Динамические экономические модели

Модель Неймана

В модели Неймана представлены n продуктов и m способов их производства. Каждый j-й способ задается вектор-столбцом затрат продуктов aj и вектор-столбцом выпусков продуктов bj в расчете на единицу интенсивности процесса:

                                             (1.11)

Это означает, что при единичных интенсивностях j-го производственного процесса потребляется вектор продуктов j a и производится продуктов bj. Векторы (1.11) рассматриваются в натуральных единицах или в постоянных ценах.

Из векторов затрат и выпуска образуются матрицы затрат А и выпусков В с неотрицательными коэффициентами затрат aij и выпусков bij:

Матрицы A и B обладают следующими свойствами:

1) ≥0, ≥0, то есть все элементы матриц неотрицательны;

2) , j=1,..,m, что означает: в каждом из m способов производства потребляется хотя бы один продукт;

3) , i=1,..,n, что означает: каждый продукт производится хотя бы одним способом производства;

Таким образом, каждый столбец матрицы А и каждая строка матрицы В должны иметь по крайней мере один положительный элемент.

Через Х(t) обозначим вектор-столбец интенсивностей

Тогда AX(t) – вектор затрат, BX(t) – вектор выпусков при заданном векторе Х(t) интенсивностей процессов.

Модель Неймана является обобщением динамической модели межотраслевого баланса Леонтьева, поскольку допускает производство одного продукта несколькими способами производства, и совпадает с ней, если В = Е.

В модели Неймана имеют место следующие соотношения:

AX(t+1) ≤ BX(t),

X(t) ≥ 0, X(t+1) ≥ 0.

Соотношения (1.12) означают, что при производстве продукции в году (t + 1) расходуется продукция, произведенная в году t.

Вектор p (t)=(p1(t), p2(t),..., pn(t))≥0 называется вектором цен продуктов, произведенных в году t, если он удовлетворяет следующим соотношениям:

p(t+1)B ≤ p(t) A,

p(t) AX(t+1) = p(t) BX (t)

p(t+1) BX(t) = p(t) AX (t).

Если коэффициенты матриц А и В – стоимостные величины в постоянных ценах, то р(t) будет вектором индексов цен.

Первое векторное неравенство в (1.13) означает, что стоимость выпуска продукции для каждого технологического способа производства в году t + 1 не может быть больше стоимости затрат в ценах года t.

Из (1.12) и (1.13) следует, что имеют место следующие соотношения

Первое соотношение в (1.14) означает, что цена i-го продукта в году t равна нулю, если его выпуск в году t будет больше его затрат в году (t + 1).

Второе соотношение (1.14) означает, что j-й технологический процесс в году t не будет применяться (интенсивность равна нулю), если стоимость затрат по нему в году t больше стоимости его выпуска в году (t + 1).

Векторы Х(t) и p(t), t = 1, 2, …, T называются траекторией сбалансированного роста в модели Неймана, если они удовлетворяют условиям

X(t+1) = (1+λ) X(t),

p(t+1) = (1+r)-1 p(t)

где λ>0, r>0.

Здесь λ − темп, ρ − норма процента сбалансированного роста.

Из (1.15) следует, что в состоянии сбалансированного роста значения компонент вектора Х(t) пропорционально возрастают, а вектора p(t) – снижаются. При этом имеют место соотношения

X(t+1) = (1+ λ)t X(0),

p(t+1) = (1+ ρ)-t p(0),

где Х(0) и р(0) – начальные значения векторов в году t = 0.

Из (1.15), (1.16) следует, что на траектории сбалансированного роста должны выполняться соотношения

(1+ λ) AX (t) ≤ BX(t),

p(t) B ≤ (1+ ρ) p(t) A,

(1+λ) p(t) AX(t) = p(t) BX(t),

p(t) BX (t) = (1+r) p(t) AX(t),

X(t) ≥0, p(t) ≥0, λ>0, r>0.

Вопрос о существовании траекторий сбалансированного роста решается следующими теоремами.

Первая теорема Неймана. Если матрицы А и В удовлетворяют свойствам 1-3, то система неравенств (1.17) имеет решение X(t), p(t),λ ,ρ, т.е. в модели Неймана существуют траектории сбалансированного роста.

Вторая теорема Неймана. Существует решение X*(t), p*(t),λ*,ρ* системы (1.17), у которого будет максимальный темп роста λ* ≥ λ и минимальная норма процента ρ* ≤ ρ по сравнению с другими решениями. При этом выполняется соотношение

Данное решение называется магистралью, или траекторией максимального сбалансированного роста в модели Неймана.

В модели Леонтьева задача о максимальном сбалансированном росте (магистрали) будет иметь вид

max(1+λ),

X≥(1+λ)AX,

X≥0.

Согласно теореме Фробениуса-Перрона, если А продуктивная матрица, то задача (1.19) имеет решение Х* > 0, (1+λ*) , где (1+λ*) равно наименьшему собственному значению матрицы А большему или равному единице, а Х* соответствующий нормированный собственный вектор. При этом в (1.19) будет достигаться равенство.

 

Модель динамики промышленного предприятия с участием внешних инвестиций как формы государственной поддержки

Основы дифференциального анализа деятельности предприятий как хозрасчётных единиц заложены в работах, вышедших ещё в 1980 г. Предложенные методы позволяли исследовать динамику развития предприятия (т.е. проследить достаточно долговременные последствия принятых решений) с помощью дифференциальных уравнений, содержащих набор наиболее существенных переменных, которые отражают влияние как внешних факторов (например, динамики инвестиций), так и внутренних характеристик предприятия (себестоимость, фондоотдача и т.д.). Предприятие представлялось очень упрощённо, с использованием сильно агрегированных показателей, принимались гипотезы о монопродуктивности предприятия, неизменности и единственности применяемой технологии, что требует в ряде случаев специального обоснования достоверности и применимости получаемых результатов.

Одна из первых экономико-математических моделей, разработанных применительно к малому промышленному предприятию, была описана в 1997 г. и рассматривала промышленное предприятие, функционирующее в экономическом симбиозе с крупной фирмой, являясь имитационной динамической моделью с дискретным временем.

Данная модель позволяла рассчитать динамику развития промышленного предприятия, осуществляющего диверсификационную стратегию, в состав которой входила деятельность по промышленному производству, коммерции и инновационным разработкам. Функционирование предприятия существенно определялось деятельностью крупного партнёра (фирмы), со стороны которого определялись заявки на производственную, коммерческую и инновационную деятельность малой структуры. Оба предприятия формировали общие фонды, предназначенные для целевого развития предприятий, при этом часть средств этих фондов формировалась за счёт доходов, полученных в результате взаимовыгодного взаимодействия. Полученный результат интерпретировался как «попадание» предприятия в зону одинакового благоприятствования для обоих рассмотренных видов деятельности. Таким образом, данная экономико-математическая модель позволяла рассматривать её как инструмент, позволяющий сформировать необходимые внешние условия функционирования малой фирмы, в частности, стимулировать развитие её производственной деятельности. Таким образом, парадокс истории в том, что концептуальные основы такого анализа оказались малоприменимыми для нового класса объектов – промышленных предприятий, которых ещё не было в период разработки моделей плановой экономики.

С современной точки зрения на данный инструментарий, принципы и гипотезы моделирования, используемые в литературе, в большей степени применимы для малых, нежели крупных предприятий. Малые промышленные предприятия, как правило, узкоспециализированные и монопродуктовые, используют одну технологию, не меняя её в процессе своего функционирования и т.д. Наблюдаемые в настоящее время условия формирующегося рынка, полная экономическая самостоятельность предприятий, принципиально иная налоговая система требуют нового этапа исследований для соответствующей адаптации этих методов и, в частности, учёта новых переменных и взаимосвязей между ними.

Приведём пример. В условиях административно-командной системы управления народным хозяйством предприятие должно было не только произвести продукцию, реализовать её и получить прибыль, но и «заслужить право» оставить часть прибыли в собственном распоряжении в виде фондов экономического стимулирования: фонда развития, фонда поощрения, фонда социально-культурных мероприятий. Размер этих фондов определялся по особой методике и зависел от темпов роста реализации и рентабельности предприятия. Остальная часть прибыли из процесса воспроизводства изымалась (различные обязательные отчисления, платежи в бюджет и т.д.). В настоящее время подобная система формирования фондов развития отсутствует, из прибыли предприятие должно отчислять лишь налоги. Таким образом модели, отражающие динамику воспроизводственного процесса на предприятии в дореформенное и послереформенное время, существенно различны, хотя и предполагают использование общих методических принципов.

Рассмотрим экономико-математические модели, основанные на решении обыкновенных дифференциальных уравнений, описывающих различные способы инвестирования в бизнесе (самофинансирование, государственная поддержка, кредитование). Модели позволяют исследовать динамику развития различных предприятий в зависимости от выбранных инвестиционных стратегий: «чистых» (использование одного инвестиционного источника) и «смешанных» (применение комбинированных схем финансирования), а также выявить условия доступности кредитов.

Немалую роль в формировании ресурсного потенциала любого предприятия играет внешний кредитно-инвестиционный фактор. Его действие проявляется через потоки финансовых средств из различных источников в виде:

1) государственных инвестиций;

2) инвестиций из различных фондов;

3) кредитных ресурсов, предоставляемых  банковской системой;

4) кредитных ресурсов, предоставляемых другими юридическими и физическими лицами (кредитные организации, инвестиционные фонды, иностранные инвесторы, ростовщики и т.д.).

Таким образом, внешний кредитно-инвестиционный фактор дополняет действие рассмотренной положительной обратной связи экономического объекта и определяет темпы динамики его развития. При этом важными оказываются как величина осуществляемой кредитно-инвестиционной поддержки и её регулярность (динамика инвестиций во времени), так и другие условия её предоставления (плата за инвестиционный ресурс в виде ставки процента за кредит, сроки возврата кредита и т.д.).

Наблюдаемые в настоящее время условия формирующегося рынка, полная экономическая самостоятельность предприятий, новая система взаимосвязей переменных, принципиально иная налоговая система требуют нового этапа исследований для соответствующей адаптации этих методов и, в частности, учёта кредита, налоговых льгот для предприятий и т.п.

Рассмотрим адаптированную к условиям турбулентной среды базовую модель динамики предприятия, использующего внешние инвестиции как форму государственной поддержки (модель М1), представленную С.Р. Хачатряном и предназначенную для промышленных предприятий, функционирующих в условиях, описываемых системой предпосылок:

1) предприятие может развиваться как за счёт внутренних источников (прибыли, амортизации), так и за счёт государственной поддержки в виде инвестиций;

2) рассматриваются три различных  стратегии государственной поддержки  бизнеса: а) постоянная (с фиксированными объёмами инвестиций для каждого периода); б) линейно возрастающая (с известным постоянным темпом роста инвестиций); в) нелинейно возрастающая (с нарастающим темпом и минимальным уровнем гарантированного государственного субсидирования). Собственная инвестиционная стратегия предприятия определяется долей чистой прибыли (которая предполагается постоянной), отчисляемой на реинвестирование;

3) основные производственные фонды  являются единственным лимитирующим  фактором, от которого зависит выпуск продукции;

4) любое предприятие функционирует при неизменной технологии, что предполагает постоянство его фондоотдачи;

5) производственная деятельность  описывается однофакторной функцией  Леонтьева. Темпы развития предприятия характеризуются динамикой основных производственных фондов, которые, в свою очередь, определяются величиной инвестиционных ресурсов (отчислениями от прибыли и величиной финансовой поддержки), а также влиянием внешних факторов с возмущением, прогнозировать которые мы не можем (инфляция, рост цен на сырьё).

Данная модель является адаптированной к изменениям внешней среды путём введения в выражение (2.5) обобщённой функции, которая определяет появление возмущений в момент времени t0 , и величины внешних возмущений α, оказывающей влияние на основные производственные фонды.

Зависимости между основными переменными модели предприятия показывают взаимосвязь между агрегированными переменными (такими, как объём выпуска, стоимость основных производственных фондов и темпы их прироста, общая и чистая прибыль, сумма налоговых отчислений и т.д.) и могут быть представлены следующей совокупностью уравнений:

P(t) = fA(t),                                                                                         (2.1)

Mоб(t) = (1-c) P(t), (2.2)

M(t) = Mоб(t) – N(t), (2.3)

N(t) = τ1P(t) + τ2KЛ (1- ξ) Mоб(t), (2.4)

dA/dt = ξM(t) + I(t) + αδ(t), (2.5)

t ϵ [0;T], t0 ϵ [0;T), ξ ϵ [0;1], KЛ ϵ (0;1]

  (2.6)

где Р(t) – выпуск продукции в момент t в стоимостном выражении; f – показатель фондоотдачи; A(t) – стоимость основных производственных фондов; с – доля удельной себестоимости выпуска продукции в стоимостном выражении; Mоб(t)  – общая прибыль предприятия; M(t) – чистая прибыль предприятия за вычетом налоговых отчислений; N(t) – сумма налоговых отчислений; τ1, τ2 – ставки налогообложения на объём выпуска и прибыль соответственно; ξ – доля чистой прибыли, отчисляемой на реинвестирование, 0≤ξ≤ 1; KЛ – коэффициент, отражающий долю реинвестируемых средств прибыли, не имеющих льгот по налогообложению (не все реинвестируемые средства освобождаются от налогов), характеризующий соотношение общей и чистой прибыли предприятия, и оцениваемый статистическим путём 0<KЛ≤1; (t) – внешние инвестиции, полученные предприятием; q(t) – функция Хевисайда (обобщённая функция); α – величина внешних возмущений.

При этом уравнения: (2.1) – определяет линейную производственную функцию промышленного предприятия; (2.2) – характеризует процесс формирования его общей прибыли за вычетом издержек производства; (2.3) – описывает величину чистой прибыли за вычетом общей суммы налоговых отчислений; (2.4) – требует специальных пояснений. Уравнение является обобщённым способом расчёта налоговых отчислений, представляющим собой линейную комбинацию альтернативных вариантов налогообложения, действующих в бизнесе (предполагается, что переменные τ1, τ2 могут принимать нулевые значения при отсутствии соответствующего налогового варианта). С достаточной условностью можно выделить три группы вариантов, определяющих зависимость налогов от: 1) объёмов производства; 2) общей прибыли; 3) объёмов производства и общей прибыли. Так, в российских условиях, характеризующихся множественностью вариантов налогообложения, налоги могут рассчитываться по одной из трёх схем: общей (третья группа); упрощённой в двух вариантах (первая и вторая группа соответственно); вменённому доходу (первая группа). В целях общности описания в соотношении (2.4) учтён также вариант льготного налогообложения инвестиционно активных предприятий, в соответствии с которым реинвестированная часть чистой прибыли M(t) не облагается налогом. Таким образом, имеем: