Марківські моделі багатогалузевої економічної системи

Київський національний університет імені Тараса Шевченка

Курсова робота з дисципліни: «Дослідження операцій в економіці» на тему: «Марківські моделі багатогалузевої економічної системи»

Роботу  виконала

Студентка 2-гого курсу

Спеціальності Економічна кібернетика

2-га  група

Карпенко Лілія

Київ 2012

Зміст:

Вступ 3

1. Економічна система 7

2. Економічна система галузі. 9

3. Марківська взаємодія 10

4. Самоорганізованість системи 14

5. Зберігаючі моделі 17

6. Прибуткова модель 19

7. Марківський тип резольвенти 22

8. Оптимізація виробництва. 25

Висновок 29

Список літератури 30

 

Вступ

В результаті існуючих взаємовідносин на ринку товарів  і послуг відомо, що споживачі хочуть купувати товари та послуги, які максимально будуть задовольняти їхні потреби з мінімальними для цього витратами, а продавці прагнуть реалізувати свої товари та послуги за максимальною ціною і збільшити дохід свого підприємства. Саме ключова фраза збільшити або максимізувати свій дохід, тобто оптимально виробляти продукцію на ринку є головним завданням предмету «Дослідження операцій в економіці». За допомогою різних методів та моделей економісти вже на протязі довгого часу намагаються прослідкувати та виявити закономірність економічного розвитку підприємств(фірм) та допомагають реалізувати їм весь свій потенціал та можливості.

Вирішення оптимізаційних задач та формування оптимального плану  виробництва є дуже важливими  складовими успішного бізнесу, оскільки кінцева мета його є реалізація товарів  та і максимізація доходу, з мінімальними витратами та оптимальним використанням ресурсів.

Оскільки  дисципліна дослідження операцій займається розробкою та практичним застосуванням  методів найбільш ефективного управління різними організаційними системами  то умова статичної стійкості(тобто ймовірності) дозволяє використати в процесі ухвалення рішень ефективні математичні методи теорії випадкових процесів і, зокрема, одного з її розділів - теорії Марківських процесів.[1]

Завдяки порівняльній простоті і наочності математичного  апарату, високої достовірності  і точності отримуваних рішень марківські процеси привернули мою увагу  і оскільки особливого значення процеси  придбали у фахівців, що займаються дослідженням операцій і теорією  прийняття оптимальних рішень я  вирішила взяти цю тему як основу моєї курсової роботи.

Марківські  випадкові процеси названі по імені видатного російського  математика А.А.Маркова(1856-1922), що уперше почав вивчення імовірнісного зв'язку випадкових величин і створив  теорію, яку можна назвати "динамікою  вірогідності". Надалі основи цієї теорії стали початковою базою загальної  теорії випадкових процесів, а також  таких важливих прикладних наук, як теорія дифузійних процесів, теорія надійності, теорія масового обслуговування і так далі. Нині теорія марківських процесів і її застосування широко застосовуються в найрізноманітніших областях.

В моїй роботі буде розглянута модель міжгалузевих зв’язків економічної системи. Нехай економіка її визначається виробництвом в регіонах, природа яких циклічна. Частина кінцевого продукту кожним регіоном виводиться до інших, а частина споживається ним на місці. Всі регіони взаємопов’язані та функціонування кожного з них можливе лише при забезпеченні необхідних поставок засобів виробництва з інших регіонів.

Ця робота починається з векторів, матриць  та резольвент.

Вектори виникають  при співставленні кожному регіону  системи величини валового продукту. Побудуємо n-вектор х, кожна компонента якого є часткою від валового продукту системи. Тоді компоненти вектора х невід’ємні і сума їх дорівнює одиниці.

Розглянемо  деяку галузь системи, для якої відома лише частка валового продукту і-того регіону . Тоді частка галузевого продукту в і-тому регіоні відносно всієї галузі становитиме , а - частка галузевого продукту в системі.

Порівнюючи  останню величину з виразом для  повної імовірності (галузь в регіоні буде новою гіпотезою), аналогом формул Байєса, де

дадуть нам  частку галузевого продукту в і - тому регіоні відносно галузі системи.

Матриці, розглянуті в роботі, дають алгебраїчну картину  взаємодії регіонів економічної  системи, співставляючи обміну продукту-сировини між регіонами матрицю марківського типу n x n. Властивості таких взаємодій часто можна ефективно виявити за властивостями матриці А.

Також в роботі буде розглядатися питання, про те, чи визначає матриця А(m) взаємодію регіонів за m ітерацій. Скажу поки, що в загалом так, але повинна стояти умова однорідності процесу, оскільки в такому випадку кожна ітерація буде описуватися тією ж матрицею А , і матриці степені m також буде залишатись матрицею марківського типу, тобто елементи матриці мають бути додатні їхня сума в кожному стовпці має дорівнювати 1.

Зупиню свою увагу в роботі також на початку  чергового циклу виробничого  процесу системи. Він виражається  вектором х, який внаслідок роботи системи  переходить в вектори  . Завдяки позитивності елементів матриці А послідовність при збігається до власного вектора , що забезпечує стабільність виробничого процесу і доцільність вибору стартового вектора в якості власного вектора матриці А.

Таку розглянуту систему називають самодостатньою, але, на жаль, вона не вказує на наявність  прибутку у вигляді додаткової вартості. На щастя, позитивний слід матриці А усуває даний недолік, бо він заміщається еквівалентом «робочої сили», хоч А і містить ефект вічного двигуна системи.

Власні вектори  матриці А не будуть мати економічного змісту. Якщо серед їхніх компонентів  є негативні, то вони не будуть вважатися власними. Це означає, що ми розглядаємо матрицю А, як оператор в конусі додатних векторів і в ньому оператор А буде додатнім. В такому сенсі марківська матриця А має лише один єдиний власний вектор з власним значення . Адже тільки тоді . Звісно, маючи певну числову послідовність нам достовірно було б дізнатись, чи має вона границю. Можна сказати, що так, якщо всі елементи такої послідовності будуть строго додатні. Отже, матриця А в степені при буде мати границею вектор при тому що всі елементи і - того рядка матриці будуть мати спільну границю .

Але знову  ж таки, на жаль, величина може бути недостатньою для окупності робочої сили: нею не можна регулювати в однорідному режимі. Прибуткові моделі виправляють ситуацію: податок заміщається сировинними дотаціями . Виробничий процес ускладнюється дією , яка в результаті повинна привести до «близького до х» вектора

Резольвенти відіграють вирішальну роль при вивченні прибуткових моделей. Виявляється, що вони пропорційні до Марківських матриць з коефіцієнтом пропорційності і обчислюється сумою матричної геометричної прогресії. Тепер залежить від дотацій і виражається формулою , а власний вектор підказує бажану структуру дотацій .

Дотації , їх бажану структуру можна описати  лише наближено у вигляді нерівностей  , де - це матриця розміру , а - це вектор стовпчик розміру . Ці нерівності нагадують нам систему обмежень для задач лінійного програмування. Але тут ми можемо оцінювати лише вартість виробництва

,де  -  n вектор – рядок.

Тепер ситуацію виправляє резольвента , допомогою якої ми можемо ціновий вектор замінити новим. і тоді функція вартості набуває вигляду і задача буде зводитись до однієї з двоїстих, а саме:

Оскільки мета моєї роботи полягає у економічному застосуванні теорії марківських процесів для розроблення оптимальних рішень. то перед тим як вдатися до детального викладення практичної частини моєї роботи потрібно краще зрозуміти саму суть явища та охарактеризувати основні завдання процесів. Саме тому я хочу посвятити курсову роботу теоретичним основам процесів і привести практичне застосування цих явищ в економіці, та утвердити ефективність використання саме таких методів рішення оптимізаційних задач.

 

1. Економічна  система

Я пропоную розглянути багатогалузеву економічну систему яка складається з n регіонів. Основною характеристикою економічної системи є валовий продукт Q, який вона виробляє. Якщо він є однорідний, то його можна вимірювати в одиницях ваги, вартості, або просто кількістю. Такі одиниці виміру називають масштабними. Різні масштабні одиниці приводять до різних значень величини валового продукту Q. Універсальною вважається вартісна оцінка продукту, в якій масштабна оцінка буде грошова. Після вибору масштабної одиниці, говорять, що продукт Q уніфіковано вибором певної масштабної одиниці виміру і така процедура дає можливість вважати продукт Q однорідним.

Сама назва економічна система означає, що її структура  складна. Ми вважаємо, що вона містить певні складові системи. Їх кількість буде визначатись цілим числом n регіонів, як я вже вказала вище.

Поділ системи на регіони  приводить до необхідності введення поняття валового продукту для кожного j-того регіону, при . Звісно звідси слідує, що ми можемо охарактеризувати систему, для якої буде виконуватись співвідношення:

       (1)

Характеристики (1) не можна  називати числовими, бо в них присутня певна масштабна одиниця, тому зручніше користуватися такими безрозмірними  величинами, як . Тобто можемо виразити виробництво галуззю кожного продукту через його частку в загальному виробництві, а саме:

        (2)

де  - частка виробництва j - тої галузі у процесі утворення загального валового продукту Q.

Таку процедуру можна  назвати «винесенням за дужки» основної розмірної характеристики Q, внаслідок чого система характеризується вектором

і величиною Q для яких справедливі співвідношення :

    ₍₃₎

Вектор х ще називають розподілом валового продукту Q між регіонами пропорціональне до компоненти вектора х., про що говорять співвідношення показані вище. Це означає, що j- тий регіон містить частину валового продукту Q тому ще називають валовим множником продукту Q.

В j-тому регіоні продукт буде мати ціну Таким чином маємо вектор

     ₍₄₎

_{компонентами якого є ринкова ціна одиниці продукту в j-тому регіоні. Це означає що ринкова ціна товару}

В дужках ми маємо величини, що мають розмірність ціни з j значенням між величинами , тобто

_{Добуток с*х називають скалярним і його співмножники с і х вважаються відповідним рядком і стовпчиком. Якщо всі}

, то

 буде середнім арифметичним  чисел  . В загальному випадку, коли задовольняють умови (3), то ми матимемо вектор , що теж міститься середнім значенням с з вагою х. Тут використана механічна термінологія, де в якості середнього значення фігурує центр ваги.

2. Економічна  система галузі.

Розподіл економічної  системи на регіональні складові не вичерпує її розмаїття. Не менш важливими є галузеві характеристики системи. Вони присутні в кожному регіоні , де, вже не на місцевому рівні проводиться облік галузевих характеристик регіонального продукту. Тут першорядною є характеристика число , яке означає частку галузевого продукту в регіоні відносно валового продукту всієї системи. Отже величина

     (5)

є часткою галузевого продукту в системі. Ми тут, як і в 1 параграфі, знову маємо справу з додатнім вектором

    (6)

який є аналогом цінового (4), скалярним добутком вектора-рядка  на вектор стовпчик х і середнім з всього значенням з чисел .

Отже, як сказано вище, маємо  загальний вал Q . Зазначимо частинку , кількість виготовленого галузевого продукту в кожному j-тому регіони з яких складається наша цілісна система, і загальний валовий продукт.

Позначаємо 

      (7)

як частку галузевого продукту, в j - тій галузі j - того регіону.

Дуже важливим є ймовірнісний аналог формули (5). Для цього числа вважатимемо розподілом ймовірностей повної системи подій ( регіонів ) і тоді для виконуються умови (3). Що до чисел , то вони відіграють роль умовних ймовірностей і події В (галузь) при умові, що вона справджується в регіоні . Тоді

  (8)

Отже середнє  , вагою х є повною ймовірністю (гіпотези В-галузі), а формули Байєса, або, як інколи кажуть, формули ймовірностей гіпотез

набирають вигляду

і виражають розподіл валового продукту галузі за регіонами.

Таким чином показники  для галузі в регіонах дають можливість перерахувати розподіл х валового продукту системи в розподіл валового продукту для конкретної галузі системи.

3. Марківська  взаємодія

Зафіксуємо  результат виробничого циклу  у вигляді розподілу виробленого  продукту Q в пропорціях у вигляді безрозмірних компонент n - вектора х. Отже вектор х буде задовольняти умови (3) і ми його вважаємо стартовою позицією системи.

Під плануванням  виробництва ми маємо на увазі  перерозподіл продукту , яку виробляє кожна j-тий регіон. А тепер уявімо собі, що кожний регіон, який функціонує з іншими регіонами і виготовляючи свій продукт частину виготовленого продукту віддає іншим регіонам, а частину залишає собі, для подальшого виробництва або споживання. Частини, які кожна галузь віддає і ті, які залишає собі у вигляді матриці A: