Методы оптимальных решений

 

 

 

 

 

Значение коэффициентов распределительной таблицы.

 

Значения	№ варианта
	6
	5
	3
	1
	3
	4
	5
	4
	2
	3
	2
	4
	5

 

 

РЕШЕНИЕ:

 

Математическая модель транспортной задачи:

F = ∑∑cijxij,    (1)

при условиях:

∑xij = ai,  i = 1,2,…, m,   (2)

∑xij = bj,  j = 1,2,…, n,   (3)

xij ≥ 0

Запишем экономико-математическую модель для нашей задачи.

Переменные:

x11 – количество груза из 1-го склада в 1-й магазин

x12 – количество груза из 1-го склада в 2-й магазин

x13 – количество груза из 1-го склада в 3-й магазин

x21 – количество груза из 2-го склада в 1-й магазин

x22 – количество груза из 2-го склада в 2-й магазин

x23 – количество груза из 2-го склада в 3-й магазин

x31 – количество груза из 3-го склада в 1-й магазин

x32 – количество груза из 3-го склада в 2-й магазин

x33 – количество груза из 3-го склада в 3-й магазин

x41 – количество груза из 4-го склада в 1-й магазин

x42 – количество груза из 4-го склада в 2-й магазин

x43 – количество груза из 4-го склада в 3-й магазин

Ограничения по запасам:

x11 + x12 + x13 ≤ 30

x21 + x22 + x23 ≤ 25

x31 + x32 + x33 ≤ 15

x41 + x42 + x43 ≤ 30

Ограничения по потребностям:

x11 + x21 + x31 + x41 ≥ 40

x12 + x22 + x32 + x42 ≥ 20

x13 + x23 + x33 + x43 ≥ 40

Целевая функция:

5x11 + 3x12 + 1x13 + 3x21 + 4x22 + 5x23 + 4x31 + 2x32 + 3x33 + 2x41 + 4x42 + 5x43 → min

С целью составления двойственной задачи переменные xij в условии (2) заменим на u1, u2, ui,.., um, а переменные xij в условия (3) на v1, v2, vj,.., vn.

Поскольку каждая переменная xij входит в условия (2,3) и целевую функцию (1) по одному разу, то двойственную задачу по отношению к прямой транспортной задаче можно сформулировать следующим образом.

Требуется найти не отрицательные числа ui (при i  = 1,2,…,m) и vj (при j = 1,2,..,n), обращающие в максимум целевую функцию

G = ∑aiui + ∑bjvj

при условии

ui + vj ≤ cij, i = 1,2,..,m; j = 1,2,..,n    (4)

В систему условий (4) будет mxn неравенств. По теории двойственности для оптимальных планов прямой и двойственной задачи для всех i,j должно быть:

ui + vj ≤ cij, если xij = 0,

ui + vj = cij, если xij ≥ 0,

Эти условия являются необходимыми и достаточными признаками оптимальности плана транспортной задачи.

Числа ui , vj называются потенциалами. Причем число ui называется потенциалом поставщика, а число vj – потенциалом потребителя.

По первой теореме двойственности в оптимальном решении значения целевых функций прямой и двойственных задач совпадают: F = G.

Стоимость доставки единицы груза из каждого пункта отправления в соответствующие пункты назначения задана матрицей тарифов

 

	1	2	3	Запасы
1	5	3	1	30
2	3	4	5	25
3	4	2	3	15
4	2	4	5	30
Потребности	40	20	40

Проверим необходимое и достаточное условие разрешимости задачи.

∑a = 30 + 25 + 15 + 30 = 100

∑b = 40 + 20 + 40 = 100

Условие баланса соблюдается. Запасы равны потребностям. Следовательно, модель транспортной задачи является закрытой.

Занесем исходные данные в распределительную таблицу.

 

	1	2	3	Запасы
1	5	3	1	30
2	3	4	5	25
3	4	2	3	15
4	2	4	5	30
Потребности	40	20	40

Этап I. Поиск первого опорного плана.

1. Используя метод наименьшей стоимости, построим первый опорный план транспортной задачи.

Суть метода заключается в том, что из всей таблицы стоимостей выбирают наименьшую, и в клетку, которая ей соответствует, помещают меньшее из чисел ai, или bj.

Затем, из рассмотрения исключают либо строку, соответствующую поставщику, запасы которого полностью израсходованы, либо столбец, соответствующий потребителю, потребности которого полностью удовлетворены, либо и строку и столбец, если израсходованы запасы поставщика и удовлетворены потребности потребителя.

Из оставшейся части таблицы стоимостей снова выбирают наименьшую стоимость, и процесс распределения запасов продолжают, пока все запасы не будут распределены, а потребности удовлетворены.

Искомый элемент равен 1

Для этого элемента запасы равны 30, потребности 40. Поскольку минимальным является 30, то вычитаем его.

x13 = min(30,40) = 30.

 

x	x	1	30 - 30 = 0
3	4	5	25
4	2	3	15
2	4	5	30
40	20	40 - 30 = 10	0

 

Искомый элемент равен 2

Для этого элемента запасы равны 15, потребности 20. Поскольку минимальным является 15, то вычитаем его.

x32 = min(15,20) = 15.

 

x	x	1	0
3	4	5	25
x	2	x	15 - 15 = 0
2	4	5	30
40	20 - 15 = 5	10	0

 

Искомый элемент равен 2

Для этого элемента запасы равны 30, потребности 40. Поскольку минимальным является 30, то вычитаем его.

x41 = min(30,40) = 30.

 

x	x	1	0
3	4	5	25
x	2	x	0
2	x	x	30 - 30 = 0
40 - 30 = 10	5	10	0

 

Искомый элемент равен 3

Для этого элемента запасы равны 25, потребности 10. Поскольку минимальным является 10, то вычитаем его.

x21 = min(25,10) = 10.

 

x	x	1	0
3	4	5	25 - 10 = 15
x	2	x	0
2	x	x	0
10 - 10 = 0	5	10	0

 

Искомый элемент равен 4

Для этого элемента запасы равны 15, потребности 5. Поскольку минимальным является 5, то вычитаем его.

x22 = min(15,5) = 5.

 

x	x	1	0
3	4	5	15 - 5 = 10
x	2	x	0
2	x	x	0
0	5 - 5 = 0	10	0

 

Искомый элемент равен 5

Для этого элемента запасы равны 10, потребности 10. Поскольку минимальным является 10, то вычитаем его.

x23 = min(10,10) = 10.

 

x	x	1	0
3	4	5	10 - 10 = 0
x	2	x	0
2	x	x	0
0	0	10 - 10 = 0	0

 

 

	1	2	3	Запасы
1	5	3	1[30]	30
2	3[10]	4[5]	5[10]	25
3	4	2[15]	3	15
4	2[30]	4	5	30
Потребности	40	20	40