Марківські моделі багатогалузевої економічної системи

      ₍₃₈₎

Це означає, що є матрицею Маркова і для зручності ми позначаємо

_{Де  В - матриця марківського типу.}

Якщо рівняння представити у вигляді

     ₍₃₉₎

_{То ми, користуючись оберненою  матрицею}

Знайдемо х за формулою

_{Це  означає, що}

    ₍₄₀₎

І ряд для  є матрична геометрична прогресія з матричним знаменником є формулою для суми геометричної прогресії в матричному варіанті. Одиницею тут служить одинична матриця Е.

На відміну від зберігаючої моделі, х не задовольняє умови (3) навіть, якщо їм зодовільняє вектор , тому їх потрібно розглядати в розмірних величинах. Все ж, тут є можливість переходу до «однотипних » безрозмірних величин.

Нехай кратне власному вектору матриці А.  Тоді і розв’язок х шукатимуть у вигляді кратного і воду, підставивши х і в рівняння   _маємо

_{Ми після  винесення за дужки  матимемо}

Це означає, що при розв’язок знаходиться елементарно, тому з виділимо кратне так, щоб залишок мав таку властивість, яка переноситься на розв’язок. Для цього представимо у вигляді і розв’язок шукатимемо у вигляді . Тоді рівняння 11 набере вигляду :

Вибираючи   і враховуючи формулу зверху ми матимемо рівняння відносно :

Власний вектор ми нормували так, щоб сума його компонент дорівнювала одиниці. Ми беремо так, щоб воно дорівнювало сумі компонент вектора дорівнюватиме 0 і серед його компонент будуть від’ємні.

Очевидно, що

Сума компонент вектора  і всіх є 0 і, отже, розв’язок теж матиме таку властивість. В економічному плані ми вводимо фіктивні величини , сумарна вартість яких 0 і вони лише показують середнє відхилення від дотацій і продукту відповідно. Це означає, що для якісного аналізу прибуткової моделі можна обійтись, як і в зберігаючій, власним вектором матриці А. Більш детальний аналіз потребує вивчення відхилень і тут вже не обійтись без резольвенти.

 

8. Оптимізація виробництва.

Позначимо через  вартість виробленого продукту . Тоді показник якості економічної системи запишемо у вигляді

Вектор вартості

Тут фігурує у вигляді  вектора рядка.

Нехай маємо  кількість дотацій і-того фактора необхідне для виробництва одиниці продукту в j-тому регіоні. Тоді загальні потреби і-того фактора ставлять

Ресурси мають певну вартість і для виробництва за 1 крок обмежені і становлять для і-тої галузі. Кількість галузей становлять певне число, яке взагалі не співпадає з п.

Отже, обмеження для дотацій  задаються т-вектором стовпчиком.

Для компонент якого маємо  нерівності (обмеження)

Кількість нерівностей співпадає  з кількістю галузей економічної системи. Обмеження на затрати окремих галузей записуються і вигляді умов (нерівностей) :

В лівій частині кожної з нерівностей системи маємо  сумарні затрати дотацій відповідної  галузі виробництва при заданому плані їх використання в регіонах – обмеження по цій галузі.

Дотації тут як завжди невід’ємні

і задача планування виробництва  нагадує нам задачу лінійного  програмування, тільки тут лінійна  форма  , яку належить максимізувати, записана відносно змінних , а обмеження – відносно .

Матриця прямокутна, її розміри , і ми позначимо її буквою Н. Тоді задача оптимізації виробництва набере вигляду

При цьому функціонування економічної системи відбувається за правилами

де, - матриця А є матрицею марківського типу.

Останні два вище показані співвідношення вказують, що оптимальна модель набагато складніша від двох попередніх, зберігаючої та прибуткової. Якщо для якісного аналізу прибуткової моделі можна було обійтись засобами  аналізу зберігаючої (власним вектором матриці А) та для більш детального аналізу (вивчення дисперсії виробництва) знадобилось залучення резольвенти R матриці A, то оптимальна модель потребує використання резольвенти вже на початковому етапі. Залежність х від d цілком детермінована і резольвента дає можливість представити форму через дотації d:

Вектор g є новим вектором якості і з його допомогою ми оптимальну модель можемо звести до типової задачі лінійного програмування

Двоїста задача породжується білінійною формою

і двома лінійними

Тут фігурують дві групи  незалежних змінних, що є компонентами векторів і відповідно. Згадаємо символічний вектор , компонентами якого є частинні похідні по всіх змінних, або їх частин і тоді ця частина відмічається індексом. Зокрема

Вектор  називають градієнтом і пишуть скорочено латиною .

Лінійну форму    не можна збільшувати , якщо зміна вздовж збільшення порушує нерівності , тобто для оптимального нерівності переходять в рівності, тому розв’язувати задачу досить для таких , для яких

Позначимо вектори  зверху на рядок  скалярно. Згідно формул та

 ми матимемо:

Ненульовий вектор довільний, тому з цієї формули випливають рівності , тобто умови та еквівалентні і оптимальну задачу можна записати у вигляді

Це означає, що функція  досягає екстремального значення при виконанні умови

, і тоді градієнти  цих функцій повинні співпадати

Звідси ми аналогічно отримуємо умову:

і, якщо екстремалізувати форму

при умові , то ми отримаємо умови , двоїстості до умов . Позначимо екстремальне значення двоїстості задачі через . Тоді, очевидно,

і залишилось показати, що з  умов прямої задачі

Випливають умови двоїстої

Для цього досить розглянути варіації невідомих  так, щоб виконувалась рівність

Тоді очевидними є імплікації

Остання нерівність виконується  для достатньо довільних d, тому добуток

Виконується при  означає, що виконується нерівність .

 

Висновок

 

 

Список  літератури