Марківські моделі багатогалузевої економічної системи

      ₍₈₎

де елементи типу це частинки продукту , які виготовляє j-та галузь, і передає і-тій галузі, а частинки продукту це частини продукту, які галузь використовує в своїх власних цілях.

Для матриці  А вектори

        ₍₉₎

є стовпцями  матриці А.

Яким буде перерозподілений вектор х? Позначимо його як вектор і, наприклад, його перша компонента становить частку від тобто частку , частку від компоненти - і т.д. і їхня сума є добутком першого рядка матриці А на вектор стовпчик :

     (10)

Щоб отримати значення j - тої компоненти вектора досить замінити 1 на j в останній формулі, звідки остаточно приходимо до формули

х(1) = А*х       (11)

Зважаючи  тепер х(1) сировинною з якої регіони виробляють продукт, собівартість його співпадає з х(1). Це означає, що процес виробництва за один цикл зводиться до дії на стартовий продукт х матриці. А. Тепер х(1) є продуктом і ми можемо його вважати новою стартовою позицією. Якщо нове планування не змінюється і описується дією матриці А, то такий процес ми назвемо однорідним. Ми, таким чином, вважаємо, що виробничий процес є:

1. Зберігаючий ( собівартісний )
2. Однорідний (матриця А однакова у всіх циклах)

Однорідність процесу  означає, що на другому циклі діє  теж матриця А і тоді

   (12)

Ітерації приведених міркувань  приводить нас до формули 

      (13)

Ми отримали векторну послідовність , поведінка якої повністю визначається поведінкою матричної послідовності . Більша складність останньої формули компенсується її незалежністю від стартової позиції х і тут постають такі питання:

Чи будуть компоненти вектора  задовольняти умови (3) і, яка поведінка послідовності і матричних ітерацій при .

Позитивна відповідь на ці питання гарантується важливою властивістю  матриці А, а саме, сума елементів  кожного стовпця матриці = 1.

      ₍₁₄₎

Отже маємо, кожна j-та галузь передає частину виготовленого продукту i-тій галузі, тобто фактично кожна j-та галузь передає частину свого продукту i-тій галузі виробництва.

Ця властивість  очевидна, вона випливає з визначення чисел  . Такими матрицями описується повна ймовірнісна картина можливих змін при переході від одного випробування до іншого(наступного) тобто ми маємо схему, що має назву ланцюгів Маркова і її називають матрицею переходу.

Якщо взяти  для прикладу матрицю розміру 2 х 2, вигляду:

       (15)

вказує, що матриця А є матрицею типу Маркова, оскільки:

і, отже після  двох циклів все починається спочатку. Такі моделі називають циклічними і  тут послідовність  не має границі. Те, що задовольняють умови (3) справджується в загальному випадку, адже

   (16)

а циклічність  моделі

Завдячується  дещо спеціальним властивостям матриці А і для матриць зі строго додатними елементами циклічність відсутня, тому заміна матриці «близькою» з позитивними елементами виводить її з групи циклічних і для них згідно результатів А.А.Маркова [ст.. 116]

 

4. Самоорганізованість системи

Змістовність планування, що описується матрицею марківського типу, залежить від поведінки векторної послідовності . З формул (15) випливає, що при всіх вектор задовольняє умови (3).

Розгорнутий запис формули (12) у вигляді (11):

   (17)

вказує, що компонентами вектора  слугують середні арифметичні рядків матриці А з вагою , тобто

     (18)

і ці нерівності строгі якщо елементи рядка різні. Рівність можлива  лише, коли елементи рядка всі однакові. Отже, компоненти вектора  розміщені поміж значеннями елементів відповідного рядка матриці і залежність їх від х меншає при більшій скупченості елементів рядка матриці .

Виявляється, що при  величина згасає до 0. Це одне з найголовніших результатів стосовно матриць типу Маркова. При елементи рядків матриці збігаються до спільної границі. Інакше кажучи, стовпчики матриці мають спільну границю, якою є вектор .

Цей результат вперше отримав творець теорії ланцюгових залежностей А.А.Марков. Це перше строго введення результат так званих ергодичних теорем [1, ст. 116]

Для і-того рядка матриці позначимо

   (19)

Це означає, що всі елементи і-того рядка матриці  належать відрізку довжиною .

Щоб оцінити границі відрізка , виділимо в формулі

     (20)

доданок з найменшим  а решту замінимо величиною , що дорівнює максимальному значенні функції.

Від цього сума зросте до величини

   (21)

Щоб оцінити знизу величину ми в (20) виділимо доданок з максимальними значенням , а решту замінимо мінімальними. Від цього сума зменшиться і ми матимемо

а решту  замінимо мінімальними. Від цього сума зменшиться і ми матимемо

   (22)

Тут інше від попереднього. Воно є значенням , що помножене на максимальне в сумі (20), але оцінка його мінімальним

     (23)

вказує, що границі інтервалу, де розміщається елементи і-того рядка матриці звужуються на величину

    (24)

Починаючи з відрізка на якому розміщені елементи рядка матриці А, ми матимемо

   (25)

і по скільки

     (26)

то ми маємо строге обґрунтування  стабілізації матриці  до матриці з однаковими стовпчиками , компоненти якого задовольняють умову (3).

Якщо наявність нульових значень  тільки підсилюють оцінки (такі доданки випадають з суми), то нульові значення не дають можливості оцінити (принаймні знизу) . Приклад (15) вказує, що не має границі, адже тут

Матриця з однаковими стовпчиками  вироджена, ранг матриці є 1 і, отже, область значень співпадає з для довільних х, що задовольняють умові (3).

 

5. Зберігаючі  моделі

Вектор  , до якого збігаються стовпці матричної послідовності _{є власним вектором матриця . В цьому неважко переконатися якщо представити у вигляді:}

      ₍₂₇₎

При права частина прямує до , а ліва частина до . Отже, власному вектору відповідає власне число . Інших власних чисел в матриці А немає, бо тоді ми мали б таке співвідношення:

Звідки випливає, що , .

Повернемось до питань змістовності економічної  моделі. При довільному стартовому розподілі х за один крок ми матимемо:

Де  задовольняють умови (3), тобто зберігають величину валового продукту. Крім того, ми вияснили , що

     ₍₂₈₎

Тобто валовий  продукт  не тільки зберігається, але й стабілізується до власного. Побудова вектора підказує , що це єдиний власний вектор важливою є умова, що при деякому всі елементи матриці _{строго додатні.}

В розглянутій  замкнутій економічній моделі відсутній  ефект так званого «вічного двигуна», в якому присутні споживання безкоштовних ресурсів, отже, без цього модель втрачає свій економічний зміст. На щастя частки товару з однаковими індексами усуває цей недолік залишаючись на підприємстві в якості додаткового продукту, ми перетворюємо його на «робочу силу» . В наступному циклі «робоча сила» і буде тим рушієм, що переводить сировину в товар. Розподіл робочої сили як товару є фіктивним процесом і реалізовується в якості націнки на реальний товар.

Зі здійсненням  циклу в замкнутій системі  можна провести аналогію зі схемою однорідних ланцюгів маркова в теорії ймовірностей. В них умовна ймовірність  появи події  в деякому к-тому випробуванні за умови, що в - шому випробуванні здійснилась подія не залежить від . Ця ймовірність називається ймовірністю переходу і становить , для деяких виконуються умови (1).

Повна ймовірнісна  картина можливих змін здійснюється при переході від одного випробування до наступного , безпосередньо задається  матрицею А.

Отже, я дала відповідь про зв’язок економічних процесів з марківськими процесами та їх використання в економічних розрахунках наведених вище систем та систем які будуть проілюстровані далі. В попередніх параграфах ми позначили - як загальний валовий продукт економічних галузей. Вектор є вектор стовпець частки загального продукту , при чому обов’язково потрібно зазначити, що

     ₍₂₉₎

де  - це продукт j-тої галузі.

Частки продукту в, які відображають частку продукту що кожна j-та галузь передає i-тій галузі складаються в матрицю типу Маркова, оскільки , і всі > 0. Отже, маючи матрицю типу маркова, ми застосувати деякі властивості ергодичної теореми маркова.

 

6. Прибуткова  модель

Зрозуміло, що самодостатня модель в економіці  використовується тільки в домогосподарствах, для власного споживання, а оскільки кожний продукт виробництва, приносячи  якийсь прибуток має бути обкладений податком, або забирається директором виробництва, я хочу представити  іншу модель виробництва, де ми забираємо  частку прибутку, і не використовуємо її для подальшого виробничого циклу.

Вище ми прийшли  до висновку, що в зберігаючих моделях «прихований» прибуток породжують діагональні елементи матриці А. Така система як я вже вказувала нагадує нам натуральне господарство з примітивною системою оподаткування у вигляді єдиного податку , який часто застосовується до учасників малого бізнесу.

Такий спосіб рекомендовано застосовувати в  таких випадках, коли з певних причин не бажано змінювати структуру планування валового продукту. Проте виробництво  продукту потребує низки категорій сировини, певного устаткування, робочої сили різноманітної кваліфікації, енергії, палива, транспорту і т.д. Непередбачуваність деяких факторів приводить до необхідності доповнення додаткової сировини, яку визначаємо планом у вигляді вектора:

     ₍₃₀₎

Компоненти  якого і виражають величину дотації  для окремого регіону.

Нехай на початку  стартового циклу ресурс х обкладається пропорційним податком, при чому пропорційний податок ми позначимо як , тобто частка податку буде становити

  .      (31)

 Отже, тепер  ми маємо частку продукту, яка залишилась для виробництва і становить

, де  .     (32)

Після податку  знову відбувається плановий перерозподіл вигляду  , до якого додається певна нова сировина або дотації. Які ми вже позначили через .Отже в результаті маємо новий продукт виробництва і виробничий цикл буде ускладнюватись на відміну від зберігаючи моделей і набирає вигляду

, де  .     (33)

Згідно позначень  для попередньою моделі ми матимемо векторну послідовність 

Тут знову  виникає  послідовність  , яка на відміну від послідовності в зберігаючій моделі суттєво залежать від дотацій , які задаються наперед і не змінюються від циклу до іншого циклу.

Тут навіть якщо починати на стартовій позицій з розподілу  , то вже на першому кроці маємо . Якщо почати з великого Х, то з нього зніметься великий (пропорційний ) податок і дотації не виправлять становища, якщо , тобто Х на наступному кроці буде зменшуватися. Отже, всі підстави вважати системи (10) як і в випадку зберігаючої моделі саморегульована(синергетична) .  Формально, в цьому можна _{переконатися, якщо врахувати (39) і записати}

     ₍₃₄₎

Якщо ж  ми будемо перетворювати рівняння , постійно розкриваючи дужки ми матимемо:

,

Знову таки формально виносячи за дужки і при , ми знайдемо, що

Отже, ми знаємо, що матриця  є матрицею марківського типу, згасає до 0:

Матричний ряд:

.      (35)

де матриця - це резольвента матриці А, її позначають буквою або , якщо є необхідність відмітити залежність від . Отже формальні міркування привели нас до висновку, що якщо прибуткова система саморегулюється, то вектор стабілізується до розв’язку Х векторного рівняння:

_Тобто

завжди буде мати єдиний розв’язок, який визначається формулою , при насамперед заданому векторі дотацій .

 

7. Марківський тип резольвенти

Для кожного члена матричного ряду резольвенти  справедливі оцінки

     ₍₃₆₎

_{Тому  кожен член резольвенти} 

_{і мажорується сумою геометричних прогресій}

     ₍₃₇₎

Це означає, що матричний  ряд для  збігається до матриці елементам . Суми стовпців резольвенти легко підрахувати, якщо згадати, що всі є матрицями марківського типу (їх стовпці задовольняють умови (3)). Тоді сума стовпців кожного доданку для становитиме . Отже,