Экономико-математические методы моделирования и анализ временных рядов

Последовательности e, удовлетворяющие соотношению (2.3), часто называют также марковскими процессами. Это означает, что

Ee_t º 0,   (2.4)

r(e_t, e_t±k) = a^k,   (2.5)

De_t =

,  (2.6)

cov(e_t, e_t±k) = a^kDe_t. (2.7)

Одно  важное следствие (2.7) состоит в том, что если величина |a| близка к единице, то дисперсия e_t будет намного больше дисперсии d. А это значит, что если соседние значения ряда e_t сильно коррелированы, то ряд довольно слабых возмущений d_t будет порождать размашистые колебания остатков e_t.[10]

Основные  характеристики процесса авторегрессии 1-го порядка следующие.

1. Условие стационарности ряда (2.3) определяется требованием к коэффициенту a: |a| < 1, или, что то же, корень z₀ уравнения 1 - az = 0 должен быть по абсолютной величине больше единицы.
2. Автокорреляционная функция марковского процесса определяется соотношением (2.5):

r(t) = r(e_t, e_t±t) = a^t. (2.8)

Отсюда  же, в частности, следует простая  вероятностная интерпретация параметра a: a = r(e_t, e_t±1), т.е. значение a определяет величину корреляции между двумя соседними членами ряда e_t.

Из (2.8) видно, что степень тесноты корреляционной связи между членами последовательности (2.3) экспоненциально убывает по мере их взаимного удаления друг от друга во времени.

В случае значения параметра a близкого к 1, соседние значения ряда e_t близки друг к другу по величине, автокорреляционная функция экспоненциально убывает оставаясь положительной, а в спектре преобладают низкие частоты, что означает достаточно большое среднее расстояние между пиками ряда e_t. При значении параметра a близком к –1, ряд быстро осциллирует (в спектре преобладают высокие частоты), а график автокорреляционной функции экспоненциально спадает до нуля с попеременным изменением знака.

Модели  авторегрессии 2-го порядка – AR(2) (процессы Юла). Эта модель, как и AR(1), представляет собой частный случай авторегрессионного процесса, когда все коэффициенты p_j в правой части (2.2) кроме первых двух, равны нулю. Соответственно, она может быть определена выражением

e_t = a₁e_t-1 + a₂e_t-2 + d_t, (2.9)

где последовательность d₁, d₂,… образует белый шум.

Условия стационарности ряда (2.9) (необходимые и достаточные) определяются как:

В рамках общей теории моделей те же самые  условия стационарности получаются из требования, чтобы все корни  соответствующего характеристического  уравнения лежали бы вне единичного круга. Характеристическое уравнение  для модели авторегрессии 2-го порядка  имеет вид:

Автокорреляционная  функция процесса Юла подсчитывается следующим образом. Два первых значения r(1) и r(2) определены соотношениями

а значения  для r(t), t = 3, 4,… вычисляются с помощью рекуррентного соотношения:

r(t) = a₁r(t - 1) + a₂r(t - 2).

Частная автокорреляционная функция временного ряда, сгенерированного моделью авторегрессии 2-го порядка, обладает следующим отличительным  свойством: r_част(t) = 0 при всех t = 3, 4,…

Модели  авторегрессии p-го порядка – AR(p) (p ³ 3). Эти модели, образуя подмножество в классе общих линейных моделей, сами составляют достаточно широкий класс моделей. Если в общей линейной модели (2.3) полагать все параметры p_j, кроме первых p коэффициентов, равными нулю, то мы приходим к определению AR(p)-модели [16]:

, (2.10)

где последовательность случайных величин d₁, d₂,… образует белый шум.

Условия стационарности процесса, генерируемого моделью (2.10), также формулируются в терминах корней его характеристического уравнения:

1 - a₁z - a₂z² -…- a_pz^p = 0.

Для стационарности процесса необходимо и достаточно, чтобы все корни характеристического  уравнения лежали бы вне единичного круга, т.е. превосходили бы по модулю единицу.

Частная автокорреляционная функция процесса (2.10) будет иметь ненулевые значения лишь при t £ p; все значения r_част(p) при t > p будут нулевыми. Это свойство частной автокорреляционной функции AR(p)-процесса используется, в частности, при подборе порядка в модели авторегрессии для конкретных анализируемых временных рядов. Если, например, все частные коэффициенты автокорреляции, начиная с порядка k, статистически незначимо отличаются от нуля, то порядок модели авторегрессии естественно определить равным p = k - 1.

Идентификация модели авторегрессии p-го порядка основана на соотношениях, связывающих между собой неизвестные параметры модели и автокорреляции исследуемого временного ряда. Для вывода этих соотношений последовательно подставляются в (2.11) значения t = 1, 2,…, p. Получается система линейных уравнений относительно a₁, a₂,…, a_p:

 (2.12)

называемая  уравнениями Юла–Уокера. Оценки для параметров a_k получим, заменив теоретические значения автокорреляций r(k) их оценками и решив полученную таким образом систему уравнений.

Оценка  параметра  получается из соотношения:

заменой всех участвующих в правой части величин  их оценками.

 

3. Практическая часть

Необходимо  построить временной ряд прироста населения военного городка п. Станьково. Расчет производился  с помощью  приложения MicroSoft Excel , в документе Excel находятся все данные (Приложение А).

Порядок выполнения:

1.Определите  средний абсолютный прирост и  среднее хронологическое для  обоих динамических рядов.

2. Постройте  графики и временные тренды (например, при помощи тройной скользящей  средней).

3. Интерпретируйте  результат.

Шаг 1.

Проведем  предварительные вычисления: пронумеруем  уровни динамического ряда и подсчитаем итоговые суммы. Вычислим средние показатели ряда и впишим их в отдельную таблицу (Приложение Б).

Шаг 2.

Прежде  чем приступить к построению графиков необходимо провести дополнительные вычисления, для выявления временного тренда, при помощи которого можно выявить  периоды, когда фактический рост не совпадал с действующей тенденцией развития.

В данном случае требуется построить временной  тренд при помощи тройной скользящей средней, т.е. требуется найти среднее  значение между тремя последовательными  числами в ряду.

Шаг 3.

Строим  график (Приложение Б). На оси х откладываются уровни ряда (годы), на оси у - фактические значения, и подсчитанный заранее временной тренд.

 

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

С помощью  изучения, анализа и обобщения  материала литературы были сделаны  следующие выводы, касающиеся непосредственно  экономического роста.

В первом разделе, рассматривая теоретические  основы временных рядов, следует  отметить:

1. Временной ряд (динамический ряд) понимается как ряд значений некоторого показателя, взятых по состоянию на определенные моменты или периоды времени.

2. Временные ряды отражают динамику социально-экономических явлений. Если уровни временного ряда формируются под влиянием факторов и условий, которые будут незначительно изменяться в будущем, то временной ряд можно использовать для прогнозирования.

3. Метод анализа временных рядов заключается в выделении следующих компонент: тренд, циклическая, сезонная и нерегулярная компоненты.

Во втором разделе были рассмотрены  существующие модели временного ряда: модели стационарных временных рядов, модели авторегрессии порядка p (AR(p)-модели), которые в свою очередь делятся на:

• модель авторегрессии 1-го порядка - AR(1) (марковский процесс);
• модели авторегрессии 2-го порядка – AR(2) (процессы Юла);
• модели авторегрессии p-го порядка – AR(p) (p ³ 3).

В третьем разделе рассматривается  пошаговое построение временного ряда.

Можно сказать, что построение моделей может  использоваться для экстраполяции  или прогнозирования временного ряда, и тогда качество прогноза может служить полезным критерием  при выборе среди нескольких моделей. Построение хороших моделей ряда необходимо и для других приложений, таких, как корректировка сезонных эффектов и сглаживание.

 Наконец,  построенные модели могут использоваться  для статистического моделирования  длинных рядов наблюдений при  исследовании больших систем, для  которых временной ряд рассматривается  как входная информация.

 

СПИСОК  ИСПОЛЬЗОВАННЫХ ИСТОЧНИКОВ

 

1. Бокс Дж., Дженкинс Г. (1974) Анализ временных рядов. Прогноз и управление. - М.: Мир, 1974. - Вып. 1, 2.
2. Глухов В.В., Коробко С.Б., Маринина Т.В. Экономика знаний / В.В. Глухов, С.Б. Коробко, Т.В. Маринина. - Пб. Питер, 2003. - 528с.
3. Ефимова М. Р., Петрова Е. В., Румянцев В. Н. Общая теория статистики, М.: Инфра-Н, 2000г.
4. Прогнозирование и планирование в условиях рынка: Учеб. пособие для Вузов / Под. ред. Т.Г. Морозовой, А.В. Пикулькина. –  М.: ЮНИТИ – ДАНА, 1999.
5. Русак Е.С., Сапёлкина Е.И. Экономика предприятия / Е.С. Русак, Е.И. Сапёлкина  - Мн.: Академия управления при Президенте Республики Беларусь, 2007. – 322 с.
6. Трофимов А. М.. Ускорение темпов роста ВВП и роль государства в экономике (к дискуссии об уровне участия государства в экономике в журнале «Вопросы экономики» 2002-2003 гг.)

 

ПРИЛОЖЕНИЕ А

Год	Уровни ряда	Войсковое население (тыс.чел.)	Временной тренд 1 (подсчитан при помощи скользящей средней)	Hевойсковое население (тыс.чел.)	Временной тренд 2 (подсчитан при помощи среднего абсолютного прироста)
1998	1	1,165		1,417	1,417
1999	2	1,184	1,18566667	1,454	1,454
2000	3	1,208	1,20966667	1,49	1,491
2001	4	1,237	1,23566667	1,497	1,527
2002	5	1,262	1,26266667	1,52	1,534
2003	6	1,289	1,28833333	1,528	1,557
2004	7	1,314	1,31733333	1,589	1,565
2005	8	1,349	1,345	1,638	1,626
2006	9	1,372	1,371	1,687	1,675
2007	10	1,392		1,75	1,724
Итого		12,772		15,57

 

ПРИЛОЖЕНИЕ Б

	Среднее хронологическое	Средний абсолютный прирост
Войсковое население	1,2772	0,025222222
Hевойсковое население	1,557	0,037