Модели систем массового обслуживания

 

6.3. Одноканальная СМО с ожиданием и ограниченной очередью

 

     Рассмотрим теперь одноканальную СМО с ожиданием.

     Система массового обслуживания  имеет один канал. Входящий  поток заявок на обслуживание поток имеет интенсивность λ. Интенсивность потока обслуживания равна μ (т. е. в среднем непрерывно занятый канал будет выдавать μ обслуженных заявок). Длительность обслуживания — случайная величина, подчиненная показательному закону распределения. Заявка, поступившая в момент, когда канал занят, становится в очередь и ожидает обслуживания.

     Рассмотрим систему с ограниченной  очередью. Предположим, что независимо оттого, сколько требований по­ступает на вход обслуживающей системы, данная система (очередь + обслуживаемые клиенты) не может вместить более N-требований (заявок), из которых одна обслуживается, а (N-1) ожидают, Клиенты, не попавшие в ожидание, вынуждены обслуживаться в другом месте и такие заявки теряются. Наконец, источник, порождающий заявки на обслуживание, имеет неограниченную (бесконечно большую) емкость.

     Обозначим  - вероятность того, что  в системе находится  n заявок. Эта величина вычисляется по формуле:

    

     Здесь  - приведенная интенсивность  потока.  Тогда вероятность того, что канал обслуживания свободен  и в системе нет ни одного  клиента, равна: .

     С учетом этого можно обозначить

    

     Определим характеристики одноканальной  СМО с ожиданием и ограниченной длиной очереди, равной (N-1):

     вероятность отказа в обслуживании  заявки:

     Pотк=РN=

     относительная пропускная способность  системы:

    

     абсолютная пропускная способность:

     А=q∙λ;

     среднее число находящихся в  системе заявок:

    

      среднее время пребывания заявки  в системе:

     ;

      средняя продолжительность пребывания  клиента (заявки) в очереди:

     Wq=Ws- 1/μ;

      среднее число заявок (клиентов) в очереди (длина очереди):

     Lq=λ(1-PN)Wq.

     Рассмотрим пример одноканальной СМО с ожиданием.

     Пример.Специализированный пост диагностики представляет собой одноканальную СМО. Число стоянок для автомобилей, ожидающих проведения диагностики, ограниченно и равно 3, то есть (N— 1)=3. Если все стоянки заняты, т. е. в очереди уже находится три автомобиля, то очередной автомобиль, прибывший на диагностику, в очередь на обслуживание не становится. Поток автомобилей, прибывающих на диагностику имеет интенсивность λ=0,85 (автомобиля в час). Время диагностики автомобиля распределено по показательному закону и в среднем равно =1,05 час.

     Требуется определить вероятностные  характеристики поста диагностики,  работающего в стационарном режиме.

     Решение

     Интенсивность потока обслуживаний  автомобилей:

    

     Приведенная интенсивность потока  автомобилей определяется как  отношение интенсивностей λ и μ, т.е.

    

     Вычислим вероятности нахождения  п заявок в системе:

    

     P1=r∙P0=0,893∙0,248=0,221;

     P2=r2∙P0=0,8932∙0,248=0,198;

     P3=r3∙P0=0,8933∙0,248=0,177;

     P4=r4∙P0=0,8934∙0,248=0,158.

     Вероятность отказа в обслуживании  автомобиля:

     Pотк=Р4=r4∙P0≈0,158.

     Относительная пропускная способность  поста диагностики:

     q=1–Pотк=1-0,158=0,842.

     Абсолютная пропускная способность  поста диагностики 

     А=λ∙q=0,85∙0,842=0,716 (автомобиля в час).

     Среднее число автомобилей, находящихся  на обслуживании и в очереди  (т.е. в системе массового обслуживания):

    

    

     Среднее время пребывания автомобиля  в системе:

      часа.

     Средняя продолжительность пребывания  заявки в очереди на обслуживание:

     Wq=Ws-1/μ=2,473-1/0,952=1,423 часа.

     Среднее число заявок в очереди  (длина очереди):

     Lq=λ∙(1-PN)∙Wq=0,85∙(1-0,158)∙1,423=1,02.

     Работу рассмотренного поста  диагностики можно считать удовлетворительной, так как пост диагностики не обнаруживает автомобили в среднем в 15,8% случаев (Ротк=0,158).

 

6.4. Одноканальная СМО с ожиданием и неограниченной очередью

 

     Перейдем теперь к рассмотрению  одноканальной СМО с ожиданием  без ограничения на вместимость  блока ожидания (т.е. Ν → ∞ ). Остальные условия функционирования СМО остаются без изменений.

     Устойчивое решение в такой  системе существует только тогда,  когда λ<μ, то есть заявки  должны обслуживаться с большей  скоростью, чем поступают, в  противном случае очередь может  разрастись до бесконечности. 

     Вероятность того, что в системе  находится п заявок, вычисляется по формуле

     Pn=(1-r)rn, n=0,1,2,…,

     где r = λ/μ <1.

     Характеристики одноканальной СМО  с ожиданием, без ограничения  на длину очереди, следующие:

     среднее число находящихся в  системе клиентов (заявок) на обслуживание:

    

     средняя продолжительность пребывания  клиента в системе:

     ;

     среднее число клиентов в очереди  на обслуживание:

     Lq=LS -  ;

      средняя продолжительность пребывания  клиента в очереди:

     Wq=;

      Пример . Вспомнив о ситуации, рассмотренной в предыдущем примере, где речь идет о функционировании поста диагностики. Пусть рассматриваемый пост диагностики располагает неограниченным количеством площадок для стоянки прибывающих на обслуживание автомобилей, т.е. длина очереди не ограничена.

     Требуется определить финальные  значения следующих вероятностных  характеристик:

 вероятности  состояний системы (поста диагностики);

среднее число  автомобилей, находящихся в системе (на обслуживании и в очереди);

среднюю продолжительность  пребывания автомобиля в системе

(на обслуживании  и в очереди);

среднее число  автомобилей в очереди на обслуживании;

среднюю продолжительность  пребывания автомобиля в очереди.

 

     Решение Параметр потока обслуживания  и приведенная интенсивность  потока автомобилей ρ определены  в предыдущем примере:

     μ=0,952; ρ=0,893.

     Вычислим предельные вероятности  системы по формулам

     P0=1-r=1-0,893=0,107;

     P1=(1-r)·r=(1-0,893)·0,893=0,096;

     P2=(1-r)·r2=(1-0,893)·0,8932=0,085;

     P3=(1-r)·r3=(1-0,893)·0,8933=0,076;

     P4=(1-r)·r4=(1-0,893)·0,8934=0,068;

     P5=(1-r)·r5=(1-0,893)·0,8935=0,061 и т.д.

     Следует отметить, что Р0 определяет долю времени, в течение которого пост диагностики вынужденно бездействует (простаивает). В нашем примере она составляет 10, 7%, так как Р0=0,107.

     Среднее число автомобилей, находящихся  в системе (на обслуживании  и в очереди):

     ед.

     Средняя продолжительность пребывания  клиента в системе:

     час.

     Среднее число автомобилей в  очереди на обслуживание:

     .

     Средняя продолжительность пребывания  автомобиля в очереди:

     час.

     Относительная пропускаемая способность  системы равна единицы, так  как все поступившие заявки  рано или поздно будут обслужены:

     q=1.

     Абсолютная пропускная способность:

     A=λ∙q=0,85∙1=0,85.

     Следует отметить, что предприятие,  осуществляющее диагностику автомобилей, прежде всего интересует количество клиентов, которое посетит пост диагностики при снятие ограничения на длину очереди.

     Допустим, в первоначальном варианте  количество мест для стоянки  прибывших автомобилей как в предыдущем примере было равно трем. Частота m возникновения ситуаций, когда прибывающий на пост диагностике автомобиль не имеет возможности присоединить к очереди:

     m=λ∙PN.

     В нашем примере при N=3+1=4 и  r=0,893,

     m=λ∙P0∙ r4=0,85∙0,248∙0,8934=0,134 автомобиля  в час.

     При 12-часовом режиме работы  поста диагностики это эквивалентно  тому, что пост диагностики в  среднем за смену (день) будет  терять 12∙0,134=1,6 автомобиля.

     Снятие ограничения на длину  очереди позволяет увеличить  количество обслуживающих клиентов  в нашем примере в среднем  на 1,6 автомобиля за смену (12 ч.  работы) пост диагностики. Ясно, что  решение относительно расширения площади для стоянки автомобиля, прибывающих на пост диагностики, должно основываться на оценке экономического ущерба, который обусловлен потерей клиентов при наличие всего трех мест для стоянки этих автомобилей.

 

6.5. Многоканальная СМО с отказами

 

     В подавляющем большинстве случаев  на практике система массового  обслуживания является многоканальными, то есть параллельно могут обслуживаться несколько заявок, и, следовательно, модели с  обслуживающими каналами (где число каналов обслуживания n>1) представляют несомненный интерес.

     Процесс массового обслуживания, описываемый данной моделью, характеризуется интенсивностью входного потока  λ, при этом параллельно может обслуживаться не более n клиентов (заявок). Средняя продолжительность обслуживания одной заявки равняется   1/μ. Режим функционирования того или иного обслуживающего канала не влияет на режим функционирования других обслуживающих каналов системы, при чем длительность процедуры обслуживания каждым из каналов является случайной величиной, починенной экспоненциальному закону распределения. Конечная цель использования параллельно включенных обслуживающих каналов заключается в повышение (по сравнению с одноканальной системой) скорости обслуживания требований за счет обслуживания одновременно  n клиентов.

     Стационарное решение системы  имеет вид:

     ;

     где      ,         .

     Формулы для вычисления вероятностей    называются формулами Эрланга.

     Определим вероятностные характеристики функционирования многоканальной СМО с отказами в стационарном режиме:

     вероятность отказа:

     .

     так как заявка получает отказ,  если приходит в момент, когда  все каналов заняты. Величина  Ротк характеризует полноту обслуживания входящего потока;

     вероятность того, что заявка  будет принята к обслуживанию (она же – относительная пропускная способность системы) дополняет Ротк до единицы:

     .

     абсолютная пропускная способность 

    

     среднее число каналов, занятых  обслуживанием () следующее: 

    

     Величина  характеризует степень  загрузки СМО.

     Пример. Пусть n-канальная СМО  представляет собой вычислительный  центр (ВЦ) с тремя (n=3) взаимозаменяемыми  ПЭВМ для решения поступающих задач. Поток задач, поступающих на ВЦ, имеет интенсивность λ=1 задача в час. Средняя продолжительность обслуживания tоб=1,8 час.

     Требуется вычислить значения:

     - вероятности числа занятых каналов  ВЦ;

     - вероятности отказа в обслуживании  заявки;

     - относительной пропускной способности  ВЦ;

     - абсолютной пропускной способности  ВЦ;

     - среднего числа занятых ПЭВМ  на ВЦ.

     Определите, сколько дополнительно  надо приобрести ПЭВМ, чтобы увеличить пропускную способность ВЦ в 2 раза.

     Решение.

     Определим параметр μ потока  обслуживаний:

     .

     Приведенная интенсивность потока  заявок

     .

     Предельные вероятности состояний  найдем по формулам Эрланга:

    

     Вероятность отказа в обслуживании  заявки

     .

     Относительная пропускная способность  ВЦ

     .

     Абсолютная пропускная способность  ВЦ:

     .

     Среднее число занятых каналов  – ПЭВМ

    

     Таким образом, при установившемся  режиме работы СМО в среднем  будет занято 1,5 компьютера из трех – остальные полтора будут простаивать. Работу рассмотренного ВЦ вряд ли можно считать удовлетворительной, так как центр не обслуживает заявки в среднем в 18% случаев (Р3= 0,180). Очевидно, что пропускную способность ВЦ при данных λ и μ можно увеличить только за счет увеличения числа ПЭВМ.