Автор работы: Пользователь скрыл имя, 19 Октября 2014 в 21:03, контрольная работа
1. Дана задача линейного программирования при ограничениях:
Графическим методом найти оптимальные решения при стремлении целевой функции к максимальному и минимальному значениям.
Значения коэффициентов целевой функции и системы ограничений.
2. Фирма изготовляет два вида красок для внутренних (В) и наружных (Н) работ. Для их производства используют исходные продукты: пигмент и олифу. Расходы исходных продуктов и максимальные суточные запасы указаны в таблице.
Расходы и суточные запасы исходных продуктов
Исходный продукт Расход исходных продуктов на 1 т краски Суточный запас, т
Краска Н Краска В
Пигмент
Олифа
Изучение рынка сбыта показало, что суточный спрос на краску для наружных (внутренних) работ никогда не превышает т в сутки. Цена продажи 1 т краски для наружных работ ден. ед.
Какое количество краски каждого вида должна производить фирма, чтобы доход от реализации продукции был максимален?
В результате получен первый опорный план, который является допустимым, так как все грузы из баз вывезены, потребность магазинов удовлетворена, а план соответствует системе ограничений транспортной задачи.
2. Подсчитаем число занятых клеток таблицы, их 6, а должно быть m + n - 1 = 6. Следовательно, опорный план является невырожденным.
Значение целевой функции для этого опорного плана равно:
F(x) = 1*30 + 3*10 + 4*5 + 5*10 + 2*15 + 2*30 = 220
Этап II. Улучшение опорного плана.
Проверим оптимальность опорного плана. Найдем предварительные потенциалы ui, vj. по занятым клеткам таблицы, в которых ui + vj = cij, полагая, что u1 = 0.
u1 + v3 = 1; 0 + v3 = 1; v3 = 1
u2 + v3 = 5; 1 + u2 = 5; u2 = 4
u2 + v1 = 3; 4 + v1 = 3; v1 = -1
u4 + v1 = 2; -1 + u4 = 2; u4 = 3
u2 + v2 = 4; 4 + v2 = 4; v2 = 0
u3 + v2 = 2; 0 + u3 = 2; u3 = 2
v1=-1 |
v2=0 |
v3=1 | |
u1=0 |
5 |
3 |
1[30] |
u2=4 |
3[10] |
4[5] |
5[10] |
u3=2 |
4 |
2[15] |
3 |
u4=3 |
2[30] |
4 |
5 |
Опорный план является оптимальным, так все оценки свободных клеток удовлетворяют условию ui + vj ≤ cij.
Минимальные затраты составят:
F(x) = 1*30 + 3*10 + 4*5 + 5*10 + 2*15 + 2*30 = 220
Проверим оптимальность найденного плана по первой теореме двойственности (в оптимальном решении значения целевых функций прямой и двойственных задач совпадают: F = G).
G = 0•30 + 4•25 + 2•15 + 3•30 -1•40 + 0•20 + 1•40 = 220
Анализ оптимального плана.
Из 1-го склада необходимо весь груз направить в 3-й магазин
Из 2-го склада необходимо груз направить в 1-й магазин (10), в 2-й магазин (5), в 3-й магазин (10)
Из 3-го склада необходимо весь груз направить в 2-й магазин
Из 4-го склада необходимо весь груз направить в 1-й магазин
5. Решить транспортную задачу. Заданы мощности поставщиков аj (j = 1, 2, 3), емкости потребителей bj (j = 1, 2, 3) и матрица стоимостей перевозок единицы продукции от каждого поставщика каждому потребителю. Требуется найти план перевозок, при котором суммарные транспортные затраты будут наименьшими.
bj
|
9 |
31 |
20 |
20 |
3 |
9 |
8 |
14 |
4 |
6 |
7 |
12 |
2 |
4 |
5 |
РЕШЕНИЕ:
Математическая модель транспортной задачи:
F = ∑∑cijxij, (1)
при условиях:
∑xij = ai, i = 1,2,…, m, (2)
∑xij = bj, j = 1,2,…, n, (3)
xij ≥ 0
Запишем экономико-математическую модель для нашей задачи.
Переменные:
x11 – количество груза из 1-го склада в 1-й магазин
x12 – количество груза из 1-го склада в 2-й магазин
x13 – количество груза из 1-го склада в 3-й магазин
x21 – количество груза из 2-го склада в 1-й магазин
x22 – количество груза из 2-го склада в 2-й магазин
x23 – количество груза из 2-го склада в 3-й магазин
x31 – количество груза из 3-го склада в 1-й магазин
x32 – количество груза из 3-го склада в 2-й магазин
x33 – количество груза из 3-го склада в 3-й магазин
Ограничения по запасам:
x11 + x12 + x13 ≤ 20
x21 + x22 + x23 ≤ 14
x31 + x32 + x33 ≤ 12
Ограничения по потребностям:
x11 + x21 + x31 ≥ 9
x12 + x22 + x32 ≥ 31
x13 + x23 + x33 ≥ 20
Целевая функция:
3x11 + 9x12 + 8x13 + 4x21 + 6x22 + 7x23 + 2x31 + 4x32 + 5x33 → min
С целью составления двойственной задачи переменные xij в условии (2) заменим на u1, u2, ui,.., um, а переменные xij в условия (3) на v1, v2, vj,.., vn.
Поскольку каждая переменная xij входит в условия (2,3) и целевую функцию (1) по одному разу, то двойственную задачу по отношению к прямой транспортной задаче можно сформулировать следующим образом.
Требуется найти не отрицательные числа ui (при i = 1,2,…,m) и vj (при j = 1,2,..,n), обращающие в максимум целевую функцию
G = ∑aiui + ∑bjvj
при условии
ui + vj ≤ cij, i = 1,2,..,m; j = 1,2,..,n (4)
В систему условий (4) будет mxn неравенств. По теории двойственности для оптимальных планов прямой и двойственной задачи для всех i,j должно быть:
ui + vj ≤ cij, если xij = 0,
ui + vj = cij, если xij ≥ 0,
Эти условия являются необходимыми и достаточными признаками оптимальности плана транспортной задачи.
Числа ui , vj называются потенциалами. Причем число ui называется потенциалом поставщика, а число vj – потенциалом потребителя.
По первой теореме двойственности в оптимальном решении значения целевых функций прямой и двойственных задач совпадают: F = G.
Стоимость доставки единицы груза из каждого пункта отправления в соответствующие пункты назначения задана матрицей тарифов
1 |
2 |
3 |
Запасы | |
1 |
3 |
9 |
8 |
20 |
2 |
4 |
6 |
7 |
14 |
3 |
2 |
4 |
5 |
12 |
Потребности |
9 |
31 |
20 |
Проверим необходимое и достаточное условие разрешимости задачи.
∑a = 20 + 14 + 12 = 46
∑b = 9 + 31 + 20 = 60
Как видно, суммарная потребность груза в пунктах назначения меньше запасов груза на базах. Следовательно, модель исходной транспортной задачи является открытой. Чтобы получить закрытую модель, введем дополнительную (фиктивную) потребность, равной 14 (60—46). Тарифы перевозки единицы груза из базы во все магазины полагаем равны нулю.
Занесем исходные данные в распределительную таблицу.
1 |
2 |
3 |
Запасы | |
1 |
3 |
9 |
8 |
20 |
2 |
4 |
6 |
7 |
14 |
3 |
2 |
4 |
5 |
12 |
4 |
0 |
0 |
0 |
14 |
Потребности |
9 |
31 |
20 |
Этап I. Поиск первого опорного плана.
1. Используя метод наименьшей стоимости, построим первый опорный план транспортной задачи.
Суть метода заключается в том, что из всей таблицы стоимостей выбирают наименьшую, и в клетку, которая ей соответствует, помещают меньшее из чисел ai, или bj.
Затем, из рассмотрения исключают либо строку, соответствующую поставщику, запасы которого полностью израсходованы, либо столбец, соответствующий потребителю, потребности которого полностью удовлетворены, либо и строку и столбец, если израсходованы запасы поставщика и удовлетворены потребности потребителя.
Из оставшейся части таблицы стоимостей снова выбирают наименьшую стоимость, и процесс распределения запасов продолжают, пока все запасы не будут распределены, а потребности удовлетворены.
Искомый элемент равен 2
Для этого элемента запасы равны 12, потребности 9. Поскольку минимальным является 9, то вычитаем его.
x31 = min(12,9) = 9.
x |
9 |
8 |
20 |
x |
6 |
7 |
14 |
2 |
4 |
5 |
12 - 9 = 3 |
0 |
0 |
0 |
14 |
9 - 9 = 0 |
31 |
20 |
0 |
Искомый элемент равен 4
Для этого элемента запасы равны 3, потребности 31. Поскольку минимальным является 3, то вычитаем его.
x32 = min(3,31) = 3.
x |
9 |
8 |
20 |
x |
6 |
7 |
14 |
2 |
4 |
x |
3 - 3 = 0 |
0 |
0 |
0 |
14 |
0 |
31 - 3 = 28 |
20 |
0 |
Искомый элемент равен 6
Для этого элемента запасы равны 14, потребности 28. Поскольку минимальным является 14, то вычитаем его.
x22 = min(14,28) = 14.
x |
9 |
8 |
20 |
x |
6 |
x |
14 - 14 = 0 |
2 |
4 |
x |
0 |
0 |
0 |
0 |
14 |
0 |
28 - 14 = 14 |
20 |
0 |
Искомый элемент равен 8
Для этого элемента запасы равны 20, потребности 20. Поскольку минимальным является 20, то вычитаем его.
x13 = min(20,20) = 20.
x |
x |
8 |
20 - 20 = 0 |
x |
6 |
x |
0 |
2 |
4 |
x |
0 |
0 |
0 |
0 |
14 |
0 |
14 |
20 - 20 = 0 |
0 |
Искомый элемент равен 0
Для этого элемента запасы равны 14, потребности 14. Поскольку минимальным является 14, то вычитаем его.
x42 = min(14,14) = 14.
x |
x |
8 |
0 |
x |
6 |
x |
0 |
2 |
4 |
x |
0 |
0 |
0 |
0 |
14 - 14 = 0 |
0 |
14 - 14 = 0 |
0 |
0 |