Контрольная работа по «Эконометрика»

 

С помощью F – критерия Фишера проверим значимость модели в целом. Для этого выпишем из итогов РЕГРЕССИИ (таблица «Дисперсионный анализ» для модели (4))  
F=73,28. Определим критическое значение F_кр (5%,2,37) = 3,25 (Функция FРАСПОБР).

 

Сравним найденные величины:

F=73,28>F_кр=3,25 – следовательно, уравнение модели в целом является значимым,  зависимая переменная Y достаточно хорошо описывается включенными в модель факторными переменными X₂ и X₃ .

 

Дополнительно с помощью t-критерия Стьюдента проверим значимость отдельных коэффициентов модели.

     t-статистики для коэффициентов уравнения регрессии приведены в итогах программы РЕГРЕССИЯ. Для выбранной модели (4) получим следующие значения:

 

	Коэффициенты	Стандартная ошибка	t-статистика	P-Значение
Y-пересечение	-16,47476878	10,75309349	-1,532095745	0,134005
X2	3,940559372	6,040960563	0,652306753	0,518236
X3	1,473662179	0,224692418	6,558575451	1,11E-07

    

Критическое значение t_кр = 2,026 найдено для уровня значимости α=5% и числа степеней свободы k = 40 – 2 - 1 = 37 (Приложение 1 или функция СТЬЮДРАСПОБР).

 

Схема проверки:

 

        не знач.    2,03  знач.

 0  t_кр           t

 

 

Для свободного коэффициента а= -16,47 определена статистика t(а) = -1,53.

‌‌‌│t(а)│=0,77<t_кр=2,03, следовательно, свободный коэффициент а не является значимым, его можно исключить из модели.

 

Для  коэффициента регрессии b₂ = 3,94 определена статистика t(b₂) = 0,65.

│t(b₂)│= 0,65<t_кр=2,03, следовательно, свободный коэффициент b₂ не является значимым, его можно исключить из модели.

 

Для  коэффициента регрессии b₃ = 1,47 определена статистика t(b₃) = 6,56.

│t(b₃)│=6,56>t_кр=2,03, следовательно, коэффициент регрессии b₃ является значимым, следовательно фактор общей площади квартиры нужно сохранить в модели.

 

Выводы о значимости коэффициентов модели сделаны на уровне значимости α = 5%.

Рассматривая столбец  «Р-значение», отметим, что свободный  коэффициент a можно считать значимым на уровне 0,13 = 13%; коэффициент регрессии b₂ – на уровне 0,52 = 52%;  коэффициент регрессии b₃ – на уровне 0,000000111 = 0, 00001%.

 

При добавлении в уравнение  новых факторных переменных автоматически  увеличивается коэффициент детерминации R² и уменьшается средняя ошибка аппроксимации,  при этом не всегда улучшается качество модели. Поэтому для сравнения качества парной модели (3) и выбранной множественной модели (4) используем нормированные коэффициенты детерминации.

 

Модель	Нормированный R- квадрат
YТ = -14,9 + 1,6·X3  (3)	0,790747
YТ = -16,47 + 3,94·X2 + 1,47·X3  (4)	0,787535

 

Таким образом, при добавлении в уравнение регрессии фактора количества комнат в квартире (X₂) качество модели ухудшилось, что говорит не в пользу сохранения фактора X₂ в модели.

 

Средние коэффициенты эластичности в случае линейной модели определяются формулами:

Э_j = b_j·

,  j = 1,2,…,

где , – выборочные средние признаков X_j и Y; b_j – коэффициенты регрессии.

Подготовим  =72,93; =2,6; =101,24

 

Э₃ =  3,94· = 2,838; Э₂ = 1,47· = 0,378

Следовательно, при увеличении общей площади квартиры X₃ на 1% и неизменном значении количества комнат в квартире X₂ стоимость квартиры увеличивается в среднем на 2,838%.

Изменение количества комнат в квартире в % выражать не имеет логического смысла.

 

Бета-коэффициенты определяются формулами β_j = b_j· ,   j = 1,2,…,  

где S_xj , S_y - выборочные средние квадратичные (стандартные) отклонения признаков X_j и Y.

b_j – коэффициенты регрессии.

 

Подготовим    S_x3 = 32,101; S_x2 = 1,194; S_y = 57,291 (функция СТАНДАРТОТКЛОН).

Рассчитаем: β₃ = 0,8237, β₂ = 0,0821.

       

Таким образом, при увеличении только фактора X₃ на одно свое стандартное отклонение результат Y увеличивается в среднем на 0,8237 своего стандартного отклонения  S_у, при увеличении только фактора X₂ на его одно стандартное отклонение  результат Y увеличивается в среднем на 0,0821 своего стандартного отклонения S_у. 

 

Дельта  – коэффициенты определяются формулами ∆j =  βj· , j = 1,2,…,

где r(Y, Xj) – соответствующие выборочные коэффициенты парной корреляции.

Коэффициенты парной корреляции  r(Y, X₃) = 0,892; r(Y, X₂) = 0,751 найдены с помощью программы КОРРЕЛЯЦИЯ (п.1 данной задачи), коэффициент детерминации  
R²=0,798 определен из рассматриваемой двухфакторной модели программой РЕГРЕССИЯ.

 

Вычислим дельта –  коэффициенты:

 

∆₃ = 0,823· = 0,9205

∆₂ = 0,082· = 0,0772

 

   

Значит, по уравнению полученной линейной двухфакторной модели изменение результирующего фактора Y (цены квартиры) на 92,05% объясняется воздействием фактора X₃ (общей площади квартиры) и на 7,72% влиянием фактора X₂ (количество комнат в квартире).

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Задача 2. Исследование динамики экономического показателя на основе

                 анализа одномерного временного ряда.

 

В течении девяти последовательных недель фиксировался спрос Y(t) (млн. руб.) на кредитные ресурсы финансовой компании. Временной ряд Y(t) этого показателя приведен ниже.

 

№ наблюдения	Спрос на кредитные ресурсы Y   в млн. руб.
1	8
2	13
3	15
4	19
5	25
6	27
7	33
8	35
9	40

Требуется:

 

1. Проверить наличие аномальных наблюдений.

Используем метод Ирвина, основанный на определении λ_t – статистики.

,

где S_y – выборочное среднеквадратичное (стандартное) отклонение признака Y.

Подготовим  S_y = 10,9 (функция СТАНДОТКЛОН) и рассчитаем λ_t – статистики.

 

№ наблюдения	Спрос на кредитные  ресурсы Y   в млн. руб.	λt
1	8
2	13	0,45861696
3	15	0,183446784
4	19	0,366893568
5	25	0,550340352
6	27	0,183446784
7	33	0,550340352
8	35	0,183446784
9	40	0,45861696

Табличные значения λ_кр определим при n=9 и уровне значимости α = 5% – λ_кр=1,5.

Схема проверки:

 

    не аном. 1,5  аном.

0                                λ_кр                λ      

    

Все величины статистики λ_i<λ_кр=1,5 – поэтому все наблюдения Y_i признаются не аномальным и не требуют замены.

 

2. Построить линейную модель временного ряда  Y_t=a+b·t, параметры которой    оценить МНК.

 

     С помощью  программы «РЕГРЕССИЯ» найдем

	Коэффициенты
Y-пересечение	4,055555556
t	3,966666667

Таким образом,  a = 4,056; b = 3,967.

Модель построена, ее уравнение имеет вид Y_t = 4,056 + 3,967·t

Коэффициент регрессии  b = 3,967 показывает, что с каждой последующей неделей спрос на кредитные ресурсы финансовой компании увеличивается в среднем на 3,967 млн. рублей.

 

3. Оценить  адекватность построенной модели, используя свойства независимости     остаточной компоненты, случайности и соответствия нормальному закону распределения.

 

    Проверка перечисленных свойств состоит в исследовании Ряда остатков e_t, который содержится в таблице «Вывод остатка» итогов РЕГРЕССИИ.

 

Наблюдение	Предсказанное Y	Остатки
1	8,022222222	-0,022222222
2	11,98888889	1,011111111
3	15,95555556	-0,955555556
4	19,92222222	-0,922222222
5	23,88888889	1,111111111
6	27,85555556	-0,855555556
7	31,82222222	1,177777778
8	35,78888889	-0,788888889
9	39,75555556	0,244444444

     Для проверки свойства независимости остаточной компоненты используем критерий Дарбина-Уотсона. Согласно этому критерию вычислим по формуле статистику:

Подготовим для вычислений:

=  6,82; = 22,01

 

Наблюдение	Предсказанное Y	Остатки	(ei -e(i-1))х2
1	8,022222222	-0,022222222
2	11,98888889	1,011111111	1,067777778
3	15,95555556	-0,955555556	3,867777778
4	19,92222222	-0,922222222	0,001111111
5	23,88888889	1,111111111	4,134444444
6	27,85555556	-0,855555556	3,867777778
7	31,82222222	1,177777778	4,134444444
8	35,78888889	-0,788888889	3,867777778
9	39,75555556	0,244444444	1,067777778
		6,822222222	22,00888889

Таким образом,  = 3,23

По таблице d–статистики Дарбина–Уотсона определим критические уровни:

нижний  d₁ = 0,82; верхний d₂ = 1,32.

Сравним полученную фактическую величину d с критическими уровнями   d₁ и d₂  и сделаем вывод согласно схеме:

 

   не вып.      доп. пров.       вып.          вспом d´ = 4 – d

0            0,82               1,32             2                                  4 

 

d = 3,23 (2;4) – следовательно, используем d´= 4 – 3,23 = 0,77.    

d´= 0,77 (0;0,82) – следовательно свойство независимости остатков построенной модели не выполняется.

 

Для проверки свойства случайности остаточной компоненты используем критерий поворотных точек (пиков), основой которого является определение количества поворотных точек для ряда остатков. 

    

 С помощью Мастера диаграмм построим график остатков e_i.