Модель сельскохозяйственного производства на Нарвских островах для внешнего рынка

Содержание

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Введение

 

Экономические проблемы, возникающие перед специалистами, в большинстве своем сложные. Они зависят от множества различных, иногда противоречащих друг другу факторов, изменяются с течением времени и влияют на другие проблемы и процессы.

Вследствие этого исследование экономической проблемы целесообразно проводить на адекватной математической модели. Математическая модель отражает проблему в абстрактной форме и позволяет учесть большое число разнообразных характеристик, от которых эта проблема зависит. Анализ и расчет математической модели позволяют выбрать оптимальные решения поставленной задачи и обосновать этот выбор.

Целью данной работы является решение конкретной задачи линейного программирования. Во всех таких задачах требуется найти максимум или минимум линейной функции при условии, что её переменные принимают неотрицательные значения и удовлетворяют некоторой системе линейных уравнений или линейных неравенств либо системе, содержащей как линейные уравнения, так и линейные неравенства.

Для решения задач линейного программирования созданы специальные методы. Изучению одного из них, а именно симплекс-методу, посвящена эта работа. В соответствии с целью в работе поставлены и решены следующие задачи:

- произвести построение  математической модели задачи;

- выбрать и описать  метод реализации модели;

- решить прямую и двойственную  задачи выбранным методом;

- произвести анализ модели  на чувствительность.

Объектом исследования является сельскохозяйственное производство на Нарвских островах для внешнего рынка.

Предметом исследования являются данные о землях и культурах, которые выращиваются в этом климате.

1. Постановка  задачи

 

 

Была предложена следующая простая модель сельскохозяйственного производства на Нарвских островах для внешнего рынка. Имеются три основные культуры, растущие в этом климате, и выращиваться они могут на одном из двух типов пахотных земель. В настоящее время для обработки пригодны 1400000 акров земли типа I и 1200000 акров земли типа II. Разные типы культур по-разному растут на разных землях, и подсчитано, что чистый урожай культуры i с земли типа j составляет Rij.

 

I	Rij
	J=I	J=II
1	6	6
2	8	5
3	4	5

 

Все культуры требуют дополнительного орошения (ирригационного). Имеющаяся ирригационная система обеспечивает 5600000 м3 воды в год. Для одного акра культуры i, выращенной на земле типа j, требуется Wij м3 воды в год.

 

I	Wij
	J=I	J=II
1	2	3
2	3	3
3	3	2

 

Население, занятое в сельском хозяйстве, составляет 700000 человек. Чтобы получить урожаи 1,2,3 с каждых 10 акров земли, для выполнения различных работ по выращиванию культур в течение 1 года требуется, соответственно, 2, 1 и 3 человека.

Определите, какие культуры, в каком количестве и на каких землях необходимо выращивать, чтобы получить максимальный урожай? Каков размер максимального урожая?

Решение должно содержать:

• построение математической модели;
• выбор, обоснование и описание метода решений рассматриваемой задачи;
• решение сформулированной задачи;
• анализ модели на чувствительность.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2. ПОСТРОЕНИЕ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ МОДЕЛИ

 

 

Процесс построения математической модели для решения поставленной задачи можно начать с ответов на три следующие вопроса:

1. Для определения каких величин должна быть построена модель?
2. Какие ограничения должны быть наложены на переменные, чтобы выполнялись условия, для моделируемой системы?
3. В чем состоит цель, для достижения которой из всех допустимых значений переменных нужно выбрать те, которые будут соответствовать оптимальному (наилучшему) решению задачи? [16, с. 102]

Отвечая на поставленные вопросы сформулируем суть проблемы – необходимо определить, какие культуры, в каком количестве и на каких землях необходимо выращивать, чтобы получить максимальный урожай. Также необходимо определить размер максимального урожая.

Введем обозначение переменных:

х1 – количество планируемого выращивания 1-й культуры на землях типа I;

х2 – количество планируемого выращивания 1-й культуры на землях типа IІ;

х3 – количество планируемого выращивания 2-й культуры на землях типа I;

х4 – количество планируемого выращивания 2-й культуры на землях типа IІ;

х5 – количество планируемого выращивания 3-й культуры на землях типа I;

х6 – количество планируемого выращивания 3-й культуры на землях типа IІ.

Учитывая, что чистый урожай культуры i с земли типа j составляет Rij, то можно дать следующую математическую формулировку целевой функции: определить (допустимые) значения х1, х2, х3, х4, х5, х6, которые обеспечат максимальный урожай:

 

 

Величины х1, х2, х3, х4, х5 и х6 нельзя выбирать произвольно, так как необходимо учесть ограничения на количество акров пригодных в настоящее время земель типа I и типа II. Ограничения на количество акров пригодных в настоящее время земель типа I и типа II можно записать следующим образом:

 

 

При решении рассматриваемой задачи должны быть учтены ограничения на дополнительное орошение. Ограничение на количество поставляемой ирригационной системой воды можно записать следующим образом:

 

 

Также должны быть учтены ограничения на население, занятое в сельском хозяйстве. Это ограничение  можно записать следующим образом:

 

 

Так как отрицательные х1, х2, х3, х4, х5, х6 не имею смысла, то должно удовлетворяться ограничение:

 

x1 0,     x2 0,     x3 0,     x4 0,   x5 0,     x6 0.

 

Итак, математическую модель можно записать следующим образом.

Математическая модель задачи: Определите, какие культуры, в каком количестве и на каких землях необходимо выращивать, чтобы получить максимальный урожай (X1, Х2, Х3, Х4, Х5, Х6):

 

 

при ограничениях:

 

 

где по смыслу задачи:

x1 0,     x2 0,     x3 0,     x4 0,     x5 0,     x6 0.                                                                            

  Получили задачу на  условный экстремум.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3. выбор, обоснование  и описание метода решений  рассматриваемой задачи

 

3.1. Общая задача линейного программирования

 

Общей задачей линейного программирования (ОЗЛП) называют задачу:                           Максимизировать (минимизировать) функцию                                    

                                   (3.1)

      при ограничениях:                              (3.2)                                                                                                                       

где cj, aij, bi -заданные действительные числа, (3.1) - целевая  функция, (3.2) - ограничения, - план задачи.

Экономическая интерпретация  модели ЛП состоит в следующем. Моделируемая система характеризуется наличием нескольких видов «производственной деятельности» , для осуществления которых требуются имеющиеся в ограниченном количестве различные ресурсы Расход i-го ресурса на единицу продукта j-го вида производственной деятельности равен aij. В свою очередь при таком потреблении результат j-го вида производственной деятельности для единицы соответствующего продукта (удельная стоимость или прибыль) характеризуется величиной cj.

Цель построения модели состоит в определении уровней (объемов производства) каждого вида производственной деятельности xj, при которых оптимизируется (максимизируется или минимизируется) общий результат производственной деятельности системы в целом без нарушения ограничений, накладываемых на использование ресурсов.

Оптимальным решением (или оптимальным планом) задачи ЛП называется решение системы ограничений (2.2), при котором линейная функция (2.1) принимает оптимальное значение.

Термины «решение» и «план» - синонимы, однако первый используется чаще, когда речь идет о формальной стороне задачи (ее математическом решении), а второй - о содержательной стороне (экономической интерпретации).

Симметричной формой записи ЗЛП называют задачу:

 

                                            

        или задачу           (3.3)

 

Рассмотрим задачу о наилучшем использовании ресурсов. Пусть некоторая производственная единица (цех, завод, фирма и т.д.), исходя из конъюнктуры рынка, технических или технологических возможностей и имеющихся ресурсов, может выпускать n различных видов продукции (товаров) Пj, Предприятие при производстве этих видов продукции должно ограничиваться имеющимися видами ресурсов, технологий, других производственных факторов (сырья, полуфабрикатов, рабочей силы, оборудования, электроэнергии и т.д.). Все эти виды ограничивающих факторов называют ингредиентами Ri, Они ограничены, и их количества равны соответственно b1,b2,...,bm  условных единиц. 

Известна экономическая выгода (мера полезности) производства продукции каждого вида, исчисляемая, скажем, по отпускной цене товара, его прибыльности, издержкам производства, степени удовлетворения потребностей и т.д. Примем в качестве такой меры, например, цену реализации cj, j= .  Известны также технологические коэффициенты aij, , которые указывают, сколько единиц i-го ресурса требуется для производства единицы продукции j-го вида. Обозначим через план производства, показывающий, какие виды товаров П1, П2, ..., Пn нужно производить и в каких количествах, чтобы обеспечить предприятию максимум объема реализации при имеющихся ресурсах.

Математическая модель задачи имеет следующий вид:

 

                                           (3.4)

 

Так как переменные xj входят в целевую функцию Z( ) и систему ограничений только в первой степени, а показатели aij, bi, cj являются постоянными в планируемый период, то (3.4) - задача линейного программирования.

 

 

3.2. Выбор метода реализации модели

 

Решим прямую задачу линейного программирования   симплексным методом, с использованием симплексной таблицы.

Линейный характер построенной модели определяет с формальных позиций то, что все  входящие в нее функции (ограничения и целевая функция) линейны. Линейность предполагает наличие двух свойств - пропорциональности и аддитивности.

1. Пропорциональность означает, что вклад каждой переменной х1, х2, х3, х4 в целевую функцию прямо пропорционален этим переменным.
2. Аддитивность заключается в том, что целевая функция представляет собой сумму вкладов от различных переменных [10, с. 74].

Симплекс метод - универсальный метод для решения линейной системы уравнений или неравенств и линейного функционала.

Для привидения системы ограничений неравенств к каноническому виду, необходимо в системе ограничений выделить единичный базис.

1. Ограничения вида  «≤»- ресурсные ограничения. Справа находится то что мы используем на производстве, слева - то что получаем. При таких ограничения вводят дополнительные переменные с коэффициентом «+1», образующие единичный базис. В целевую функцию эти переменные войдут с коэффициентом «0».
2. Ограничения вида «=». Часто бывает, что несмотря на то что ограничения имеют вид равенства, единичный базис не выделяется или трудно выделяется. В этом случае вводятся искусственные переменные для создания единичного базиса - Yi.
3. Ограничения вида «≥» - Плановые ограничения. Дополнительные переменные (X), несущие определенный экономический смысл, добавляются с коэффициентом «-1», в целевую функцию - с коэффициентом «0» [7, с. 59].

 

 

3.3. Алгоритм симплекс-метода

 

Пусть система приведена к каноническому виду.

 

X1+     q1,m+1 Xm+1 + …. + q1,m+n Xm+n = h1

X2+   q1,m+1 Xm+1 + …. + q1,m+n Xm+n = h1            (3.5)

X3+  q1,m+1 Xm+1 + …. + q1,m+n Xm+n = h1