Экономико-математические методы моделирования и анализ временных рядов

Если нерегулярная составляющая I_t оказывает незначительное влияние на уровни временного ряда, то ею можно пренебречь. Отсюда оценкой циклической компоненты будет отношение:

C_t ≈ y_t / ŷ_t (1.13)

Если С > 1, то фактическое значение уровня ряда y_t будет больше, чем оценочное значение тренда. Это означает, что величина циклической компоненты находится где-то над линией тренда. Аналогично при С < 1 значения циклической компоненты будут ниже линии тренда.

Пример 2. В примере 1 на основе временного ряда численности работников компании был вычислен линейный тренд:

y_t = -0,279+ 1,404t,

где t= 1 соответствует 2001 г.,t = 2 — 2002 г. и т. д.

Определим циклическую компоненту. Для этого вычислим оценки у_t при t = 1,2, ..., 8 и определим отношения. Результаты вычислений сведем в следующую таблицу.

Таблица 1.3

t	yt	ŷt	Ct ≈ yt / ŷt
1	1,1	1,125	0,977
2	2,4	2,529	0,949
3	4,6	3,933	1,169
4	5,4	5,337	1,012
5	5,9	6,741	0,875
6	8	8,145	0,982
7	9,7	9,549	1,016
8	11,2	10,953	1,022

 

Как видно из таблицы 1.3, для первого периода оценка циклической компоненты равна 0,977. Это означает, что фактическое значение уровня составляет 97,7% трендового значения. Аналогично для второго периода — 94,9%, для третьего — 116,9% и т. д.

Следует отметить, что на практике прогнозирование циклов является достаточно сложной задачей. Предсказать период цикла, используя только данные временного ряда, практически невозможно. Выделение циклической компоненты может помочь при установлении стадии, на которой находится деловая активность.

1.3 Определение сезонной составляющей

Сезонная компонента проявляется, когда временной ряд составляют квартальные или месячные наблюдения. Рассмотрим уровень ряда только как результирующую сезонности и тренда, т. е. представим его как произведение тренда и сезонной компоненты:

y_t= TR_t*S_t   (1.14)

Из соотношения (1.13) видно, что сезонность можно рассматривать как индекс, который умножается на величину тренда. Этот индекс остается постоянным каждый год для определенной части года. Например, если имеет место квартальная сезонность, то S₁ = S₅ = S₉ = ...,  S₂ = S₆ = S_|0 = ... и т. д. Способом вычисления индексов сезонности является метод отношения к центрированной скользящей средней. Проиллюстрируем его на конкретном примере.

Пример 3. В таблице 1.4 приведены квартальные данные о продажах фирмы за период 2004 - 2007 гг. (в млн долл.), где в скобках указаны обозначения соответствующих уровней временного ряда.

Таблица 1.4 - Квартальные данные об объеме продаж (млн долл.)

Год	Квартал 1	Квартал 2	Квартал 3	Квартал 4
2004	20 (у1)	12 (y2)	47 (у3)	60 (у4)
2005	40 (у5)	32 (y6)	65 (у7)	76 (У8)
2006	56 (у9)	50 (y10)	85 (у11)	100 (у12)
2007	75 (y13)	70 (у14)	101 (у15)	123 (y16) )

 

Будем находить индекс сезонности для  каждого квартала в течение года, т. е. вычислим четыре значения индекса. Идея метода отношения к центрированной скользящей средней состоит в том, что вначале на основе исходного временного ряда определяется новый временной ряд, не содержащий компоненту сезонности. Уровни нового ряда рассчитываются как центрированные скользящие средние.

Для вычисления центрированных скользящих средних определяются так называемые скользящие суммы. Для квартальной сезонности первая скользящая сумма будет включать значения первых четырех квартальных уровней исходного временного ряда:

(1) = y1 + y2+ y3 + y4 = 20 + 12 + 47 + 60 = 139.

Во вторую скользящую сумму входят первые четыре уровня ряда, сдвинутого на один квартал вперед:

(2) = y2 + y3+ y4 + y5 = 12 + 47 + 60 + 40 = 159 и т.д.

(13) y13 + y14+ y15 + y16 = 75 + 70 + 101 + 123 = 369.

Таблица 1.5 - Вычисление центрированных скользящих средних

Год	Квартал	t	yt	Скользящая сумма	Скользящая средняя	Отнош. к скольз. ср.
2004	1	1	20	-	-	-
	2	2	12	139	-	-
	3	3	47	159	37,25	1,26
	4	4	60	179	42,25	1,42
2005	1	5	40	197	47	0,85
	2	6	32	213	51,25	0,62
	3	7	65	229	55,25	1,18
	4	8	76	247	59,5	1,28
2006	1	9	56	267	64,25	0,87
	2	10	50	291	69,75	0,72
	3	11	85	310	75,13	1,13
	4	12	100	330	80	1,25
2007	1	13	75	346	84,5	0,89
	2	14	70	369	89,38	0,78
	3	15	101	-	-	-
	4	16	123	-	-	-

 

Для определения  скользящей средней, вычисляя скользящую сумму по нечетному числу лет, можно просто разделить сумму  на число лет. В нашем случае нужно  провести центрирование: вычисляем  двухлетние скользящие суммы и делим  их на 8.

(139+159)/8=37,52 и.т.д.

С помощью  этой процедуры вычисляются 12 центрированных скользящих средних (Таблица 1.5). Понятно, что их расчет для t = 1, 2, 15, 16 невозможен. В общем случае, если ряд содержит Т наблюдений, то для определения квартальной сезонности можно вычислить Т-4 центрированных скользящих средних. Усреднение помогает также уменьшить влияние нерегулярной компоненты.

Сведем  все 14 отношений по кварталам и  вычислим средние значения по каждому кварталу (Таблица 1.6). Эти средние значения будем рассматривать в качестве соответствующих индексов.

Таблица 1.6 - Вычисление квартальных индексов сезонности

Квартал 1	Квартал 2	Квартал 3	Квартал 4
-	-	1,26	1,42
0,85	0,62	1,18	1,28
0,87	0,72	1,13	1,25
0,89	0,78	-	-
Сумма      2,61	2,12	3,57	3,95
Средняя  0,87	0,707	1,190	1,317

 

Данная процедура позволяет  значительно сократить эффект воздействия  нерегулярной компоненты и получить практически в чистом виде квартальные индексы сезонности. Сумма квартальных индексов сезонности должна равняться 4. Если она не равна 4 (как у нас: 0,87 + 0,707 + 1,19 + 1,317 = 4,084) , то нужно найти корректирующий множитель.

4/4,084 = 0,9794.

Скорректируем квартальные индексы:

0,9794*0,870=0,852                                                                                1 квартал

0,9794*0,707 =0,692                                                                                2 квартал

0,9794*1,190 =1,166                                                                                   3 квартал

0,9794*1,317 = 1,290                                                                                4 квартал

Индексы сезонности часто измеряют в процентах. Например, индекс первого квартала 85,2%. Это означает, что средний объем продаж по первому кварталу на 14,8% меньше четверти среднегодового объема продаж. Индекс третьего квартала, равный 116,6%, означает, что средний объем продаж по третьему кварталу на 16,6% больше четверти среднегодового объема продаж.

В рассмотренном примере анализировалась  квартальная сезонная компонента. Аналогичные заключения будут верны и для месячной сезонности, и т.д.

Для определения тренда удобно использовать десезонализированные данные. Десезонализацией данных временного ряда называется устранение влияния  сезонной компоненты на его уровни с целью изучения тренда и долговременных циклических изменений. Десезонализированные данные (d_t) определяются как отношение:

d_t= y_t /соответствующий индекс S_t =  TR_t*C_t * S_t *I_t /S_t=TR_t*C_t * I_t

1.4 Процедура общей декомпозиции ряда

В предыдущих разделах данной главы  рассматривались отдельные действия по оценке каждой компоненты временного ряда. Эти действия можно рассматривать как этапы процедуры общей декомпозиции временного ряда.

Этап 1. Определение методом отношения к центрированной скользящей средней сезонного индекса S для каждой части года. Для квартальных данных вычисления сводятся к нахождению четырех квартальных индексов S1, S2, S3, и S4. В случае месячных наблюдений определяется 12 индексов, для каждого месяца свой индекс.

Этап 2. Десезонализация данных. Этот этап заключается в выравнивании эффекта сезонности, т. е. исключении сезонной компоненты. Десезонализация осуществляется делением каждого фактического уровня на соответствующий сезонный индекс.

Этап 3. Определение тренда TR_t. Оценка тренда осуществляется по методу наименьших квадратов на основе десезонализированных данных d_t.

Этап 4. Определение циклической компоненты С. Эта компонента определяется делением каждой десезонализированной компоненты C_t на соответствующее значение тренда, полученное на этапе 3.

d_t / TR_t= C_t*I_t (1.15)

Для исключения нерегулярной компоненты можно вычислять, например, трехпериодные скользящие средние для величин C_t*I_t. В этом случае эффект нерегулярной компоненты значительно сокращается. Выбор именно трехпериодной скользящей средней был произволен. Он был связан с тем, что в случае нечетного числа слагаемых скользящей суммы скользящие средние не надо центрировать.

Итак, существует отработанный алгоритм действий анализа  и прогноза временного ряда.

 

2. Модели временных рядов

2.1 Модели стационарных временных рядов и их идентификация

В этом разделе  рассматривается набор линейных параметрических моделей и методы их идентификации. Так как здесь  описывается поведение случайных  остатков, то моделируемый временной  ряд будет обозначаться e_t, и будет полагаться, что при всех t его математическое ожидание равно нулю, т.е. Ee_t, º 0. Временные последовательности, образующие «белый шум», обозначим d_t.

Описание и анализ, рассматриваемых  ниже моделей, формулируется в терминах общего линейного процесса, представимого  в виде взвешенной суммы настоящего и прошлых значений белого шума, а именно:

, (2.1)

где b₀ = 1 и .

Таким образом, белый шум представляет собой  серию импульсов, в широком классе реальных ситуаций генерирующих случайные  остатки исследуемого временного ряда.

Временной ряд e_t можно представить в эквивалентном (2.1) виде, при котором он получается в виде классической линейной модели множественной регрессии, в которой в качестве объясняющих переменных выступают его собственные значения во все прошлые моменты времени:

 (2.2)

При этом весовые коэффициенты p₁, p₂,… связаны определенными условиями, обеспечивающими стационарность ряда e_t. Переход от (2.2) к (2.1) осуществляется с помощью последовательной подстановки в правую часть (2.2) вместо e_t-1, e_t-2,… их выражений, вычисленных в соответствии с (2.2) для моментов времени t - 1, t - 2 и т.д.

 

2.2 Модели авторегрессии порядка p (AR(p)-модели)

Существуют  следующие простейшие частные случаи.

Модель  авторегрессии 1-го порядка - AR(1) (марковский процесс). Эта модель представляет собой простейший вариант авторегрессионного процесса типа (2.2), когда все коэффициенты  кроме первого равны нулю. Соответственно, она может быть определена выражением:

e_t = ae_t-1 + d_t, (2.3)

где a - некоторый числовой коэффициент, не превосходящий по абсолютной величине единицу (|a| < 1), а d_t - последовательность случайных величин, образующая белый шум.

При этом e_t зависит от d_t и всех предшествующих d, но не зависит от будущих значений d. Соответственно, в уравнении (2.3) d_t  не зависит от e_t-1 и более ранних значений e. В связи с этим, d_t  называют инновацией (обновлением).