Экономико-математические методы моделирования и анализ временных рядов

АКАДЕМИЯ УПРАВЛЕНИЯ ПРИ ПРЕЗИДЕНТЕ

РЕСПУБЛИКИ БЕЛАРУСЬ

ИНСТИТУТ  ГОСУДАРСТВЕННОГО УПРАВЛЕНИЯ

Кафедра экономико-математических методов  управления

Курсовая работа

По дисциплине: «Экономико-математические методы и модели»

на тему: Экономико-математические методы моделирования и анализ временных рядов

Выполнила: Студентка 3-его курса

специальности УИР гр. УИР-4

Черноусик Ю.С.

Проверил: преподаватель кафедры

Северин Г.М.

 

 

 

 

 

 

 

Минск, 2009

 

Содержание

ВВЕДЕНИЕ 3

1. Временные ряды 4

1.1. Анализ тренда 7

1.2 Измерение циклической компоненты 10

1.3 Определение сезонной составляющей 11

1.4 Процедура общей декомпозиции ряда 15

2. Модели временных рядов 17

2.1 Модели стационарных временных рядов и их идентификация 17

2.2 Модели авторегрессии порядка p (AR(p)-модели) 18

3. Практическая часть 23

ЗАКЛЮЧЕНИЕ 24

СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННЫХ ИСТОЧНИКОВ 26

 

ВВЕДЕНИЕ

На протяжении многих лет большое внимание уделяется  исследованию рядов динамики временных  показателей. Разнообразные содержательные задачи экономического анализа требуют  использования статистических данных, характеризующих исследуемые экономические  процессы и развернутых во времени  в форме временных рядов. При  этом нередко одни и те же временные  ряды используются для решения разных содержательных проблем.

В ситуациях, когда временной ряд формируется  под воздействием некоторого набора случайных и неслучайных факторов, анализ отдельных временных рядов  имеет огромное значение. Это необходимо для правильной идентификации моделей, которые строятся по информации об исследуемых процессах. При анализе  временных рядов основное внимание уделяется исследованию, описанию и/или  моделированию их структуры. Цель таких  исследований, как правило, шире просто моделирования исследования соответствующих  процессов. Построенная модель обычно используется для экстраполяции  или прогнозирования временного ряда, и тогда качество прогноза может служить полезным критерием  при выборе среди нескольких альтернативных моделей. Построение хороших моделей  ряда необходимо и для других приложений, таких, как корректировка сезонных эффектов и сглаживание.

Объектом  исследования являются понятия: временной  ряд, тренд.

Цель данной работы - апробировать теоретические и методологические основы анализа временных рядов. Достижение поставленной цели предполагает решение следующих задач: определить понятие и сущность временных  рядов, проанализировать особенности  составляющих компонент временного ряда, рассмотреть его модели, а  также рассмотреть методику построения временных рядов на практическом примере.

 

1. Временные ряды

Достаточно часто в экономике  приходится получать данные в виде временных рядов. Под временным  рядом (или динамическим рядом) понимается ряд значений некоторого показателя, взятых по состоянию на определенные моменты или периоды времени. Количественные значения показателя во временном ряду называются  уровнями. Уровни расположены в хронологическом порядке, обычно через равные промежутки времени. Если они агрегированы так, что отражают состояние показателя на некоторые периоды времени, то такой ряд называется интервальным. В качестве таких периодов могут выступать, например, годы, кварталы, месяцы, недели. Моментные временные ряды характеризуют состояние показателя на короткий промежуток времени, например на день, час.

Временные ряды отражают динамику социально-экономических явлений. Если уровни временного ряда формируются под влиянием факторов и условий, которые будут незначительно изменяться в будущем, то временной ряд можно использовать для прогнозирования. При этом его методологической основой будет экстраполяция, т. е. перенесение в будущее тенденции, которая сформировалась в прошлом.

Действие факторов, влияющих на величины уровней временного ряда, носит различный временной характер. Влияние одних факторов проявляется постоянно в течение продолжительных промежутков времени, влияние других — периодически, с разной длиной периода. Некоторые факторы проявляют себя случайно и нерегулярно

В этой связи каждый уровень  временного ряда можно рассматривать как результат наложения компонент, имеющих разный временной характер действия. Метод анализа временных рядов заключается в выделении этих компонент.

Среди компонент временного ряда выделяют: тренд, циклическую компоненту, сезонную компоненту и нерегулярную компоненту (Рис. 1.1).

Рисунок 1.1 - Компоненты временного ряда

Под трендом понимается долгосрочная составляющая, характеризующая общую тенденцию изменения временного рядов течение длительного периода времени. Под тенденцией понимается возрастание или убывание уровней временного ряда. Факторами, порождающими тренд, могут быть, например, изменение состава населения, инфляция, технологические изменения, рост производства, рост цен и т. д.

Циклическая компонента характеризует  повторяющиеся и волнообразные изменения длительностью более года. Она отражает цикл деловой активности, периоды подъема и спада. Длина цикла, т. е. время между соседними максимумами (или соседними минимумами), может колебаться от года до 15—20 лет. Циклическая компонента определяется изменением остатков, разностей между трендом и фактическими значениями уровней ряда вдоль линии тренда.

Сезонная компонента также  носит циклический характер. Она характеризует изменения, которые регулярно повторяются и завершаются в пределах года. Например, сезонным фактором являются погодные условия, соответствующие какому-либо времени года, так как влияют на продажи потребительских товаров.

Нерегулярная компонента отражает быстрые изменения, как  правило, малой длительности. Они вызываются непредсказуемыми и редкими событиями: природными катаклизмами, войной, эпидемией, сменой власти и т. д.

Основная  задача анализа временных рядов  заключается в определении каждой компоненты и исключении ее воздействия на уровни временного ряда. Этот процесс называется декомпозицией, или разложением временного ряда. Формально модель декомпозиции временного ряда можно представить в виде.

y=TR*C*S*I,  (1.1)

где у - уровень временного ряда, TR - тренд, С - циклическая компонента, S - сезонная компонента, I - нерегулярная компонента.

Данная модель называется моделью с мультипликативной  компонентой. Она строится на предположении о том, что любой уровень временного ряда является произведением воздействующих компонент.

В анализе временных  рядов рассматривается также  альтернативный подход к агрегированию компонент — каждый уровень представляется как сумма воздействующих компонент:

y=TR+C+S+I  (1.2)

При допущении модели (1.2) вклад сезонной компоненты остается постоянным с течением времени для данной части года.

Для мультипликативной модели (1.1) абсолютная величина сезонной колебаемости возрастает по мере роста уровней временного ряда. Эта модель чаще используется на практике, ее мы и будем рассматривать.

1.1. Анализ тренда

Тренд является долгосрочной составляющей временного ряда. При анализе тренда независимой переменной х является время, а зависимой у — уровень временного ряда. Вид тренда можно выявить, если построить график временного ряда, откладывая на оси абсцисс периоды времени, а на оси ординат — значения уровней. Визуальный анализ расположения точек графика поможет сделать вывод о форме сглаживающей линии. Если тренд окажется линейным, то для вычисления параметров уравнения применяется метод наименьших квадратов. При нелинейном тренде его также можно использовать, делая соответствующие преобразования переменных.

Пусть рассматривается линейный тренд:

ŷ=b₀+b₁t,  (1.3)

где t — время (независимая переменная); ŷ — оценка уровня временного ряда (зависимая переменная).

Коэффициенты b₁ и b₀   определяются по следующим формулам:

b₁=(∑t*y_t-(∑t)*(∑y_t)/T)/(∑t²-(∑t)²/T) , (1.4)

b₀=y(c)-b₁*t(c),  (1.5)

где у(с) = (у1+у2+у3+у4+…+уТ)/Т,

t(c)=(1+2+3…+T)/T=(T+1)/2.

Прогнозный год следует обозначать по той же системе. Если t = Т — последний год в ряду наблюдений, на основе которых было получено уравнение (1.3), то, прогнозируя в году T на k лет вперед, следует в уравнение (1.3) подставить значение t = Т +k:

ŷT+k= b₀+ b₁ (T+k)  (1.6)

Пример  1. Имеются данные за ряд лет о численности работников одной компании:

Таблица 1.1 – Численность работников компании

Год	Численность работников (тыс.чел.)
2001	1,1
2002	2,4

Окончание таблицы 1.1

2003	4,6
2004	5,4
2005	5,9
2006	8
2007	9,7
2008	11,2

 

График  временного ряда приведен на рисунке 1.2

Рисунок 1.2 - Временной ряд численностей работников компании сглаживающий линейный тренд

На рисунке 1.2 ясно просматривается линейный тренд. Найдем его параметры, используя формулы (1.4) и (1.5). Для этого закодируем значения независимой переменной.

Таблица 1.2 –Кодируемые переменные

t	yt
1	1,1
2	2,4
3	4,6
4	5,4
5	5,9
6	8
7	9,7
8	11,2

 

Предварительно вычислим:

t=1 + 2 + 3 + ... + 8 = 36,

∑t² = 1*1 + 2*2 + … + 8*8 = 204,

∑y_t = 1,1 + 2,4 + … + 11,2 = 48,3,

∑ty_t = 1*1,1 + 2* 2,4 + … + 8*11,2 = 276,3,

t(c)=(8+1)/2=4,5,

y(c)t=48,3/8=6,0375.

Подставляя результаты промежуточных  вычислений в формулы (1.4) и (1.5), получим:

b₁=(276,3-36*48,3/8)/(204-36*36/8)=58,95/42=1,4036,

b₀=6,0375-1,4036*4,5= -0,279.

Отсюда  уравнение тренда будет иметь  вид:

y(c)t = -0,279 + 1,404t.

Спрогнозируем численность  работников компании на 2009 г., полагая, что он соответствует t=Т+1=8+1=9:

ŷ9= -0,279 + 1,404 * 9 = 12,357, что соответствует 12 357 работникам.

Аналогичную процедуру кодирования  значений переменной можно использовать при вычислении нелинейных трендов. Например, пусть требуется провести сглаживание временного ряда по параболе второго порядка:

Y= b₀+ b₁t+b₂t*t   (1.7)

Система нормальных уравнений тогда  записывается следующим образом:

b₀T+ b₁∑t+ b₂∑t*t = ∑yt,

b₀∑t+ b₁∑t²+ b₂∑t³ = ∑y_tt,

b₀∑t²+ b₁∑t³+ b₂∑t⁴ = ∑y_tt².

А коэффициенты будут рассчитываться по следующим  формулам:

b₀=(∑t⁴ ∑y-∑t²∑t²y)/(T∑t⁴∑t²∑t²),

b₁=(∑t*y)/( ∑t²),

b₂=(T∑t² y-∑t²∑y)/(T∑t⁴∑t²∑t²).

Эти коэффициенты рассчитываются для t зашифрованного так , что сумма t равна 0.

Для прогноза часто используется полулогарифмическая  функция:

у = b₀+ b₁*lgt , (1.8)

b₀=(∑y∑(lgt)² -∑ylgt∑lgt)/(T∑(lgt)² - ∑lgt∑lgt),  (1.9)

b₁= ( T∑ylgt - ∑y∑lgt)/( T∑(lgt)² - ∑lgt∑lgt). (1.10)

1.2 Измерение циклической компоненты

Практически любой временной ряд  в бизнесе содержит элемент цикличности. Цикличность присуща экономике, а также другим долговременным явлениям.

Одним из способов описания циклической  компоненты является представление ее как доли тренда. Предположим, что рассматривается временной ряд, не содержащий сезонной составляющей. Например, таким будет ряд, основанный на годовых наблюдениях. В этом случае можно положить, что каждый уровень ряда у_t является произведением компонент:

y_t=TR_t*C_t*I_t (1.11)

Пусть построена модель тренда ŷ_t=TR_t

Тогда оценка циклической компонент получается делением значения уровня временного ряда на величину тренда:

y_t / ŷ_t= (TR_t*C_t *I_t)/ TR_t = C_t *I_t (1.12)