Контрольная работа по «Эконометрика»

 

Таким образом, вариация цены квартиры Y на 79,61% объясняется (по модели (3)) вариацией размера общей площади квартиры X₃; на 0,01% (по модели (1)) вариацией городом области квартиры X₁ и на 56,41% (по модели (2)) вариацией количества комнат в квартире X₂.

 

Для вычисления средней относительной ошибки аппроксимации рассмотрим остатки модели E_i=Y_i–Y_n, содержащиеся в столбце Остатки итогов программы РЕГРЕССИЯ (таблица «Вывод остатка»). Дополним таблицу столбцом относительных погрешностей, которые вычислим по формуле:

- с помощью функции ABS, и определим, по вычисленному  столбцу относительных погрешностей, среднее значение Ē_отн (функция СРЗНАЧ) для каждой модели.

 

Данные расчетов для  модели (3) приведены в таблице:

 

Наблюдение	Предсказанное Y	Остатки	Стандартные остатки	Eотн i
1	51,83326465	-13,83326465	-0,534738041	36,40333
2	94,98732679	-32,78732679	-1,267425394	52,71274
3	91,80252516	33,19747484	1,283280059	26,55798
4	77,63015789	-16,53015789	-0,638989022	27,05427
5	36,06849656	30,93150344	1,195686772	46,16642
6	76,19699715	16,80300285	0,649536104	18,06774
7	155,4985578	-37,49855784	-1,449542525	31,77844
8	114,0961366	17,9038634	0,692090919	13,56353
9	128,2685039	-35,76850387	-1,382665638	38,66865
10	104,5417317	0,458268305	0,017714798	0,436446
11	42,43809983	-0,438099829	-0,016935167	1,043095
12	101,19769	23,80231002	0,920101	19,04185
13	128,427744	41,57225605	1,607015215	24,45427
14	31,29129411	6,70870589	0,259331426	17,65449
15	157,0909587	-26,59095866	-1,027898873	20,37621
16	80,65571944	4,344280561	0,167932309	5,110918
17	112,5037358	-14,50373578	-0,560655742	14,79973
18	150,7213554	-22,72135539	-0,878315668	17,75106
19	120,4657399	-35,46573987	-1,370962007	41,7244
20	96,57972761	63,42027239	2,451571129	39,63767
21	80,65571944	-20,65571944	-0,798466539	34,4262
22	40,84569901	0,154300988	0,005964652	0,376344
23	104,5417317	-14,5417317	-0,562124511	16,15748
24	95,7835272	-12,7835272	-0,494159439	15,40184
25	37,34241721	7,657582785	0,296011167	17,01685
26	36,06849656	2,931503439	0,113320062	7,516675
27	139,5745497	-52,67454967	-2,036184966	60,61513
28	37,34241721	2,657582785	0,102731398	6,643957
29	98,64984867	-18,64984867	-0,720927691	23,31231
30	219,1945905	7,805409474	0,301725549	3,438506
31	223,971793	11,02820702	0,426305863	4,692854
32	39,2532982	0,746701805	0,028864471	1,866755
33	59,95450882	7,045491183	0,272350183	10,51566
34	114,0961366	8,903863402	0,344187334	7,238913
35	75,87851699	24,12148301	0,932438936	24,12148
36	112,5037358	-7,503735781	-0,290064065	7,146415
37	77,63015789	-7,330157887	-0,283354246	10,42697
38	114,2553767	-32,25537668	-1,246862355	39,33583
39	231,9337971	48,06620294	1,858044927	17,1665
40	157,727919	42,27208101	1,634067617	21,13604
				20,5389

 

Для модели (3) Ē_отн= 20,24%.

Расчет и получение данных для моделей (2) и (3) выполняются аналогично.

Для модели (1) Ē_отн= 54,13%, для модели (2) Ē_отн= 23,45%.

 

Результаты внесем в  сводную таблицу:

Модель	R-квадрат	Ēотн	F
YТ = -14,9 + 1,6·X3    (3)	0,796112	20,24%
YТ = 101,81 + 1,28·X1  (1)	0,000127	54,13%
YТ = 7,54 + 36,04·X2  (2)	0,564092	23,45%

Оценим точность построенных  моделей в соответствии со схемой:

 

        точная удовлетв.      неудовлетв.

0  5%            15%    Ē_отн

 

Ē_{отн 1} = 20,24% > 15%

Ē_{отн 2} = 54,13% > 15%

Ē_{отн 3} = 23,45% > 15%

 

Все значения Ē_отн>15% – следовательно, точность всех трех построенных моделей неудовлетворительная.

 

Проверим значимость полученных уравнений с помощью F – критерия Фишера.    F – статистики определены программой РЕГРЕССИЯ (таблица «Дисперсионный анализ») и составляют:

Модель	R-квадрат	Ēотн	F
YТ = -14,9 + 1,6·X3    (3)	0,796112	20,24%	148,377
YТ = 101,81 + 1,28·X1  (1)	0,000127	54,13%	0,00482
YТ = 7,54 + 36,04·X2  (2)	0,564092	23,45%	49,1744

 

Критическое значение F_кр = 4,08 найдено для уровня значимости α = 5% и чисел степеней свободы k1 = 1, k2 = 40 (функция РАСПОБР).

 

Оценим значимость полученных уравнений моделей в соответствии со схемой:

 

 

        не знач.    4,08  знач.

 0  F_кр           t

 

Сравнение показывает:

 

F₃=148,38>F_кр=4,08 – следовательно, уравнение модели (1) является значимым, зависимая переменная Y достаточно хорошо описывается включенной в модель факторной переменной X₃. 

 

F₁=0,005<F_кр=4,08 – следовательно, уравнения модели (2) не является значимым, его использование нецелесообразно.

 

F₂=49,17>F_кр=4,08 – следовательно, уравнение модели (3) является значимым, зависимая переменная Y достаточно хорошо описывается включенной в модель факторной переменной X₂. 

 

Вывод: на основании оценки качества моделей по коэффициенту детерминации, средней   ошибке аппроксимации и критерию Фишера, наилучшей является модель (3)   зависимости цены квартиры Y от размера общей площади квартиры X₃.

Однако результаты оценки модели по средней ошибке аппроксимации показывают, что точность модели (1) неудовлетворительная, следовательно, использовать эту    модель для прогнозирования в реальных условиях нецелесообразно. Необходимо    построить более точную модель.

 

 

5. С  использованием лучшей модели  осуществить прогнозирование среднего значения показателя Y при уровне значимости α=0,1, если прогнозное значение фактора X составит 80% от его максимального значения. Представить графически фактические и модельные значения Y, результаты прогнозирования.

 

Согласно условию задачи, прогнозное значение факторной переменной X₃ составит 80% от X_3max – x*=124,0 кв.м.

Рассчитаем по уравнению (3) прогнозное значение показателя Y:

 

Y*_Т = -14,9 + 1,6·124,0= -14,9+ 198,4 = 182,569 тыс. долл.

Таким образом, при использовании в прогнозировании лучшей модели, прогнозная цена квартиры общей площадью 124,0 кв.м. составит 182,569 тыс. долларов.

 

Зададим достоверную  вероятность p = 1-α  и построим доверительный прогнозный интервал для среднего значения Y.

Для этого нужно рассчитать стандартную ошибку прогнозирования для среднего значения результирующего признака

S(Y*r) = S_E ·

Предварительно подготовим:

• стандартную ошибку модели S_E = 26,207 (таблица «Регрессионная статистика»  
  итогов РЕГРЕССИИ).
• по столбцу исходных данных X_i найдем среднее значение = 72,93 (функция СРЗНАЧ) и определим ∑(х_i – )² = 40189,26 (функция КВАДРОТКЛ).
• t_кр(10%, 40) = 1,68 (функция СТЬЮДРАСПОБР).

 

Следовательно, стандартная  ошибка прогнозирования для среднего значения составляет

 

S(Y*_T) = 26,207 ·

= 7,859

Размах доверительного интервала для среднего значения

 

U(Y*_T) = t_кр· S(Y*_T) = 1,68 · 7,859 = 13,202

Границами прогнозного  интервала будут

 

U_нижн = Y*_T - U(Y*_T) = 182,569 – 13,202 = 169,367

U_верх. = Y*_T + U(Y*_T) = 182,569 + 13,202 = 195,771

Таким образом, с надежностью 90% можно утверждать, что ожидаемая  средняя цена квартиры жилой площадью 124,0 кв.м. будет находится в пределах от 169,367 тыс. долларов до 195,771 тыс. долларов.

 

Для построения чертежа  используем Мастер диаграмм (точечная) – покажем исходные данные (поле корреляции).

    

 

6. Используя  пошаговую множественную регрессию  (метод исключения или метод  включения), построим модель формирования  цены квартиры за счет значимых факторов. Дать экономическую интерпретацию коэффициентов модели регрессии.

 

В нашей задаче фактор X₁ (город области) не является значимым, а фактор X₂ (число комнат в квартире) является значимыми, однако в познавательных целях, методом включения построим двухфакторные модели, сохраняя в них наиболее информативный фактор – X₃(общая площадь квартиры).

 

В качестве «входного  интервала X» укажем значения факторов X₂ и X₃, с помощью программы РЕГРЕССИЯ получим:

	Коэффициенты
Y-пересечение	-16,47476878
X2	3,940559372
X3	1,473662179

 

Таким образом, модель (4) зависимости цены квартиры Y от общей площади квартиры X₃ и количества комнат в квартире X₂ построена, ее уравнение имеет вид:

 

Y_Т = -16,47 + 3,94·X₂ + 1,47·X₃

 

Используем в качестве «входного интервала X» значения факторов X₁ и X₃, с помощью программы РЕГРЕССИЯ получим:

	Коэффициенты
Y-пересечение	-16,5189
X1	3,254065
X3	1,59468

    

Таким образом модель (5) зависимости цены квартиры Y от общей площади квартиры X₃ и города области X₁ построена, ее уравнение имеет вид:

 

Y_Т = -16,52 + 3,25·X₁ + 1,59·X₃

 

Построим множественную  модель регрессии, учитывая все факторы X₁, X₂, X₃.

	Коэффициенты
Y-пересечение	-18,0924
X1	3,23487
X2	3,932395
X3	1,476174

 

Таким образом, трехфакторная  модель (6) зависимости цены квартиры Y от общей площади квартиры X₃, количества комнат в квартире X₂ и города области X₁ построена, ее уравнение имеет вид:

 

Y_Т = -18,09 + 3,23·X₁ + 3,93·X₂ + 1,48·X₃

 

Выберем лучшую из построенных множественных моделей.

Для сравнения моделей с различным количеством учтенных в них факторов используем нормированные коэффициенты детерминации, которые содержатся в строке «нормированый R-квадрат» итогов программы РЕГРЕССИЯ. Чем больше величина нормированного коэффициента детерминации, тем лучше модель.

 

Модель	Нормированный   R-квадрат
YТ = -16,47 + 3,94·X2 + 1,47·X3 (4)	0,787535
YТ = -16,52 + 3,25·X1 + 1,59·X3  (5)	0,785953
YТ = -18,09 + 3,23·X1 + 3,93·X2 + 1,48·X3 (6)	0,782508

 

Анализ коэффициентов  детерминации показывает, что все три модели практически равнозначны, но лучшей из них является модель (4), показывающая зависимость цены квартиры Y от общей площади квартиры X₃ и количества комнат в квартире X₂.

 

Коэффициент регрессии b₃=1,47, следовательно, при увеличении общей площади квартиры X₃ на 1 кв.м. при неизменном значении количества комнат в квартире X₂, цена квартиры увеличится в среднем на 1,47 тыс. долларов.

 

Коэффициент регрессии b₂=3,94, следовательно, при изменении количества комнат в квартире X₂ в сторону увеличения на одну, при неизменной общей площади квартиры X₃, цена квартиры увеличится в среднем на 3,94 тыс. долларов.

 

Свободный коэффициент  не имеет экономического смысла.

 

 

7. Оценить  качество построенной модели. Выяснить, улучшилось ли качество модели по сравнению с однофакторной моделью?  Дать оценку влияния значимых факторов на результат с помощью коэффициентов эластичности, β- и Δ- коэффициентов.

 

Для оценки качества выбранной  модели (4) используем коэффициент детерминации  
R-квадрат, среднюю относительную ошибку аппроксимации и F-критерий Фишера.

 

     Коэффициент  детерминации R-квадрат выпишем из итогов РЕГРЕССИИ (таблица «Регрессионная статистика» для модели (4)).

 

R² = 0,7984 = 79,84%, следовательно вариация (изменения) цены квартиры Y на 79,84% объясняется по данному уравнению вариацией общей площади квартиры X₃ и количества комнат в квартире X₂.

 

Используем исходные данные y_i и найденные программой РЕГРЕССИЯ остатки E_i (таблица «Вывод остатка» для модели (4)). Рассчитаем относительные погрешности и найдем среднее значение Ē_отн = 21,11%.

 

Сравнение показывает, что 21,11%>15%. Следовательно, точность модели неудовлетворительная.