Эконометрика

б) Постройте линейный временной тренд для функции спроса.

в) Рассмотрите функцию спроса (Y) как функцию двух переменных: располагаемого дохода (X) и реальной цены на товар или вид услуг (P). (Реальная цена вычисляется по формуле  
P = (Z / L) ∙ 100%). (Z, L см. табл. 1).

Постройте уравнение множественной регрессии  Y на X и P. С помощью МНК оцените коэффициенты в этом уравнении (замените Y, X и P на их логарифмы).

Дайте экономическую интерпретацию коэффициентов  в уравнении. Вычислите коэффициенты эластичности функции спроса. Интерпретируйте  эти коэффициенты.

Таблица 1

Исходные  данные о личных потребительских  расходах и располагаемом личном доходе

 

Решение

а) Постройте уравнение для функции спроса (Y) на данный товар или вид услуг в зависимости от располагаемого личного дохода (X). Постройте таблицу дисперсионного анализа. Вычислите коэффициент детерминации R².

Проверьте регрессию на значимость с помощью  F-теста (α = 0,05 - критерий значимости). Вычислите 95% доверительные интервалы для истинных значений коэффициентов в этом уравнении. Изобразите диаграмму рассеяния и прямую регрессии. 

Идентифицируем  переменные: x - независимая переменная (фактор) y - зависимая переменная (показатель).

Пусть эконометрическая модель специфицирована в линейной форме:

y = ax + b + u

где a, b - параметры модели u - стохастическая составляющая (остатки).

Используем метод  наименьших квадратов [ЛЕЩ, с.29]. 
Запишем систему нормальных уравнений, используя в качестве неизвестной переменной - переменную x:

где n - количество наблюдений.

Построим вспомогательную  таблицу 1.

Табл. 1.

 
Получим систему уравнений:

Решение системы  найдем по формулам Крамера [ГЕТ, с.30]:

где Δ - главный определитель системы.

Следовательно, уравнение линейной модели имеет  вид:

y = 4,8705 + 0,0220x.

Это значит, что  при увеличении или уменьшении значения фактора на 1 у.е. показатель увеличивается или уменьшается на 0,022 у.е., то есть между эконометрическими параметрами существует прямая пропорциональная или положительная зависимость.

Свободный член регрессии b = 4,8705 указывает значение показателя при нулевом значении фактора. Он имеет лишь расчетное значение, поскольку такой случай невозможен в реальной экономической ситуации.  

Для проведения исследования модели построим вспомогательную  таблицу 2.

Табл. 2.

 
Оценим параметры модели альтернативным способом:

Линейное уравнение  регрессии аналогично: y_x = 0,022x + 4,8705.  

Вычислим для  зависимой переменной y общую дисперсию, дисперсию, что объясняет регрессию, дисперсию ошибок [ЛУК, с. 56]:

 

Суммы квадратов  связанные с определенным источником вариации, а также со степенями  свободы и средними квадратами. Сведем их всех в таблице, которая называется базовой таблицей дисперсионного анализа - ANOVA-таблицей [ЛУК, с. 61].

Построим ANOVA-таблицу о зависимости между показателем и фактором:

 

Определим коэффициенты детерминации R² и корреляции r [ЛУК, c. 57]:

Этот результат  значит, что 88,48% вариации результативного  признака зависит от вариации уровня факторного признака, а 11,52% приходится на другие факторы.

Поскольку 0,7 < r < 1, то между факторным и результативным признаком корреляционная связь сильная.  

Проверим адекватность модели по критерию Фишера или F-критерию, 
который вычисляется по формуле:

Поскольку табличное  значение F_{(0,05; 1; 23)} = 4,28 и |F| > F_таб, то делаем вывод об адекватности эконометрической модели.  

Оценим статистическую значимость параметров регрессии.

Табличное значение t-критерия Стьюдента при заданном уровне значимости 0,95 и n - 2 = 23 степенях свободы равно 2,07.

Найдем матрицу  погрешностей C^-1, обратную к матрице системы уравнений:

Δ = |C| = 27819739,74,

Определим стандартные  погрешности оценок параметров модели, учитывая дисперсию остатков:

где

Рассчитаем  t-критерий Стьюдента для каждого из коэффициентов

Поскольку t_m = 2,07 и это значение больше t-критериев для каждого из коэффициентов, то делаем вывод об их статистической значимости.  

Определим интервалы  доверия для параметров регрессии [ЕЛИ, с. 57].

Для расчета  доверительного интервала определяем предельную погрешность для каждого  коэффициента:

Δ_a = t_таб.m_a = 2,0690 · 0,0017 = 0,0034,

Δ_b = t_таб.m_b = 2,0690 · 1,3167 = 2,7242,

Следовательно, экстремальные значения для каждого  коэффициента следующие:

min a = a - Δ_a = 0,0220 - 0,0034 = 0,0186, max a = a + Δ_a = 0,0220 + 0,0034 = 0,0254,  
min b = b - Δ_b = 4,8705 - 2,7242 = 2,1463, max b = b + Δ_b = 4,8705 + 2,7242 = 7,5947.

Таким образом, доверительные интервалы для  коэффициентов регрессии следующие:

a Î (0,0186; 0,0254),

b Î (2,1463; 7,5947).   
Изобразим диаграмму рассеяния и прямую регрессии.

 
 

б) Постройте линейный временной тренд для функции спроса.

 

Идентифицируем  переменные: t - независимая временная переменная (фактор), y - зависимая переменная (показатель). Пусть модель специфицирована в линейной форме:

y = at + b + u,

где a, b - параметры модели, u - стохастическая составляющая (остатки).

Используем метод  наименьших квадратов [ЛЕЩ, с.29]. 
Запишем систему нормальных уравнений, используя в качестве неизвестную переменную - переменную t: