Динамические экономические модели

,

где τ1, τ2 ставки налогообложения по действующему налоговому законодательству. Здесь льготы, предоставляемые предприятиям, реинвестирующим свою прибыль в производство, учитываются с помощью доли инвестиционных отчислений ξ и коэффициента KЛ (величина его обычно зависит от границы действия льгот ).

Уравнение (2.5) описывает динамику прироста основных производственных фондов за счёт собственных средств и внешних инвестиций, при этом учитывается влияние внешних факторов с возмущением, прогнозировать которые мы не можем (инфляция, рост цен на сырьё). Влияние возмущений происходит с помощью введения обобщённой функции, которая оказывает воздействие на основные производственные фонды в определённый момент t0 времени.

Подставляя (2.2) и (2.4) в соотношение (2.3), получаем

Выражая явным образом переменную M(t) в соотношении (2.7), имеем:

Отсюда, после подстановки (2.8) в (2.5) имеем

где

Учитывая (2.1), система соотношений (2.1) – (2.4) преобразуется к линейному неоднородному дифференциальному уравнению:

Общим решением дифференциального уравнения является:

, где A0=A(0).

Рассмотрим три частных случая динамики инвестиций I(t):

1) I(t) = I0 = const;

2)I(t) = βt;

3) I(t) = Beβt.

Они соответствуют трём стратегиям государственной финансовой поддержки российского предпринимательства: 1) постоянной – с фиксированными объёмами инвестиций для каждого периода; 2) возрастающей – по линейному закону с темпом роста инвестиций β > 0 ; 3) возрастающей – по нелинейному (экспоненциальному) закону со средним темпом β > 0 и с минимальным уровнем гарантированной государственной поддержки ( I (0) = B при t = 0 ).

Общее решение линейного неоднородного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами (2.10) для рассматриваемых правых частей имеет вид:

  (2.12)

  (2.13)

  (2.14)

где А0=А(0).

Сопоставляя темпы роста основных фондов для различных вариантов инвестирования предприятия, убеждаемся в том, что они соответствуют интенсивности финансовой поддержки, а также зависят от параметров, характеризующих деятельность рассматриваемого экономического объекта, экономических характеристик предприятия, определяющих значение переменной a , а также величины внешних возмущений α (см. (2.9) и (2.10)).

Математическая структура основного уравнения динамики промышленного предприятия (2.10), как и структура полученных решений (2.12) – (2.14), соответствует результатам дифференциального анализа применительно к предприятию как хозяйственному объекту. Однако экономическое содержание переменных, входящих в полученные решения, для сопоставляемых исследований различно и определяется исходными посылками рассматриваемых в каждом случае моделей.

Рассмотрим более сложный случай, при котором не только внешние, но и внутренние инвестиции предприятия являются функцией времени. Этот случай учитывается в модели путём описания динамики переменной, отражающей долю чистой прибыли, отчисляемой на реинвестирование, как известной функции времени ξ(t) . При любом виде функции ξ(t) данная модель предприятия становится нелинейной.

По своему экономическому содержанию данная переменная – управляющий параметр, определяемый собственником данного предприятия, и характеризующий размер средств, направляемых на потребление и накопление. Поэтому введение в модель динамики переменной ξ(t) описывает определённую стратегию поведения руководства предприятия при распределении чистой прибыли.

Примем следующие предпосылки.

Промышленное предприятие рассматривается на временном интервале [0, T] . Пусть ξ(t) – известная монотонно возрастающая функция времени, для которой задан верхний предел изменения Ψ (определяемый экспертно или на основе статистического анализа 0 < Ψ≤1 , ξ(T) = Ψ ). Внешние инвестиции являются некоторой функцией времени I (t) , причём Требуется определить верхнюю границу изменения основных фондов предприятия A(t) и оценить их величину к концу периода T .

С учётом сделанных предпосылок уравнение (2.10) имеет вид:

  (2.15)

где  (2.16)

Соотношение (2.15) – нелинейное дифференциальное уравнение с возбуждением, решение которого зависит от вида функции I (t) . Если оно неразрешимо в явном виде относительно A(t) его можно решать приближёнными методами. Кроме того, для него определяема верхняя оценка динамики A(t) .

Проинтегрировав обе части уравнения (2.15) на интервале [0, t] , получаем:

A(t)-A(0)=  (2.17)

С учетом того, что А0=А(0), и , получаем:

A(t)=  (2.18)

Для уравнения (2.18) применима оценка Гронуолла-Беллмана:

  (2.19)

Видим, что a(t) растёт монотонно с ростом ξ(t) , что следует из соотношения (2.16). Следовательно, максимальное значение функция a(t) достигает при ξ(t) в конце периода T . Это позволяет получить верхнюю оценку динамики основных фондов в упрощённом виде:

  (2.20)

где при ξ(t)=Ψ.

Для определенности зададим функцию ξ(t) в виде функции:

ξ(t) = γt2 (2.21)

где γ - темп «наращивания» процесса реинвестирования средств предприятия. Данная функция отражает ситуацию улучшения инвестиционного климата и активизацию инвестиционных процессов, в частности процессов самофинансирования предприятия.

В соответствии со сделанными предпосылками будем считать:

  (2.22)

Вид этой зависимости изображен на рисунке 1.

Рисунок 1. Динамика доли средств, реинвестируемых промышленным предприятием

Так как ξ(t) = γt2 = Ψ, по определению заданной функции (2.22), получаем величину темпа реинвестирования:

  (2.23)

Подставляя (2.23) в выражение (2.22), получаем:

  (2.24)

Полученное выражение (2.24) позволяет определить параметр a(t) в соответствии с формулой (2.16). Обозначив m=f(1-c-τ1) и n=τ2КЛ приходим к следующему выражению:

  (2.25)

Подставив (2.25) в формулу (2.19), получим оценку для верхней границы фондов A(t) для рассмотренного вида функции ξ(t). С этой целью вычислим интеграл E(t) = .

Получаем, что

  (2.26)

Обозначим g=1+n, G = .

Тогда

  (2.27)

Обозначив μ= и преобразуя выражение (2.27), получим:

Итак, оценка верхней границы основных фондов при z=T в соответствии с формулой (2.19) имеет вид:

  (2.28)

где m=f(1-c-τ1), n=τ2КЛ, μ =

Из формулы (2.28) следует, что величина верхней границы динамики основных фондов зависит от их начального уровня A0, общего объёма выделенных за период инвестиций IT, величины возмущений α и от целого ряда других факторов. К числу факторов, форсирующих динамику процесса, относятся переменные, определяющие эффективность производства, величину удельной прибыли предприятия (входят в параметр m) и его фондоотдачу. К числу факторов, тормозящих динамику, относятся переменные, ограничивающие долю инвестирования и характеризующие налоговый пресс на предприятие (входят в параметры n и μ ).

Исследование форсирующих факторов роста предприятия как функций времени показывает использование в экономико-математическом анализе производственных функций нелинейного типа, что определяет необходимость разработки соответствующих модификаций модели.

К числу экономических характеристик, влияющих на динамику развития предприятия, относится доля чистой прибыли, направляемой на инвестирование.

Оценка динамики основных фондов предприятия проводится также для случая изменяющейся во времени фондоотдачи f (t). Этот случай соответствует внедрению новых технологий производства, обуславливающих рост эффективности и повышение производительности труда, применению различных организационно-технических мероприятий, изменяющих фондоёмкость процессов и т.д., и приводит к нелинейной модели. Общая оценка динамики фондов описывается неравенством (2.19). Конкретная величина этой оценки определяется характером изменения функции фондоотдачи f (t) , входящей в переменную a(t) . Фактически данный случай означает использование в модели предприятия новой производственной функции. В связи с этим возникает задача проведения анализа динамики различных типов предприятий, производственный процесс которых описывается разными производственными функциями, в том числе и нелинейными.

 

Заключение

Основным недостатком классических экономических моделей является их статичность. Но в реальной экономики все показатели и явления изменяются с течением времени. Поэтому более объективно экономику описывают динамические модели, которые учитывают изменение экономических показателей во времени.

В работе были рассмотрены примеры макроэкономических и микроэкономических динамических систем. В качестве первых выступают динамическая модель Леонтьева и модель Неймана. В динамической модели межотраслевого баланса Леонтьева отражен воспроизводственный процесс, поэтому она применима для исследования поведения экономической системы на достаточно длительных интервалах времени при сохранении технологического уклада. Для отражения научно-технического прогресса эти модели непригодны.

Примером микроэкономической динамической модели служит модель динамики промышленного предприятия с участием внешних инвестиций как формы государственной поддержки. Такие модели позволяют повысить эффективность использования капитала с помощью разработанного математического аппарата, адаптированного к заданным дифференциальным динамическим моделям развития промышленного предприятия, использующих стандартные варианты инвестиционных вложений и их комбинаций (самофинансирование, государственные инвестиции, кредиты), с учётом влияния факторов не поддающихся прогнозированию (изменение курса валют, цен на сырьё, инфляция), возникающих в условиях турбулентного рынка.

 

Список использованной литературы

1.  Герасимов Б.И. Дифференциальные динамические модели : учебное пособие / Б.И. Герасимов, Н.П. Пучков, Д.Н. Протасов. – Тамбов : Изд-во ГОУ ВПО ТГТУ, 2010. – 80 с. – 100 экз. – ISBN 978-5-8265-0947-0.

2. Кремер Н.Ш., Путко Б.А. Эконометрика: Учебник для вузов / Под ред. проф. Н.Ш. Кремера. – М.: ЮНИТИ-ДАНА, 2002. – 311 с.

3. Магнус Я.Р., Катышев П.К., Пересецкий А.А. Эконометрика. Начальный курс: Учеб. – 6-е изд., перераб. и доп. – М.: Дело, 2004. – 576 с.

4. Поттосина С.А. Экономико-математические модели и методы: Учеб. пособие для студ. экон. спец. БГУИР всех форм обуч. / С.А. Поттосина, В.А. Журавлев. – Мн.: БГУИР, 2003. – 94 с.: ил.

5. Тренев Н.Н. Динамические модели микроэкономики // Н.Н. Тренев. – Аудит и финансовый анализ – 2005, №4.

6. Царев И.Г. Динамические системы в экономике // И.Г. Царев. – Аудит и финансовый анализ – 2006, №3.