Равновесие Курно

 

Доказательство.

Как доказано выше, при  сделанных предположениях каждый из участников в равновесии Курно будет выпускать положительное и одинаковое количество продукции:

и дифференциальную характеристику равновесия Курно можно в данном случае переписать в виде:

Решение этого уравнение  будет единственным (как доказано в теореме выше) равновесием Курно.

(i) Учитывая это соотношение, запишем дифференциальные характеристики равновесий Курно в ситуации с п+1 и п олигополистами:

 и

Используя эти соотношения, мы можем показать, что суммарное выпуск в олигополистической отрасли возрастает с ростом числа олигополистов.

Предположим, обратное: существует такое n, что . При этом из убывания обратной функции спроса следует, что

 и

Из вогнутости функции p{у)у следует, что ее производная не возрастает, т.е.

Сложив три последние  неравенства, получим

ИЛИ

Выражения в квадратных скобках представляют собой левые  части условий первого порядка для и соответственно, поэтому

Из выпуклости функции  издержек следует, что предельные издержки растут, поэтому данное неравенство может быть выполнено только если

но это противоречит исходному предположению о том, что . Таким образом, мы доказали, что последовательность объемов производства возрастает по n (Величина представляет собой монопольный выпуск, т.е. . Из доказанного следует, что при всех .).

Чтобы доказать, что  достаточно доказать, что , поскольку, согласно одной из доказанных выше теорем .

Воспользовавшись дифференциальной характеристикой конкурентного равновесия, возрастанием предельных издержек и определением величины Y , запишем

Поскольку, по предположению, обратно л функция спроса убывает, это означает, что .

(ii) Мы хотим доказать, что является убывающей последовательностью. Поскольку р(у)у — вогнутая функция, то она лежит под своей касательной. Поэтому

или

Поскольку суммарный  выпуск положителен, то это неравенство можно переписать в виде

(*)

Пусть доказываемое неверно  и для какого-то n выполнено

т.е.

Из (*) и последнего неравенства следует в силу того, что , что

поскольку .

Так как  то из убывания обратной функции спроса при следует, что

Из вогнутости функции р(у)у следует, что ее производная не возрастает, т.е. при , выполнено

Складывая три последние  неравенства, получим, что

Приводя подобные и разделив на п+1, получим

Учитывая дифференциальные характеристики равновесия Курно, это означает, что

Из выпуклости функции  издержек получаем требуемое

Далее, убывание выпуска  отдельного участника до нуля, т.е.

следует из того, что суммарный выпуск ограничен сверху величиной .

(iii) Так как спрос убывает, то при

Это неравенство можно  переписать в виде

С другой стороны, функция  издержек, как выпуклая функция, должна лежать выше своей касательной, поэтому

Комбинируя два неравенства, получим, что

где мы обозначили через  прибыль отдельного участника в отрасли с n фирмами в точке равновесия Курно

Из условий первого  порядка

Поскольку , то

(iv) Запишем еще раз дифференциальную характеристику равновесия Курно:

Здесь лежит в интервале [0, Y°]. Так как производная обратной функции спроса непрерывна, то первый сомножитель во втором слагаемом — величина ограниченная, на этом интервале она достигает своего максимального значения. Делая оценки, мы можем первый сомножитель заменить его максимальным значением. Второй сомножитель представляет собой величину, которая убывает до нуля при . Поэтому

 

Так как  стремится к нулю, то в силу непрерывной дифференцируемости функции издержек

Таким образом, . Вспоминая, что , получим из непрерывности и убывания обратной функции спроса, что .

Поскольку конкурентный объем производства, , лежит между и , то он стремится к тому же пределу:

Уменьшение монопольной  власти при росте числа конкурентов — что довольно реалистическая, согласующаяся с нашим представлением о монопольной власти картина. Когда производителей много, то каждый из них оказывает малое влияние на рынок, на цену, по которой может продаваться продукция, и поэтому сама модель Курно как модель, описывающая феномен несовершенной конкуренции, оказывается привлекательной.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3. Равновесие и благосостояние

 

 

Рассмотрим олигопольную отрасль, характеристики которой удовлетворяют условиям Теоремы 5, в том числе, все фирмы имеют одинаковую функцию издержек . Как было доказано в Теореме 5, в такой отрасли существует симметричное равновесие Курно, причем объем производства положителен:

Проанализируем это  равновесие с точки зрения благосостояния общества.

Предположим, что спрос  на продукцию олигополистов в  модели Курно получается как результат выбора репрезентативного потребителя с квазилинейной функцией полезности: u(x,z) = v(x) + z.

Напомню, что в этом случае для положительных x выполнено соотношение (при отсутствии ограничений на знак z или достаточно больших доходах потребителя)

Индикатор благосостояния имеет вид

,

а ее производная равна

В равновесии Курно

,

откуда видна его  неоптимальность с точки зрения благосостояния:

.

Отсюда следует, что  если немного увеличить суммарный выпуск по сравнению с , то благосостояние общества возрастет. Рассмотрим функцию

Ее можно проинтерпретировать, как взвешенное среднее совокупной прибыли и индикатора благосостояния. Покажем, что равновесный объем продаж олигополистического рынка в модели Курно максимизирует данную функцию. Производная этой функции равна

 

Как мы видели, в равновесии Курно  данная величина равна нулю. Если предположить, как и ранее, вогнутость функции , убывание функции спроса и выпуклость издержек, то производная функции убывает по Y, поэтому строго вогнута по Y, откуда следует, что в точке Y* достигается ее (единственный) максимум.

При доля первого слагаемого в функции стремиться к нулю, а доля второго слагаемого — к единице, так что функция все больше сближается с индикатором благосостояния. Этим определяется тот факт, что при большом количестве фирм равновесие Курно становится похожим на конкурентное равновесие, в котором, как мы знаем, при некоторых условиях индикатор благосостояния достигает максимума.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4. Модель и количество фирм в отрасли

 

 

Выше, рассматривая поведение выпуска как олигополистического рынка в целом, так и отдельных олигополистов, мы касались вопроса положительности прибыли, и по этой причине анализ поведения этих характеристик нельзя считать вполне удовлетворительным. Возможно, он приемлем для краткосрочной перспективы, но в долгосрочной перспективе анализ должен быть пересмотрен. Любой олигополист сталкивающийся с отрицательной прибылью на некотором рынке при оптимальном поведении вероятнее всего будет рассматривать вопрос об уходе с этого рынка. Аналогично, любой потенциальный производитель решающий вопрос о входе в олигополистическую отрасль, оценивает возможность получения им положительной (неотрицательной) прибыли в случае его входа в отрасль. Эти вопросы имеют одну и ту же природу и в простейшей модели, рассматриваемой далее, тесно связаны с величиной постоянных (фиксированных) издержек и количеством фирм уже вошедших и действующих в отрасли.

Рассмотрим олигопольную отрасль, в которой у всех олигополистов одинаковые функции издержек. Будем предполагать, что выполнены все условия Теоремы 6. Удобно представить издержки каждой фирмы как сумму постоянных издержек, , и переменных издержек, , где :

Пусть максимизирует прибыль монополиста. Мы должны предположить, что постоянные издержки таковы, что монополист действуя на этом рынке, получит неотрицательную прибыль

Другими словами, постоянные издержки должны быть не слишком высоки: они не должны превышать прибыль монополиста без учета постоянных издержек:

где . (Если это условие не выполнено, то рынок не может существовать, то есть не найдется производителей, желающих производить продукцию на этом рынке.)

Через будем, как и ранее, обозначать прибыль, получаемую отдельной фирмой в отрасли, состоящей из n фирм, а через — прибыль без учета постоянных издержек. При этом — прибыль монополии без учета постоянных издержек.

Как мы доказали ранее, (а, следовательно, и ) представляет собой убывающую последовательность. При сделанных ранее предположениях прибыль положительна (в том числе, ) и при увеличении п стремится к .

Из убывания и стремления к нулю очевидно, что при  , существует единственное целое количество фирм в отрасли такое, что

или

Отмечу, что это число единственно в силу строгого убывания прибыли при росте числа олигополистов. Таким образом, для каждого f из промежутка определена функция n(f). Эта функция сопоставляет каждому значению постоянных издержек максимально возможное число фирм, при котором каждая из них получает неотрицательную прибыль.

Докажем, что эта функция не возрастает по f и не ограничена сверху. Пусть . Тогда по определению функции n(f) мы имеем, что

,

т.е.

из убывания прибыли  по n мы имеем, что ) или . Heограниченность сверху следует из того факта, что . Сопоставляя эти два свойства функции , получим, что

Таким образом, чем меньше постоянные издержки, тем больше фирм может войти в отрасль, и в пределе функционирование отрасли все более приближается к ситуации совершенной конкуренции (в силу Теоремы 6).

Представим количество олигополистов на рынке как функцию от постоянных издержек. Естественно также рассмотреть вопрос об оптимальном с точки зрения общества числе олигополистрв. Это число должно максимизировать совокупный излишек!

Пусть п — оптимальное с точки зрения благосостояния количество фирм в олигополистической отрасли.

Следующие рассуждения  показывают, что  . По определению мы имеем, что , или

или

Прибавив к обеим  частям , получим

Так как обратная функция  спроса убывает, то

Таким образом, имеем

В силу выпуклости функции издержек имеем, что

Воспользовавшись этим неравенством, получим

Из условий первого  порядка

Таким образом мы получили, что  .

Пусть, как и выше, n(f) — количество фирм в отрасли при постоянных издержках /. По определению .

Таким образом, . В силу строгого убывания прибыли по числу фирм, имеем или

Это означает, что число  фирм в отрасли, n(f), не может быть меньше оптимального числа фирм, п, более чем на 1 фирму.