c = e^ao = e^-0,9638 = 0,1087  
a = a₁ = 0,8074  
b = a₂ = -0,0122

Следовательно, функция Кобба-Дугласа следующая:

Y = 0,1087·X^0,8074·P^-0,0122.

 

Влияние отдельных  факторов в многофакторных моделях  может быть охарактеризовано с помощью  коэффициентов частной эластичности, которые в случае данной двуфакторной модели они равны вычисленным коэффициентам a = 0,8074 и b = -0,0122.

Коэффициенты  частной эластичности показывают, на сколько процентов изменится  результативный признак, если значение одной из факторных признаков  изменится на 1%, а значение другого  факторного признака останется неизменным.

Задача  2.

Объем продаж рекламного времени частной  радиостанции за 21 неделю представлен  в табл. 2. Проанализировать кривую объемов продаж рекламного времени и сделать вывод о возможности повышения прибыльности этого вида деятельности.

При решении  этой задачи необходимо выполнить следующие операции:

1) проанализировать ряд количества проданного рекламного времени и построить его график;

2) выбрать общую статистическую модель;

3) оценить трендовую составляющую U_i;

4) оценить  адекватность построенных моделей  тренда и оценить их точность;

5) осуществить  прогноз объемов продаж рекламного  времени на следующие 4 недели.

В задаче необходимо применить три аппроксимирующих, полинома (линейный, параболический и  гиперболический), провести их сравнение  и выбор наилучшего.

Таблица 2

Исходные  данные об объеме продаж рекламного времени

Решение

 

Проанализируем ряд количества проданного рекламного времени и построим для наглядности диаграмму рассеивания или график ряда.

Проанализировав размещение точек, приходим к выводу о хаотичности их размещения в первой половине рассмативаемых недель. Во второй половине точки находятся уже ближе к некоторой прямой линии, свидетельствующей об уменьшении количества проданного рекламного времени.

Для возможности  построения адекватных економико-математических моделей и определения тенденции продаж увеличим интервал от одной недели до трех и вычислим скользящие средние, то есть выполним сглаживание ряда с помощью трехчленной скользящей:

 

Построим  диаграмму сглаженного ряда.

 

Как и предполагалось, разброс точек значительно уменьшился.

Таким образом, получен рабочий набор данных для проведения анализа продаж рекламного времени.

 

Построим  линейный, параболический и гиперболический  тренд и в дальнейшем определим  лучший из них.

1. Линейная модель

Пусть модель специфицирована  в линейной форме:

y = at + b + u,

где a, b - параметры модели, u - стохастическая составляющая (остатки).

Используем метод  наименьших квадратов. 
Запишем систему нормальных уравнений, используя в качестве неизвестную переменную - переменную t:

Расчет параметров значительно упрощается, если за начало счета времени (t = 0) принять центральный интервал (момент).

При нечетном числе  уровней (например, 19), значения t = 0 – условного обозначения времени будет отвечать средней 11 неделе:

 

 
Поскольку Σt = 0, поэтому система нормальных уравнений принимает вид:

Построим вспомогательную  таблицу:

 
Получим систему уравнений:

Находим решение:

a = 97,33 / 570 = 0,1708,

b = 4572,67 / 19 = 240,6668.

Следовательно, уравнение линейного тренда имеет  вид:

y = 240,6668 + 0,1708t.

Это значит, что  при увеличении или уменьшении значения фактора на 1 у.е., показатель увеличивается или уменьшается на 0,1708 у.е., то есть между параметрами существует прямая пропорциональная или положительная зависимость.

Свободный член регрессии b = 240,6668 указывает значение показателя при нулевом значении условного времени.

Вычислим теоретические  значения уровней ряда динамики по аналитической формуле  и трендовую составляющую U_i.