Методы оптимальных решений

КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА ПО ДИСЦИПЛИНЕ

«МЕТОДЫ  ОПТИМАЛЬНЫХ  РЕШЕНИЙ»

1. Дана задача линейного программирования

            

при ограничениях:

      

Графическим методом найти оптимальные решения при стремлении целевой функции к максимальному и минимальному значениям.

Значения коэффициентов целевой функции и системы ограничений

Значения	№ варианта
	6
	-2
	2
	1
	-2
	2
	-2
	3
	6
	-1
	3
	0-
	1
	0
	4

 

 

РЕШЕНИЕ:

 

 

Необходимо найти минимальное значение целевой функции F = -2x1+2x2 → min, при системе ограничений:

x1-2x2≤2	(1)
-2x1+3x2≤6	(2)
-x1+3x2≤0	(3)
x1≤4	(4)
x1≥0	(5)
x2≥0	(6)

Построим область допустимых решений, т.е. решим графически систему неравенств. Для этого построим каждую прямую и определим полуплоскости, заданные неравенствами (полуплоскости обозначены штрихом). 
 
Построим уравнение x1-2x2 = 2 по двум точкам. 
Для нахождения первой точки приравниваем x1 = 0. Находим x2 = -1. Для нахождения второй точки приравниваем x2 = 0. Находим x1 = 2. Соединяем точку (0;-1) с (2;0) прямой линией. Определим полуплоскость, задаваемую неравенством. Выбрав точку (0; 0), определим знак неравенства в полуплоскости: 1 • 0 - 2 • 0 - 2 ≤ 0, т.е. x1-2x2 - 2≤ 0 в полуплоскости ниже прямой. 
Построим уравнение -2x1+3x2 = 6 по двум точкам. 
Для нахождения первой точки приравниваем x1 = 0. Находим x2 = 2. Для нахождения второй точки приравниваем x2 = 0. Находим x1 = -3. Соединяем точку (0;2) с (-3;0) прямой линией. Определим полуплоскость, задаваемую неравенством. Выбрав точку (0; 0), определим знак неравенства в полуплоскости: -2 • 0 + 3 • 0 - 6 ≤ 0, т.е. -2x1+3x2 - 6≤ 0 в полуплоскости ниже прямой. 
Построим уравнение -x1+3x2 = 0 по двум точкам. 
Для нахождения первой точки приравниваем x1 = 1. Находим x2 = 0.33. Для нахождения второй точки приравниваем x2 = 1. Находим x1 = 3. Соединяем точку (1;0.33) с (3;1) прямой линией. Определим полуплоскость, задаваемую неравенством. Выбрав точку (0; 0), определим знак неравенства в полуплоскости: -1 • 0 + 3 • 0 - 0 = 0, т.е. -x1+3x2 - 0≤ 0 в полуплоскости на прямой. 
Построим уравнение x1 = 4. 
Эта прямая проходит через точку x1 = 4 параллельно оси OX2. Определим полуплоскость, задаваемую неравенством. Выбрав точку (0; 0), определим знак неравенства в полуплоскости: 1 • 0 - 4 ≤ 0, т.е. x1 - 4≤ 0 в полуплоскости левее прямой.

или

Границы области допустимых решений

Пересечением полуплоскостей будет являться область, координаты точек которого удовлетворяют условию неравенствам системы ограничений задачи. 
Обозначим границы области многоугольника решений. 

Рассмотрим целевую функцию задачи F = -2x1+2x2 → min.  
Построим прямую, отвечающую значению функции F = 0: F = -2x1+2x2 = 0. Вектор-градиент, составленный из коэффициентов целевой функции, указывает направление минимизации F(X). Начало вектора – точка (0; 0), конец – точка (-2; 2). Будем двигать эту прямую параллельным образом. Поскольку нас интересует минимальное решение, поэтому двигаем прямую до первого касания обозначенной области. На графике эта прямая обозначена пунктирной линией.

 

Область допустимых решений представляет собой многоугольник

Прямая F(x) = const пересекает область в точке E. Так как точка E получена в результате пересечения прямых (1) и (4), то ее координаты удовлетворяют уравнениям этих прямых: 
x1-2x2=2 
x1=4 
 
Решив систему уравнений, получим: x1 = 4, x2 = 1 
Откуда найдем минимальное значение целевой функции: 
F(X) = -2*4 + 2*1 = -6

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2. Фирма изготовляет два вида красок для внутренних (В) и наружных (Н) работ. Для их производства используют исходные продукты: пигмент и олифу. Расходы исходных продуктов и максимальные суточные запасы указаны в таблице.

Расходы и суточные запасы исходных продуктов

Исходный продукт	Расход  исходных продуктов на 1 т краски		Суточный запас, т
	Краска Н	Краска В
Пигмент
Олифа

 

Изучение рынка сбыта показало, что суточный спрос на краску для наружных (внутренних) работ никогда не превышает т в сутки. Цена продажи 1 т краски для наружных работ ден. ед.

Какое количество краски каждого вида должна производить фирма, чтобы доход от реализации продукции был максимален?

Значения коэффициентов условий задачи

Значения	№ варианта
	6
	2
	1
	3
	4
	24
	2
	1
	8
	1
	0
	3

 

Примечание. Если по условию задания спрос на краску Н (В) работ не превышает т в сутки, то в математической модели задачи следует принять, что коэффициент системы ограничений ( ) равен 1 (0), а при неизвестном значении краски для В (Н) работ ( ) равен 0 (1).

 

 

РЕШЕНИЕ:

 

 

Необходимо найти максимальное значение целевой функции F = 2x1+2x2 → max, при системе ограничений:

3x1+4x2≤24	(1)
2x1+x2≤8	(2)
x1≤3	(3)
x1≥0	(4)
x2≥0	(5)

Построим область допустимых решений, т.е. решим графически систему неравенств. Для этого построим каждую прямую и определим полуплоскости, заданные неравенствами (полуплоскости обозначены штрихом). 
 
Построим уравнение 3x1+4x2 = 24 по двум точкам. 
Для нахождения первой точки приравниваем x1 = 0. Находим x2 = 6. Для нахождения второй точки приравниваем x2 = 0. Находим x1 = 8. Соединяем точку (0;6) с (8;0) прямой линией. Определим полуплоскость, задаваемую неравенством. Выбрав точку (0; 0), определим знак неравенства в полуплоскости: 3 • 0 + 4 • 0 - 24 ≤ 0, т.е. 3x1+4x2 - 24≤ 0 в полуплоскости ниже прямой. 
Построим уравнение 2x1+x2 = 8 по двум точкам. 
Для нахождения первой точки приравниваем x1 = 0. Находим x2 = 8. Для нахождения второй точки приравниваем x2 = 0. Находим x1 = 4. Соединяем точку (0;8) с (4;0) прямой линией. Определим полуплоскость, задаваемую неравенством. Выбрав точку (0; 0), определим знак неравенства в полуплоскости: 2 • 0 + 1 • 0 - 8 ≤ 0, т.е. 2x1+x2 - 8≤ 0 в полуплоскости ниже прямой. 
Построим уравнение x1 = 3. 
Эта прямая проходит через точку x1 = 3 параллельно оси OX2. Определим полуплоскость, задаваемую неравенством. Выбрав точку (0; 0), определим знак неравенства в полуплоскости: 1 • 0 - 3 ≤ 0, т.е. x1 - 3≤ 0 в полуплоскости левее прямой.

или

Границы области допустимых решений

Пересечением полуплоскостей будет являться область, координаты точек которого удовлетворяют условию неравенствам системы ограничений задачи. 
Обозначим границы области многоугольника решений. 

Рассмотрим целевую функцию задачи F = 2x1+2x2 → max.  
Построим прямую, отвечающую значению функции F = 0: F = 2x1+2x2 = 0. Вектор-градиент, составленный из коэффициентов целевой функции, указывает направление максимизации F(X). Начало вектора – точка (0; 0), конец – точка (2; 2). Будем двигать эту прямую параллельным образом. Поскольку нас интересует максимальное решение, поэтому двигаем прямую до последнего касания обозначенной области. На графике эта прямая обозначена пунктирной линией.

 

Область допустимых решений представляет собой многоугольник

Прямая F(x) = const пересекает область в точке C. Так как точка C получена в результате пересечения прямых (1) и (2), то ее координаты удовлетворяют уравнениям этих прямых: 
3x1+4x2=24 
2x1+x2=8 
 
Решив систему уравнений, получим: x1 = 1.6, x2 = 4.8 
Откуда найдем максимальное значение целевой функции: 
F(X) = 2*1.6 + 2*4.8 = 12.8

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3. Составить математическую модель и решить задачу симплексным методом.

 

В производстве пользующихся спросом двух изделий, А или В, принимают участие 3 цеха. На изготовление одного изделия А первый цех затрачивает час, второй цех - час, третий цех - час. На изготовление одного изделия В первый цех затрачивает час, второй цех - час, третий цех - час. На производство обоих изделий первый цех может затратить не более час, второй цех не более час, третий цех – не более час.

От реализации одного изделия А фирма получает доход руб., изделие В - руб.

Определить максимальный доход от реализации всех изделий А и В.

 

Значение коэффициентов условия задачи

Значения	№ варианта
	6
	5
	6
	7
	7
	6
	1
	256
	283
	363
	9
	7

 

 

РЕШЕНИЕ:

 

Математическая  модель

5х1 +  7х2   ≤ 256

6х1+ 16х2 ≤ 283

7х1 + х2 ≤ 363

 

Для постановки задачи на максимум целевую функцию запишем так:

9х1 + 7х2→ max

 

Решим прямую задачу линейного программирования   симплексным методом, с использованием симплексной таблицы.

Определим максимальное значение целевой функции F(X) = 9x1 + 9x2 при следующих условиях-ограничений.

5x1 + 7x2≤256

6x1 + 16x2≤283

7x1≤363

Для построения первого опорного плана систему неравенств приведем к системе уравнений путем введения дополнительных переменных (переход к канонической форме).

В 1-м неравенстве смысла (≤) вводим базисную переменную x3. В 2-м неравенстве смысла (≤) вводим базисную переменную x4. В 3-м неравенстве смысла (≤) вводим базисную переменную x5. 

5x1 + 7x2 + 1x3 + 0x4 + 0x5 = 256

6x1 + 16x2 + 0x3 + 1x4 + 0x5 = 283

7x1 + 0x2 + 0x3 + 0x4 + 1x5 = 363

Матрица коэффициентов A = a(ij) этой системы уравнений имеет вид:

 

Базисные переменные это переменные, которые входят только в одно уравнение системы ограничений и притом с единичным коэффициентом.

Экономический смысл дополнительных переменных: дополнительные переменные задачи ЛП обозначают излишки сырья, времени, других ресурсов, остающихся в производстве данного оптимального плана.

Решим систему уравнений относительно базисных переменных: x3, x4, x5

Полагая, что свободные переменные равны 0, получим первый опорный план:

X1 = (0,0,256,283,363)

Базисное решение называется допустимым, если оно неотрицательно.

 

Базис	B	x1	x2	x3	x4	x5
x3	256	5	7	1	0	0
x4	283	6	16	0	1	0
x5	363	7	0	0	0	1
F(X0)	0	-9	-9	0	0	0