Теория игр

Право регулирует поведение  людей в сложных ситуациях, ког  да в процессе их взаимодействия возникает  конфликт. Этот кон фликт можно  представить в виде математической модели, которая называется игрой. В зависимости от возможности предварительных переговоров между игроками различают кооперативные и некоопе ративные игры. Игра называется кооперативной, если до ее начала игроки образуют коалиции и договариваются о своих стратегиях. Примером кооперативной игры может служить образование коали ций в парламенте при голосовании. Мы будем иметь дело с играми, в которых игроки не могут координировать свои стратегии подоб ным образом. Действительно, если бы они могли договариваться, то необходимости в институте не возникало бы, а между тем цель нашего использования игр в Главе 1 — объяснить, почему в опреде-ленных ситуациях возникает потребность в институте.  
Игры, в которых каждый участник действует независимо от других и заинтересован в достижении наиболее благоприятного результата для себя при заданных правилах игры и существую щих ограничениях, называются некооперативными. В некоопера тивных играх даже если все участники взаимодействия выбирают такие варианты поведения, при которых достигается кооперация, они делают это только потому, что каждому из них это становится выгодным.  
Каждая игра, описывающая конфликт при взаимодействии людей, должна содержать следующие составляющие:  
множество участников взаимодействия, или игроков; игро кам можно присваивать номера или имена;  
описание возможных действий каждого из игроков, кото рые называются стратегиями;  
набор выигрышей, которые получают игроки при каждом возможном исходе.  
В теории игр предполагается, что выигрыши, которые по лучает каждый игрок, и стратегии, доступные им, известны всем игрокам, т.е. каждый игрок знает свои возможные стратегии и выигрыши и ему также известны стратегии и выигрыши другого игрока. На основе этой информации каждый игрок решает, ка кую стратегию выбрать. Цель каждого игрока — добиться макси мального выигрыша (или минимального проигрыша), т.е. каждый игрок обнаруживает признаки «человека экономического», который действует в своих собственных эгоистических интересах и макси мизирует собственное благосостояние.

Выигрыш каждого из игроков зависит от того, какую стра тегию выбрал этот игрок, а также от стратегии другого игрока. Зависимость выигрышей игроков от выбранных ими стратегий описывается матрицей выигрышей. Строки этой матрицы — это возможные стратегии первого игрока, а столбцы — возможные стратегии второго игрока. В каждой клетке матрицы располагают ся пары выигрышей, которые определяются соответствующими стратегиями игроков. Напомним, что выигрыш первого игрока зависит не только от того, какую стратегию выбрал он сам (т.е. от номера строки), но также и от того, какую стратегию выбрал вто рой игрок (т.е. от номера столбца). До того момента, когда взаи модействие действительно произойдет, игроки не знают точную величину своего выигрыша, т.е. игроки осуществляют выбор в условиях неопределенности.  
Мы будем иметь дело с играми, в которых принимают уча стие два игрока. Эти игроки на протяжении всего взаимодействия будут выбирать только один вариант поведения, в этом случае стратегия игрока называется чистой, в отличие от другой страте гии, которая называется смешанной, потому что игрок чередует ва рианты своего поведения в соответствии с определенной частотой выбора (вероятностью) каждой из стратегий.  
Математические игры часто иллюстрируются с помощью обыч ных игр, в которые играют люди. Проиллюстрируем эти понятия на примере детской игры «камень — ножницы — бумага», правила ко торой всем хорошо известны [Kreps, 1997, р. 9—36]. В эту игру обыч но играют вдвоем. Игроки — ребенок А и ребенок Б — одновременно выбирают один из трех возможных вариантов — камень, ножницы, или бумага. Это и будут возможные стратегии участников игры. В зависимости от того, какой выбор сделал каждый ребенок, игру выигрывает или ребенок А, или ребенок Б, возможна также ничья. Предположим, что в случае выигрыша ребенок получает 1, в случае проигрыша — теряет 1, а в случае ничьей — 0. Тогда эту игру можно представить в следующей форме:  
Таблица 10 Ребенок Б Камень Ножницы Бумага Ребенок А Камень 0;0 +1;-1 -1;+1 Ножницы -1;+1 0;0 +1;-1 Бумага +1;-1 -1;+1 0;0

В этой игре есть все необходимые составляющие: два игрока — ребенок А и ребенок Б, у каждого игрока есть три доступные стратегии — сказать «камень», «ножницы» или «бумага». Стратегии ребенка А представлены в строках, а стра тегии ребенка Б — в столбцах матрицы. Каждая клетка матри цы задает платежи, которые получит каждый участник при вы боре соответствующих стратегий. Первая цифра в ячейке — это выигрыш ребенка А, вторая цифра в ячейке — выигрыш ребенка Б. Например, если ребенок А выберет камень (верхняя строка), а ребенок Б — бумагу (правый столбец), то ребенок А проиграет 1, а ребенок Б — выиграет 1 (результатом игры будет пересечение верх ней строки и правого столбца).  
Игры, представленные в подобной форме, называются ма тричными играми.  
Одним из решений игры может быть нахождение равновесия по Нэшу, т.е. такого набора стратегий (по одной для каждого игро ка), при котором ни один из игроков не имеет стимула в односто роннем порядке поменять свою стратегию. Или, выражаясь более просто, можно сказать, что игроки будут находиться в равнове сии по Нэшу, если, узнав о выборе другого игрока, каждый из них остается довольным своим выбором.  
Рассмотрим следующую игру:  
Таблица 11 Б 1 2 А 1 5;5 -1;6 2 6;-1 0;0  
Равновесием по Нэшу в этой игре является пара стратегий {2;2}. Если бы игроки А и Б одновременно вместе изменили свой выбор в пользу стратегии «1», каждый из них увеличил бы свой выигрыш с 0 до 5. Однако, это вряд ли возможно в ситуации, когда они выбирают стратегию одновременно и не могут повлиять друг на друга. У каждого игрока есть стимул отклониться от стратегии «1» в одиночку, так как тем самым он может увеличить свой выи грыш с 5 до 6. И даже если бы игроки могли заранее договорить ся о том, что каждый выберет стратегию «1» в ситуации, когда не существует гарантии выполнения обязательства не отклоняться от стратегии «1», или когда нет возможности наказать провинив шуюся сторону, результат, скорее всего не изменился бы.

Определив предмет институционализма  как анализ взаимодействия индивидов  и структур, его обеспечивающих, необходимо обратиться к вопросу  о методе. Математический аппарат, традиционно  используемый экономистами (дифференциальное исчисление), вряд ли приемлем в качестве базового метода в анализе взаимодействий. Главным образом потому, что использование  этого аппарата обосновывается рядом  утверждений из «жесткого ядра»  неоклассики, с которыми соглашаются  далеко не все институцио-налисты: полной рациональностью индивидов; существованием, единственностью и Парето-оптимальностью равновесия; экзогенным характером предпочтений, описываемых ординалистской теорией  предельной полезности.

Формальные модели в институциональной  экономике строятся с помощью теории игр, развитие которой берет отсчет с момента появления книги Дж. фон Неймана и О. Моргенштерна «Теория игр и экономическое поведение» (1944). Во-первых, теория игр занимается анализом ситуаций, в которых поведение индивидов взаимообусловлено: решение каждого из них оказывает влияние на результат взаимодействия и. следовательно, на решения остальных индивидов. Решая вопрос о своих действиях, индивид вынужден ставить себя на место контрагентов. Во-вторых, теория игр не требует полной рациональности индивидов, в ней используется целый ряд моделей индивидов, от индивида как совершенного калькулятора до индивида как робота. В-третьих, теория игр не предполагает существования, единственности и Парето-оптималь-ности равновесия во взаимодействиях. Эти причины и обусловливают наш интерес к формальным моделям институтов, построенным с помощью теории игр. Обратимся к их анализу более подробно.

Первое уточнение касается кооперативных и некооперативных игр. В кооперативных играх возможны обмен информации между участниками и формирование коалиций. В некооперативных играх, о которых и пойдет в основном речь, исходным пунктом в анализе является индивидуальный участник, причем обмен информации между участниками и формирование коалиций исключены. Далее, игра может быть представлена либо в стратегической (матричной), либо в развернутой форме ¹. Например, вернемся к упомянутой в предыдущих лекциях «дилемме заключенных» (рис. 5.1).

Рис. 5.1

Первые цифры в описании результатов взаимодействия отражают полезность первого участника, вторые — второго: U₁ (признавать, при условии, что второй не признает) = 3. Напомним, что здесь речь идет о «полезности» различных сроков осуждения, которая обратно пропорциональна их величине.

5.1. Типы равновесий

В каждом взаимодействии могут существовать различные виды равновесий: равновесие доминирующих стратегий, равновесие по Нэшу, равновесие по Штакельбергу и равновесие по Парето. Доминирующей стратегией называется такой план действий, который обеспечивает участнику максимальную полезность вне зависимости от действий другого участника¹. Соответственно, равновесием доминирующих стратегий будет пересечение доминирующих стратегий обоих участников игры. Равновесие по Нэшу — ситуация, в которой стратегия каждого из игроков является лучшим ответом на действия другого  игрока.   Иными  словами,  это равновесие

обеспечивает игрока максимумом полезности в зависимости от действий другого игрока. Равновесие по Штакельбергу возникает тогда, когда существует временной лаг в принятии решений участниками игры: один из них принимает решения, уже зная, как поступил другой. Таким образом, равновесие по Штакельбергу соответствует максимуму полезности игроков в условиях неодновременности принятия ими решений. В отличие от равновесия доминирующих стратегий и равновесия по Нэшу этот вид равновесия существует всегда. Наконец, равновесие по Парето существует при условии, что нельзя увеличить полезность обоих игроков одновременно. Рассмотрим на одном из примеров технологию поиска равновесий всех четырех видов.

Доминирующая стратегия — такой план действий, который обеспечивает участнику максимальную полезность вне зависимости от действий другого участника.

Равновесие по Нэшу — ситуация, в которой ни один из игроков не может увеличить свой выигрыш в одностороннем порядке, меняя свой план действий.

Равновесие по Штакельбергу -— ситуация, когда ни один из игроков не может увеличить свой выигрыш в одностороннем порядке, а решения принимаются сначала одним игроком и становятся известными второму игроку.

Равновесие по Парето — ситуация, когда нельзя улучшить положение ни одного из игроков, не ухудшая при этом положения другого и не снижая суммарного выигрыша игроков.

Пусть фирма А  стремится нарушить монополию фирмы  Б на выпуск определенного продукта. Фирма А решает, стоит ли ей входить  на рынок, а фирма Б — стоит  ли ей снижать выпуск в том случае, если А все же решает входить². В случае неизменного выпуска на фирме Б обе фирмы в проигрыше, если же фирма Б решает снизить выпуск, то она «делится» своей прибылью с А.

•    Равновесие доминирующих стратегий. Фирма А сравнивает свой выигрыш при обоих вариантах развития событий (-3 и О, если Б решает развязать ценовую войну) и (4 и 0, если Б решает снизить выпуск). У нее нет стратегии, обеспечивающей максимальный выигрыш вне зависимости от действий Б: 0 > -3 => «не входить на рынок», если Б оставляет выпуск на прежнем уровне, 4 > 0 => «входить», если Б снижает выпуск (см. сплошные стрелки). Хотя у фирмы А нет доминирующей стратегии, у Б такая стратегия есть. Она заинтересована снижать выпуск вне зависимости от действий А (4 > —2, 10 = 10, см. пунктирные стрелки). Следовательно, равновесие доминирующих стратегий отсутствует.

•    Равновесие по Нэшу. Лучший ответ фирмы А на решение фирмы Б оставить выпуск прежним — не входить, а на решение снизить выпуск — входить. Лучший ответ фирмы Б на решение фирмы А войти на рынок — снизить выпуск, при решении не входить — обе стратегии равнозначны. Поэтому два равновесия по Нэшу (N₁, N₂) находятся в точках (4, 4) и (0, 10) — А входит, а Б снижает выпуск, или А не входит, а Б не снижает выпуск. Убедиться в этом достаточно легко, так как в этих точках никто из участников не заинтересован в изменении своей стратегии.

•    Равновесие по Штакельбергу. Предположим, первой принимает решение фирма А. Если она выбирает входить на рынок, то в конечном счете окажется в точке (4, 4): выбор фирмы Б однозначен в этой ситуации, 4 > —2. Если она решает воздержаться от входа на рынок, то итогом будут две точки (0, 10): предпочтения фирмы Б допускают оба варианта. Зная это, фирма А максимизирует свой выигрыш в точках (4, 4) и (0, 10), сравнивая 4 и 0. Предпочтения однозначны, и первое равновесие по Штакельбергу St_A будет находиться в точке (4, 4). Аналогичным образом, равновесие по Штакельбергу St_Б , когда первой принимает решение фирма Б, будет находиться в точке (0, 10).