Эконометрика

Расчет параметров значительно упрощается, если за начало счета времени (t = 0) принять центральный интервал (момент).

При нечетном числе  уровней (например, 25), значения t = 0 – условного обозначения времени будет отвечать среднему 1971 году:

 

Поскольку Σt = 0, поэтому система нормальных уравнений принимает вид:

Построим вспомогательную  таблицу:

 
Получим систему уравнений:

Находим решение:

a = 819,6 / 1300 = 0,6305,

b = 543,6 / 25 = 21,744.

Следовательно, уравнение линейного тренда имеет  вид:

y = 21,7440 + 0,6305t.

Это значит, что  при увеличении или уменьшении значения временного фактора на 1 ед., показатель увеличивается или уменьшается на 0,6305 у.е., то есть между параметрами существует прямая пропорциональная или положительная зависимость.

Свободный член регрессии b = 21,744 указывает значение показателя при нулевом значении условного времени.

 
 

в) Рассмотрите функцию спроса (Y) как функцию двух переменных: располагаемого дохода (X) и реальной цены на товар или вид услуг (P). (Реальная цена вычисляется по формуле  
P = (Z / L) ∙ 100%). (Z, L см. табл. 1).

Постройте уравнение множественной регрессии  Y на X и P. С помощью МНК оцените коэффициенты в этом уравнении (замените Y, X и P на их логарифмы).

Дайте экономическую интерпретацию коэффициентов  в уравнении. Вычислите коэффициенты эластичности функции спроса. Интерпретируйте  эти коэффициенты.

Искомое уравнение множественной регрессии выражается производственной функцией или функцией Кобба-Дугласа [НАК, c.140]:

Y = c X^a P^b,

где c - коэффициент, что отображает уровень технологической производительности, показатели a и b - коэффициенты элластичности объема производства Y по фактору производства, то есть по капиталу X и реальной цене P соответственно.

Для оценки параметров производственной регрессии сведем ее к линейной форме. После логарифмирования и замены величин получим приведенную  линейную регрессию:

lgY = lg(c X^a P^b),

lgY = lgc + a lgX + b lgP.

Обозначим:

lgY = y, lgc = a₀, a = a₁, b = a₂, lgX = x₁, lgP = x₂,

где X - количество фактора 1, P - количество фактора 2, Y - показатель.

Получили эконометрическую модель, которая специфицирована  в линейной форме:

y = a₀ + a₁x₁ + a₂x₂ + u,

где a₀, a₁, a₂ - параметры модели u - стохастическая составляющая (остатки).

Запишем исходные данные в такой форме.

После логарифмирования получим исходные данные для расчетов.

 
Построим модель множественной линейной регрессии.

Пусть эконометрическая модель специфицирована в линейной форме [ЛЕЩ, c. 58]:

Y = a₀ + a₁X₁ + a₂X₂ + u,

где a₀, a₁, a₂ - параметры модели u - стохастическая составляющая (остатки), X₁, X₂ - факторы Y - показатель. Оценим параметры модели методом МНК:

A = (X 'X)^-1X 'Y,

где матрица  X характеризует все независимые переменные модели. Поскольку модель имеет свободный член a₀, для которого все x_i = 1, то матрицу нужно дополнить первым столбцом, в котором все члены являются единицами, X ' - транспонированная матрица к данной, а вектор Y - вектор зависимой переменной.

Транспонируем данную матрицу:

 

Найдем произведение транспонированной матрицы и  данной:

Вычислим обратную матрицу:

Найдем произведение транспонированной матрицы и  вектора Y:

Умножив обратную матрицу на предыдущую, получим искомые  коэффициенты:

Таким образом  a₀ = -0,9638, a₁ = 0,8074, a₂ = -0,0122.

Следовательно, линейная эконометрическая модель имеет  вид:

Y = -0,9638 + 0,8074X₁ - 0,0122X₂.

Проверку правильности решения можно выполнить, использовав  стандартную функцию Excel ЛИНЕЙН() [ЛАВ, c. 249]. Задав первым ее параметром значения диапазона Y, а вторым - диапазона X, получим аналогичный результат.

С экономической  точки зрения вычисленные коэффициенты регрессии значат следующее:

- если значение  фактора x₁ () изменится на 1, то показатель увеличится или уменьшится на 0,8074 ед.; 
- если значение фактора x₂ () изменится на 1, то показатель увеличится или уменьшится на 0,0122 ед.; 
Свободный член регрессии a₀ = -0,9638 указывает значение результативного признака при нулевых значениях всех факторов. Он имеет лишь расчетное значение, поскольку такой случай невозможный в реальной экономической ситуации.

Коэффициент c функции Кобба-Дугласа определяем потенцированием: