейного программирования симплексным методом.……………………………………………………………………….12
5. Анализ чувствительности производственной программы предприятия к изменению цен на продукцию.……………………………………………….14
6. Анализ чувствительности производственной программы предприятия к изменению уровня запасов сырья.……………………………………...……18
7. Анализ чувствительности производственной программы предприятия к изменению цен и уровня запасов сырья.………....................................…….22
8. Построение двойственных задач……………………………….....……….25
9. Заключение……………………………………………………….……..…...28
10. Список использованной литературы………………………....…...……...29

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1. Введение

 

Первые формальные разработки по исследованию операций были инициированы в Англии во время Второй мировой  войны, когда команда британских ученых сформулировала и нашла решение  задачи наиболее эффективной доставки военного снаряжения на фронт. После  окончания войны эти идеи были перенесены в гражданскую сферу  для повышения эффективности  и продуктивности экономической  и производственной деятельности. Сегодня  теория исследования операций является основным и неотъемлемым инструментом при принятии решений в самых  разнообразных областях человеческой деятельности. [1]

Для разработки направлений  эффективного экономического развития, необходимо владеть методами количественного  моделирования экономических процессов. Это нужно и для определения  различных вариантов экономического развития как на ближайшую перспективу, так и при разработке стратегических планов, когда учитываются крупные  и долгосрочные мероприятия в  сфере национальной экономики.[2]

Цель, которую преследуют в процессе исследования операций, заключается в том, чтобы найти  наилучшее решение при анализе  той или иной задачи организационного управления в условиях, когда имеют  место ограничения экономического, финансового, ресурсного или временного характера. [3]

Основным методом исследования систем является метод моделирования, т. е. способ теоретического анализа и практического действия, направленный на разработку и использование моделей. При этом под моделью будем понимать образ реального объекта (процесса) в материальной или идеальной форме (т. е. описанный знаковыми средствами на каком-либо языке), отражающий существенные свойства моделируемого объекта (процесса) и замещающий его в ходе исследования и управления. Метод моделирования основывается на принципе аналогии, т. е. возможности изучения реального объекта не непосредственно, а через рассмотрение подобного ему и более доступного объекта, его модели.[4]

Практическими задачами экономико-математического  моделирования являются:

• анализ экономических объектов и процессов;
• экономическое прогнозирование, предвидение развития экономических процессов;
• выработка управленческих решений на всех уровнях хозяйственной иерархии.

Следует, однако, иметь в  виду, что далеко не во всех случаях данные, полученные в результате экономико-математического моделирования, могут использоваться непосредственно как готовые управленческие решения. Они скорее могут быть рассмотрены как «консультирующие» средства. Принятие управленческих решений остается за человеком. [5]

Многие практические задачи сводятся к системам неравенств относительно нескольких переменных. В качестве примера можно указать задачи, связанные с планированием производства. Обычно эти задачи формируются так: найти наилучший план производства при заданных ресурсах, которые, как  правило, задаются при помощи ряда неравенств. В итоге приходится искать наибольшее или наименьшее значение некоторой  функции в области, которая задаётся системой неравенств. Такая задача будет называться задачей линейного программирования. Симплекс-метод даёт возможность минимизировать функцию путём определённого перебора вершин этой области. Задача оптимизации по своей сущности – это математическая модель определённого процесса производства продукции, его распределении, транспортирования, покупки или продажи и т.д. Это обычная математическая задача типа: дано /найти/ при условии, но которая имеет множество возможных решений. Таким образом, задача оптимизации – задача выбора из множества вариантов наилучшего, оптимального. [6]

2. Моделирование оптимального управленческого решения задачей линейного программирования.

 

Для изготовления двух видов  продукции А и В предприятие  расходует 3 вида ресурсов: сырьё, оборудование и рабочий труд. Вся информация о нормах затрат ресурсов на единицу выпускаемой продукции; лимиты ресурсов, на которые рассчитывает предприятие в плановом периоде и рыночные цены реализации каждой единицы продукции приведены в таблице.

 

Наименование ресурса	Нормы затрат на продукт		Объёмы ресурса
	А	В
Сырьё, кг	20	15	60
Оборудование	20	10	80
Труд, чел- час	40	30	120
Цена, реализации в руб.	100	200

 

Задача администрации  заключается в разработке такой  программы выпуска продукции  в плановом периоде, затраты ресурсов на которые не превысят имеющихся  лимитов и ожидаемая выручка  после продажи выпущенной продукции  будет максимальна.

Решение:

1)Составим экономико-математическую модель расчёта оптимальной производственной программы предприятия на планируемый период.

Обозначим: - искомая программа выпуска изделий вида А

- искомая программа выпуска  изделий вида В.

Тогда производственная программа  будет представлена вектором

F(X) = +2→ max

 

 

 

2) Решение графическим  методом.            

                                                                                                             

	3	0
	0	4

 

 

	4	3
	0	2

 

 

	3	0
	0	4

 

 

10

	0	2
	0	-1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

В качестве экономической  интерпретации сделаем вывод, что оптимальной производственной программой предприятия в плановом периоде будет выпуск продукции вида А в объёме 1,5 единиц, продукции вида В в объёме 2 единиц, при этом предприятие получит максимальную ожидаемую выручку в размере 550 рублей.

3)Используя положение  теории двойственности, найти оптимальное  решение двойственной задачи  к модели расчета оптимальной  производственной программы и  привести его экономическую интерпретацию. 

Предположим, что:

-величина ожидаемого  прироста максимальной выручки  (550) от дополнительного привлечения в производство 1 кг сырья к прежним 60 кг сырья. Эту величину назовем предельной эффективностью 61 кг сырья.

- величина ожидаемого прироста максимальной выручки (550) от дополнительного привлечения в производство 1 станка в час оборудования к имеющимся 80 станкам в час. Эту величину назовем предельной эффективностью 81 станка в час.

- величина ожидаемого прироста максимальной выручки (550) от дополнительного привлечения в производство 1 человека в час к имеющимся 120. Эту величину назовем предельной эффективностью 121 человека в час.

Величины  могут быть вычислены, как решение двойственной задачи.

Составим двойственную задачу.

F(X) = 100+200→ max

 

 

 

                     

 

 

 

Таким образом, 0оптимальное решение двойственной задачи интерпретируется следующим образом: = ожидаемого прироста максимальной выручки от дополнительного привлечения в производство 1 кг сырья к прежним 60 кг сырья; величина ожидаемого убытка максимальной выручки от дополнительного привлечения в производство 1 станка в час оборудования к имеющимся 80 станкам в час; величина ожидаемого прироста максимальной выручки от дополнительного привлечения в производство 1 человека  в час к имеющимся 120.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3.Базисные решения системы линейных уравнений.

 

Требуется найти три базисных решения данной системы уравнений.

 

 

Получим методом Жордана-Гаусса произвольную формулу общего решения. Выпишем расширенную матрицу системы уравнений:

 

Перепишем систему в координатной форме:

 

 

Выразим  через :

 

 

Где – базисные переменные; свободная переменная.

Пусть , тогда:

 

Получим первое базисное решение:

 

 

L	B						Базисные  решения
1	8/3	1	0	0	-1/9	l=3
2	4/3	0	1	0	25/9	k=4
3	-5/3	0	0	1	-11/9	19/27
1	874/297	1	0	-1/11	0	l=2
2	-729/297	0	1	225/99	0	k=3
4	45/33	0	0	-9/11	1	225/99
1	2,8	1	99/2475	0	0
3	-1,08	0	99/225	1	0
4	0,496	0	0,36	0	1

 

 

Ответ: 
 

 

 

 

 

 

 

 

 

4. Решение задач линейного программирования симплексным методом.

 

Симплексный метод решения  задач линейного программирования (симплекс-метод) - вычислительная процедура, основанная на принципе последовательного  улучшения решений — перехода от одной базисной точки к другой, для которой значение целевой  функции больше (эти операции фиксируются  в симплексной таблице).