Теория игр

Эволюционно-стабильная стратегия – такая стратегия, что если ее использует большинство индивидов, то никакая альтернативная стратегия не может ее вытеснить посредством механизма естественного отбора, даже если последняя более эффективна по Парето.

В общем виде требования к эволюционно-стабильной стратегии  записываются следующим образом¹². Стратегия I, используемая контрагентами с вероятностью р, является эволюционно-стабильной для игрока тогда и только тогда, когда выполняются следующие условия: EU (I, p) > EU (J, p), что тождественно pU (I, I) + (1 – p) U (I, J) > pU (J, I) + (1 – p) U (J, J). Из чего следует:

• U (I, I) > U (J, I) или

• U (I, I) = U (J, I) и U (I, J) > U (J, J),

где – U (I, I) выигрыш игрока при выборе стратегии I, если контрагент выбирает стратегию I; U (J, I) – выигрыш игрока при выборе стратегии J, если контрагент выбирает стратегию I, и т.д.

Можно представить эти  условия и в графической форме. Отложим по вертикальной оси ожидаемую  полезность выбора той или иной стратегии, а по горизонтальной – долю индивидов  в общей популяции игроков, выбирающих обе стратегии. Тогда мы получим  следующий график (значения взяты  из модели разъезда двух автомобилей), изображенный на рис. 6.1.

Из рисунка следует, что  и "принять влево", и "принять  вправо" имеют равные шансы на то, чтобы стать эволюционно-стабильной стратегией до тех пор, пока ни одна из них не охватила больше половины "популяции" водителей. Если же стратегия перешагивает этот рубеж, то она постепенно, но неизбежно вытеснит другую стратегию и охватит всю популяцию водителей. Дело в том, что, если стратегия перешагивает рубеж 50%, для любого водителя становится выгодным использовать ее в маневрах, что, в свою очередь, еще больше увеличивает привлекательность данной стратегии для остальных водителей. В строгой форме данное утверждение будет выглядеть следующим образом: dp / dt = G [EU (I, p) – EU (J, p)], G' > 0.

Рис. 6.11

Главным результатом анализа  повторяющихся игр является увеличение числа точек равновесия и решение  на этой основе проблем координации, кооперации, совместимости и справедливости. Даже в дилемме заключенных, как  мы уже упоминали в предыдущей лекции, переход к повторяющемуся взаимодействию позволяет достичь  оптимального по Парето результата ("отрицать вину"), не выходя за рамки нормы  рациональности и запрета на обмен  информацией между игроками. Именно в этом смысл "всеобщей теоремы" (folk theorem): любой исход, устраивающий индивида индивидуально, может стать при переходе к структуре повторяющейся игры равновесным¹³. В ситуации дилеммы заключенных равновесным исходом при определенных условиях может стать и простая стратегия "не признавать", и множество смешанных стратегий. В числе смешанных и эволюционных стратегий, помимо Tit for Tat ("зуб за зуб"), отметим следующие: Tit-For-Two-Tats – начинать с отрицания вины и признавать вину, только если в два предшествующих периода кряду контрагент признавал вину; DOWING – стратегия, исходящая из предположения о равновероятном использовании контрагентом стратегий "отрицать вину" и "признавать" в самом начале игры. Далее каждое отрицание вины со стороны контрагента поощряется, а каждое признание – наказывается выбором стратегии "признавать вину" в следующий период; TESTER – начинать с признания вины, и если контрагент тоже признает вину, то в следующем периоде отрицать вину (т.е. извиниться) и далее использовать стратегию "зуб за зуб" – Tit for Tat¹⁴.

Выводы. Подведем общие итоги обзора теории игр и вариантов ее использования в институциональном анализе. Главный аргумент в пользу того, чтобы строить модели институтов с помощью теории игр, заключается в интересе теории игр к ситуациям взаимозависимости действий индивидов, проблемам координации и согласования действий. Ведь именно институты призваны решить эти проблемы. С позиции теории игр функцию института можно определить как создание предпосылок (структурных, когнитивных, организационных) для фиксации одного из исходов игры в качестве равновесного. Эта задача особенно актуальна, если равновесие по Нэшу отсутствует или оно не единственно. Достижение равновесия с помощью институтов подразумевает¹⁵:

• увеличение числа точек  равновесия через формирование смешанных  и эволюционных стратегий; формирование репутации игроков, в которой  фиксируется вся информация о  его поведении в прошлом; задание "удовлетворительных" критериев  выбора альтернатив¹⁶;

• выбор единственного  равновесия из нескольких равновесных  исходов с помощью соглашений и "фокальных точек"; задание  критериев выбора альтернатив на основе ценностей; изменение структуры предпочтений индивида.

 

Основная  литература

Гальперин В., Игнатьев С., Моргунов В. Микроэкономика-2. СПб.: Экономическая школа, 1998. Т. 2. Приложение 1а.

Оуэн Г. Теория игр. М., 1971.

Schotter A. Microeconomics. A Modern Approach. N.Y.: Harper Collins, 1994. Ch. 7. P. 204-247.

Дополнительная  литература

Льюис Р., Райфа  X. Игры и решения. М.: Изд-во иностранной литературы, 1951.

Guerrien В. La theorie des jeux. Paris: Economica, 1995.

Kreps D. Game Theory and Economic Modelling. Oxford: Oxford University Press, 1990.

Примеры решения задач

1. Всегда ли существует  равновесие по Штакельбергу?

Да. Нет.

Ответ. Да. В отличие от равновесия по Нэшу, которое может не существовать, равновесие по Штакельбергу существует в любой игре. Его существование обусловлено временным лагом в принятии игроками решений.

2. Предположим, в игре  существует два равновесных по  Нэшу исхода. О какой проблеме  идет речь?

А. Совместимости.

Б. Координации.

В. Справедливости.

Г. Кооперации.

Ответ. Б. Речь идет о проблеме координации.

3. Возможна ли ситуация, в которой игроки имеют доминирующие  стратегии и, следовательно, существует  равновесие доминирующих стратегий,  а равновесие по Нэшу отсутствует?

Да. Нет.

Ответ. Нет. Такая ситуация исключена. Доминирующая стратегия означает достижение игроком максимального выигрыша вне зависимости от действий другого. Равновесие по Нэшу предполагает, что игроки не могут увеличить свою полезность в одностороннем порядке. Следовательно, находясь в точке равновесия доминирующих стратегий, игроки не смогут изменить свою стратегию таким образом, чтобы увеличить выигрыш.

4. Без следования какой  норме не может обойтись игрок  при достижении равновесного  по Штакельбергу исхода?

А. Норме доверия.

Б. Норме эмпатии.

В. Норме утилитаризма.

Ответ. Б. Если игрок не способен поставить себя на место партнера, то ему не удастся предугадать реакцию последнего на выбор той или иной стратегии.

5. Найти все типы равновесных  исходов и указать проблему, иллюстрируемую  следующей моделью:

Ответ. Равновесия доминирующих стратегий нет, равновесия по Нэшу нет, равновесие по Штакельбергу для первого игрока (2, 3), для второго игрока – (1, 2). Равновесие по Парето – исход (2, 3). Модель иллюстрирует проблему совместимости, так как в ней отсутствует равновесие по Парето.

6. Найти такое значение X, чтобы в данной модели:

А. Равновесие по Нэшу было единственным.

Б. Существовало два равновесных по Нэшу исхода.

Ответ. А. Учитывая заданные направления двух стрелок, единственным равновесием по Нэшу может быть исход (3, 3). Для этого требуется, чтобы выполнялось неравенство X < 3.

Б – исходя из направления двух стрелок, двумя равновесными исходами могут быть (2, X) и (X, 2). Для этого требуется, чтобы выполнялось неравенство X > 3.

7. Найти такое соотношение X и Y, чтобы в данной модели существовало лишь одно равновесие по Нэшу (X > 0, Y > 0):

Ответ. Единственным равновесием по Нэшу может быть либо исход (X – Y/ 2, Х – Y/2), либо исход (0, 0). Чтобы исход (0, 0) был единственным равновесием по Нэшу, должны выполняться следующие неравенства:

Чтобы исход (X – Y/2, X – Y/2) был единственным равновесием по Нэшу, должны выполняться следующие неравенства:

Сноски к теме 3

¹ Kreps D. Game Theory and Economic Modelling. Oxford: Oxford University Press, 1990. P. 10-26.

² Эта ситуация, иногда ее называют игрой Штакельберга, очень подробно рассматривается в теории игр: Guerrien В. La theorie des jeux. Paris: Economica, 1995. P. 11-16; Kreps D. Op. cit. P. 45-48.

³ Walliser B. A Simplified Taxonomy of 2x2 Games // Theory and Decision. 1989. Vol. 25. № 2.

⁴ См. лекцию № 1.

⁵ Schotter A. The Economic Theory of Social Institutions. Cambridge: Cambridge University Press, 1981. P. 22-24; Walliser B. Theorie des jeux et genese des institutions // Recherches Economiques de Louvain. 1989. Vol. 55. № 4. P. 344-345.

⁶ Havrylyshyn O., Miller M., Perraudin W. Deficits, Inflation and the Political Economy of Ukraine//Economic Policy. 1994. Vol. 19. P. 360-362.

⁷ Guerrien B. Op. cit. P. 44-46.

⁸ Дорнбуш Р., Фишер С. Макроэкономика. М.: Изд-во МГУ, 1997. С. 245-252; Havrylyshyn О., Miller M., Perraudin W. Op. cit. P. 366.

⁹ Воронцова О., Яковлев А. Обобщающий анализ ценовой политики и инфляционных ожиданий на микроуровне. М.: Высшая школа экономики, 1995.

¹⁰ Maynard J. Smith. Evolution and the Theory of Games. Cambridge: Cambridge University Press, 1982. P. 10. Обилие биологических терминов в определении (популяция, естественный отбор) объясняется тем, что эволюционный подход в теории игр поначалу был предложен для моделирования биологической эволюции.

¹¹ При всем умозрительном характере данного допущения оно вполне реально. Например, в Австрии 30-х годов каждая из земель имела свой стандарт движения и на границах земель нередки были встречи двух стандартов движения (Konrad К., Thum M. Fundamental Standards and Time Consistency // Kyklos. 1993. Vol. 46. Fasc. 4. P. 550-552). Отдельного разговора требуют ситуации, когда ПДД являются лишь одним из факторов организации дорожного движения, наряду с маркой и мощностью машины, профессией находящегося за рулем и т.д.

¹² Boyer R., Orlean A. How Do Conventions Evolve? // Evolutionary Economics. 1992. № 2. P. 167-169.

¹³ Guerrien B. Op. cit. P. 65.

¹⁴ Axelrod R. The Evolution of Co-operation. London: Penguin Books 1990 P. 34, 39-46.

¹⁵ Walliser B. Theorie des jeux et genese des institutions // Recherches Economiques de Louvain. 1989. Vol. 54. № 4. P. 349-355.

¹⁶ См. лекцию № 2 о содержании понятия неполной рациональности и замену принципа оптимизации принципом удовлетворительности.

 

Тесты:

 

1. «Старые институционалисты»  применяли метод методологического  индивидуализма:

А. да;

Б. нет;

В. частично.

 

2. Составные части правила,  как разновидности нормы:

А. атрибуты + характер обязанности + цель + условия + санкции

Б. атрибуты + характер обязанности + цель + условия

В. атрибуты + характер обязанности + цель

 

3. Индустрия знаний характерна  для:

А. доиндустриального общества;

Б. индустриального общества;

В. постиндустриального общества.

 

4. Теория общественного  выбора осуществляет:

А. позитивный анализ экономики;

Б. нормативный анализ экономики;

В. структурно-функциональный анализ.

 

5. Игры в «теории игр»  бывают двух видов:

А. политические и неполитические;

Б. коммерческие и некоммерческие;

В. кооперативные и некооперативные.

 

6. Пучок прав из 11 правомочий  в Теории прав собственности:

А. по сути идентичен владению, пользованию и распоряжению, согласно Гражданского Кодекса РФ;

Б. значительно шире, чем  владение, пользование и распоряжение;

В. значительно уже, чем  владение, пользование и распоряжение.

 

7. Государственный сектор  производит особый вид продукта:

А. государственное благо;

Б. индивидуальное благо;

В. общественное благо.

 

8. Цивилизованный механизм  разрешения трудовых конфликтов, привлеченный для  разработки теории продукта некоммерческого сектора:

А. третейский суд

Б.  социальное партнерство

В.  коллективный торг

Г.  арбитражный суд

 

9. Нобелевский лауреат,  создатель теории фирмы:

А. Гэри Беккер;

Б. Василий Леонтьев;

В. Рональд Коуз.

 

10. Трансакционные издержки ex post:

А. возникают до сделки;

Б. возникают во время  сделки;

В. возникают после сделки.