Математическое моделирование экономических систем

Процесс функционирования системы S описывается во времени оператором , который в общем случае преобразует экзогенные переменные в эндогенные в соответствии с соотношениями вида

Совокупность зависимостей выходных характеристик системы от времени для всех видов называется выходной траекторией . Зависимость называется законом функционирования системы S и обозначается. В общем случае закон функционирования системы может быть задан в виде функции, функционала, логических условий, в алгоритмической и табличной формах или в виде словесного правила соответствия.

Весьма важными для описания и исследования системы S является понятие алгоритма функционирования , под которым понимается метод получения выходных характеристик с учетом выходных воздействий воздействий внешней среды и собственных параметров системы. Очевидно, что один и тот же закон функционирования системы S может быть реализован различными способами, т.е. с помощью множества различных алгоритмов функционирования .

Соотношения являются математическим описанием поведения объекта (системы) моделирование во времени , т.е. отражают его динамические свойства. Поэтому математические модели такого вида принято называть динамическими моделями (системами).

Для статических моделей математическая модель представляет собой отображение между двумя подмножествами свойств моделируемого объекта Y и {X, V, H}, что в векторной форме может быть записано как

Соотношения и могут быть заданы различными способами: аналитически (с помощью формул), графически, таблично и т.д. Такие соотношения в ряде случаев могут быть получены через свойства системы S в конкретные моменты времени, называемые состояниями. Состояние системы S характеризуется векторами

 и  

где ,,…, в момент ,,…, и т.д.,

Таким образом, под математической моделью объекта (реальной системы) понимают конечное подмножество переменных вместе с математическими связями между ними и характеристиками

Если математическое описание объекта моделирования не содержит элементов случайности или они не учитываются, т.е. если можно считать, что в этом случае стохастические воздействия внешней среды и стохастические внутренние параметры отсутствуют, то модель называется детерминированной в том смысле, что характеристики однозначно определяются детерминированными входными воздействиями

 

Очевидно что детерминированная модель является частным случаем стохастической модели.

 

2.7 Типовые схемы

Приведенные математические соотношения представляют собой математические схемы общего вида и позволяют описать широкий класс систем. Однако в практике моделирования объектов в области системотехники и системного анализа на первоначальных этапах исследования системы рациональнее использовать типовые математические схемы: дифференциальные уравнения, конечные и вероятностные автоматы, системы массового обслуживания, сети Петри и т. д. Не обладая такой степенью общности, как рассмотренные модели, типовые математические схемы имеют преимущества простоты и наглядности, но при существенном сужении возможностей применения. В качестве детерминированных моделей, когда при исследовании случайные факторы не учитываются, для представления систем, функционирующих в непрерывном времени, используются дифференциальные, интегральные, интегро-дифференциальные и другие уравнения, а для представления систем, функционирующих в дискретном времени,— конечные автоматы и конечно-разностные схемы. В качестве стохастических моделей (при учете случайных факторов) для представления систем с дискретным временем используются вероятностные автоматы, а для представления системы с непрерывным временем — системы массового обслуживания и т. д. Перечисленные типовые математические схемы, естественно, не могут претендовать на возможность описания на их базе всех процессов, происходящих в больших информационно-управляющих системах. Для таких систем в ряде случаев более перспективным является применение агрегативных моделей. Агрегативные модели (системы) позволяют описать широкий круг объектов исследования с отображением системного характера этих объектов. Именно при агрегативном описании сложный объект (система) расчленяется на конечное число частей (подсистем), сохраняя при этом связи, обеспечивающие взаимодействие частей. Таким образом, при построении математических моделей процессов функционирования систем можно выделить следующие основные подходы: непрерывно-детерминированный (например, дифференциальные уравнения); дискретно-детерминированный (конечные автоматы); дискретно-стохастический (вероятностные автоматы); непрерывно-стохастический (системы массового обслуживания); обобщенный, или универсальный (агрегативные системы).

 

2.8 Основные логико-математическое характеристики для экономического процесса

           Для математического моделирования экономического процесса характерно рассмотрение именно случайных процессов, которые состоят из последовательности случайных событий и (или) значений случайных величин. Это может быть: возникновение или отсутствие события; выбор одного события из нескольких возможных; задание промежутка времени между событиями; задание значения какого-либо параметра и т. д. В зависимости от возникновения события или от значения какой-либо величины выбирается направление развития моделируемого процесса. Именно это сочетание случайности и зависящего от неё выбора создаёт в сложных объектах большое число возможных траекторий процесса (реализаций), что затрудняет его аналитическое исследование и приводит к необходимости имитационного моделирования. При математическом моделировании задают случайным образом какое-либо событие или значение какой-либо величины (т. е. причину), а затем прослеживают всю цепочку связанных с этой причиной следствий. Таким образом, имитационная модель в целом отражает причинно-следственные связи, но хотя при этом одна и та же причина вызывает одни и те же следствия, сами эти причины появляются случайным образом. Кроме того, на отдельных участках траектории процесса могут появляться дополнительные случайные воздействия и непредвиденным заранее образом менять направление развития процесса. Это повторяется большое число раз и таким образом создаётся выборка результатов моделирования при различных входных случайных явлениях. Характерно то, что при имитационном моделировании экономического процесса  всегда имеют дело не с отдельными случайными явлениями, а с их совокупностью — потоком. Фактически, в процессе моделирования экономического процесса находится выборка выходных случайных явлений (событий, величин) в зависимости от заданной выборки входных случайных явлений.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Глава 3. Построение математических моделей для экономических процессов

При построении модели используются такие операции мышления, как анализ через синтез, сравнение, классификация, обобщение, которые способствуют его развитию. Составление математической модели, перевод задачи на язык математики готовит к моделированию реальных процессов и явлений.

Можно отметить несколько этапов построения математической модели:

1. Осмысление задачи, выделение наиболее важных для нас качеств, свойств, величин и параметров.
2. Введение обозначений.
3. Составление системы ограничений, которым должны удовлетворять введенные величины.
4. Формулировка и запись условий, которым должно удовлетворять искомое оптимальное решение.

Процесс моделирования не заканчивается составлением модели, а только им начинается. Составив модель, выбирают метод нахождения ответа, решают задачу, после того как ответ найден сопоставляют его с реальностью.

 

3.1 Постановка задачи.

Задача:

Для изготовления продукции двух видов А и Б предприятие расходует ресурсы, а от реализации этой продукции получает доход. Информация о нормах затрат ресурсов на единицу выпускаемой продукции, запасах расходуемых ресурсов, имеющихся в распоряжении предприятия, и выручки от реализации готовой продукции приведены в таблице (таблица 1).

Задача предприятия заключается в том, чтобы разработать программу выпуска, обеспечивающую получение максимальной выручки от реализации готовой продукции.

 

 

Наименование ресурсов	Норма затрат на		Объем ресурса
	Продукт А	Продукт В
Сырье (кг)	3	1	418
Оборудование (ст. час)	1	4	388
Трудоресурсы (чел час)	7	1	475
Цена реализации (руб.)	121	214

(Таблица 1)

Требуется:

1. Построить математическую модель оптимизации выпуска продукции в форме задачи линейного программирования.

2. Используя графический метод решения задачи линейного программирования, найти оптимальную программу выпуска продукции и максимум ожидаемой выручки.

3. Составив задачу, двойственную к задаче оптимизации выпуска продукции, найти ее оптимальное решение, используя условия «дополняющее не жесткости». Дать экономическую интерпретацию этого решения.

 

Решение:

1. Построим  математическую модель оптимизации  выпуска продукции и запишем  ее в форме задачи линейного  программирования:

Обозначим:

 – количество  производимой продукции А

 – количество  производимой продукции Б

Тогда производственная программа выпуска изделий А и Б будет определяться вектором )

 

Искомая программа должна удовлетворять всем ресурсным ограничениям:

 

121+214MAX

 

2. Используя  графический метод решения задачи  линейного программирования, найдем  оптимальную программу выпуска продукции

I. + =418

	0	139,3
	418	0

          

 II. + =388

	0	388
	97	0

 

II. + =475

	0	67,9
	475	0

 

Так как О.Д.Р. представляет собой некоторый замкнутый многоугольник, полученный путём пересечения полуплоскостей, отвечающих отдельным неравенствам задачи, определим по какую сторону от граничных прямых располагается искомая полуплоскость. Для этого в каждое из трёх неравенств – ограничений подставим пробную точку (0;0):

                                      

Т.к. точка (0;0) удовлетворяет всем трём неравенствам, то искомые полуплоскости будут располагаться слева (ниже) граничных прямых (1) –(3).

       Кроме основных  ограничений на ресурсы, в задаче  имеются также тривиальные неравенства ;. Неравенству 0 отвечает полуплоскость, расположенная справа от оси , а граничная прямая, задаваемая уравнением =0 совпадает с осью . Граничная прямая =0 совпадает с осью , а множество точек удовлетворяющих неравенству 0 – это полуплоскость, лежащая выше оси ОХ. Изобразим О.Д.Р. графически:

Найдём теперь в этой области точку максимума целевой функции Z: grad Z=(121;214)=. Из начала координат, в направлении вектора откладываем вектор произвольной длины и перпендикулярно ему проведём через начало координат нулевую линию уровня.

Двигая эту линию в направлении вектора или параллельно самой себе, достигнем самой крайней точки О.Д.Р., это и будет точка максимума целевой функции Z:

*=(*;*). В нашей задаче точка * лежит на пересечении граничных прямых (II) и (III):

*: Þ

 

Оптимальная производственная программа *=(56;83) состоит в выпуске 56 ед. продукции А и 83 ед. продукции Б.

Ожидаемая выручка от их реализации составит:

Z=121×56+214×83=24538 руб.

 

3. Запишем задачу, двойственную  к задаче оптимизации выпуска  продукции.

Исходная задача:

Þ 3+£418

Þ +4£388

Þ 7+£475

³0; ³0

Z=121+214®MAX 

Двойственная задача:

x1Þ 3++7³121

x2Þ +4+³214

³0; ³0; ³0

W=418+388+475®MI

 

 

 

 

 

Здесь , , – двойственные оценки используемых ресурсов.

Используя условия «дополняющей не жёсткости», найдём оптимальное решение двойственной задачи:

Условия «дополняющей не жёсткости»:

1: ×=0;

2: ×=0;

 

При известном оптимальном векторе Х*=(56;83):

1: ×=0 Þ =56 Þ =0 ~ 3++7=121

×=0 Þ =83 Þ =0 ~ +4+=214

2: ×=0 Þ =418-3-=418-3×56-83=167, Þ =0

×=0 Þ =388--4=388-56-4×83=0 Þ ³0

×=0 Þ =475-7-=475-7×56-83=0, Þ ³0

 

Итак, получили систему уравнений:

*: Þ Þ *=(0;51;10)

 

Оптимальные целевой функции при этом

W*=418×0+388×51+475×10=24538 руб.

Получены следующие результаты расчета модели:

X*=(56;83)

U*=(0;51;10)

Z*=W*=24538 руб.

Проведем экономическую интерпретацию полученных результатов решения двойственной задачи:

Единицы измерения двойственных оценок определяются по формуле: =,

где ; ; - единицы измерения соответственно двойственной оценки оптимизируемого показателя и ресурса -ого вида.

В нашей задаче оптимизируемый показатель – выручка , измеряемая в рублях, единицы измерения ресурсов заданы в исходных данных задачи.

Итак: ()= руб./кг.;   ()= руб./ст.-час;  ()= руб./чел.-час.

Оптимальная оценка =0 руб./кг означает, что сырье в имеющемся объеме является избыточным, т.е. оно недоиспользуется.

Оптимальная оценка ресурса оборудования =51 руб./ст.-час показывает, что если имеющийся фонд времени на оборудование увеличить (снизить) на 1 кг, то ожидаемая выручка может увеличиться (снизиться) на 51 руб.

Оптимальная оценка =10 руб./чел.-час. означает, что если имеющийся объем трудоресурса увеличить (снизить) на 1 чел.-час., то ожидаемая выручка может увеличиться (снизиться) на 10 рублей.

3.2. Имитационные модели.

Однако с усложнением системы в построении моделей, в которых мы нуждаемся, их точное аналитическое описание становится все более проблематичными. Кроме того есть необходимость в изучении поведения системы в условиях изменяющихся случайным образом внешних воздействий. Эти два фактора усложнение и случайный характер воздействий приводит к необходимости создания другого класса моделей так называемых имитационных.