Равновесие Курно

причем неравенство заменяется на равенство, если суммарный выпуск положителен.

Если  , то в равновесии Курно суммарный выпуск не может быть нулевым, поскольку, подставляя в условия первого порядка, получаем

Существование и единственность равновесия

Таким образом, при  , выпуск общий положителен и условия первого порядка имеют вид

Заметим, что существование корня этого уравнения можно гарантировать, если выполнены условия С₁-С₃ и, кроме того, функция непрерывно дифференцируема, поскольку в этих условиях непрерывная функция принимает значения разных знаков на концах интервала .

Если дополнительно  потребовать, чтобы функция  была вогнута по у при любом у'>0, то можно утверждать, что — равновесие Курно (выполнено условие второго порядка).

Заметим при этом, что поскольку при сделанном предположении функция вогнута, то равновесие Курно единственно, поскольку условие первого порядка выполнено в одной точке.

Действительно, функцию  можно представить в виде

Первое слагаемое здесь  не возрастает, а второе убывает  при  , поэтому функция убывает и может быть равной нулю не более чем в одной точке.

В точке Y=0 (в которой условие первого порядка может не выполняться как равенство) равновесия быть не может, поскольку, как мы предположили,

Сравнение равновесия Курно с равновесиями при монополии и совершенной конкуренции

Следует отметить три  характеристики равновесия Курно:

1. Объем выпуска в равновесии Курно выше, чем объем выпуска при монополии (или картеле, когда производители выбирают выпуск, максимизирующий суммарную прибыль).

2. Объем выпуска в равновесии по Курно ниже, чем объем выпуска в условиях совершенной конкуренции (ситуации, когда производители рассматривают цены как данные).

3. При росте числа участников объем выпуска в равновесии Курно приближается к равновесию при совершенной конкуренции.

 

 

Теорема 1.

Пусть — равновесие Курно, и — равновесие при совершенной конкуренции, у — равновесие при монополии. Предположим, что выполнены условия C₁ — C₃. Тогда

 

Доказательство.

Как было показано выше, равновесие Курно удовлетворяет условию

Как было доказано выполнение С₁-С₃ гарантирует, что , поэтому удовлетворяет условию первого порядка

С другой стороны, при  совершенной конкуренции, как известно, цена равна предельным издержкам:

Вычитая из третьего соотношения  первое, получим:

Поскольку правая часть  соотношения отрицательна, а функция  убывает, то

Предположим, что  . Тогда увеличение выпуска одного из производителей (например, первого) на величину приводит к росту суммарной прибыли (до монопольно высокой). Поскольку при этом прибыль остальных производителей может только уменьшиться, прибыль первого возрастает, что противоречит предположению о том, что Y* — совокупный выпуск в равновесии Курно.

Рост выпуска с ростом числа участников

 

Теорема 2

Предположим, что выполнены  условия С₁-С₃ и, кроме того, функция непрерывно дифференцируема. Пусть — суммарный выпуск в равновесие Курно с п участниками. Тогда

 

Доказательство.

Для любого выполняются соотношения (условия первого порядка):

Предыдущая теорема  гарантирует ограниченность последовательности . Так как функция непрерывно дифференцируема, то из этого следует ограниченность . Отсюда:

Следовательно,

2.2. Свойства в случае функций издержек общего вида

 

Вышеприведенные результаты получены при достаточно сильном  предположении о функции издержек. Ниже будут приведены естественные обобщения полученных результатов при отказе от этого предположения.

Существование равновесия

Прежде обсудим условия  на функции издержек и функции  спроса, при которых равновесие Курно существует.

 

Теорема 3

Предположим, что в модели Курно  выполнены следующие условия:

1) функции издержек  дифференцируемы при всех возможных объемах выпуска (неотрицательных у),

2) обратная функция спроса р(у) непрерывна и убывает при всех неотрицательных у,

3) функция  вогнута по у при любом ,

4) функции издержек выпуклы (функции предельных издержек не убывают),

5) существуют  j=1,…,n такие, что при

Тогда равновесие Курно существует, причем (Условия данной теоремы гарантируют нам существование равновесия Нэша-Курно в чистых стратегиях.)

 

Доказательство.

Предположим, что при любых (разумных) ожиданиях относительно выпуска конкурентов ни одному из производителей не выгодно выбирать объем производства, превышающий объем . Тем самым, выбор каждого участника может быть ограничен компактным множеством. При доказательстве удобно учитывать, что для каждой фирмы j суммарный выпуск других фирм есть константа, поэтому задача максимизации прибыли по сводится к максимизации прибыли по Y при ограничении .

 

Сам факт существования равновесия, хоть и повышает доверие к модели Курно, но мало полезен для анализа олигополистического рынка. Без информации, характеризующей равновесие, модель Курно, как и любая модель, оказывалась бы мало пригодной. Следующие далее утверждения позволяют сравнить равновесие Курно с монопольным равновесием и равновесием в ситуации совершенной конкуренции.

Сравнение c равновесием при совершенной конкуренции

Нижеследующие результаты дают сравнительную характеристику объемов производства в отрасли при разных типах ее организации.

 

Теорема 4

(i) Предположим, что равновесие Курно, , и равновесие при совершенной конкуренции, , существуют, и обратная функция спроса р(у) убывает.

Тогда суммарный выпуск в равновесии Курно, не превышает суммарный выпуск в условиях совершенной конкуренции,

(ii) Если, кроме того, выполнены следующие условия:

- ,

- обратная функция  спроса, p(y), и функции издержек, дифференцируемы при всех неотрицательных y, причем

- функции издержек, , выпуклы, то меньше .

 

Доказательство.

(i) Поскольку выпуск максимизирует прибыль j-ого производителя в предположении что суммарный объем производства остальных равен , то должно выполняться неравенство:

С другой стороны, дает j-му производителю максимум прибыли в предположении, что цена неизменна и равна , поэтому:

Если сложить эти  два неравенства, то получается

 (*)

Предположим, что существует такая фирма j, которая в равновесии Курно производила бы больше, чем в конкурентном равновесии: .

При убывающей функции  спроса из этого неравенства следует что

Поскольку , то из этого следует, что

Сложив это неравенство  с неравенством (*), получим:

или

Поскольку мы предположили, что  , то .

В силу убывания функции  спроса это означает, что

С другой стороны, пусть  наше предположение неверно, и для  всех фирм выполнено  Суммируя по j, получаем, что .

(ii) Докажем, использовав дополнительные условия, что неравенство здесь строгое. Предположим, что это не так, и суммарные выпуски совпадают, т.е. .

Может быть только два  случая: либо для всех j=1,…,n, либо для некоторого j. И в том и в другом случае существует производитель j, для которого и

Для этого производителя  дифференциальная характеристика равновесия Курно имеет вид:

Из выпуклости функции  издержек следует, что 

Таким образом

С учетом того, что , имеем , откуда

,

что противоречит убыванию функции спроса. Таким образом .

Симметричность равновесия, положительность  выпусков и единственность

В частном случае, когда издержки у всех производителей одинаковы, т.е. , можно доказать, что в равновесии выпуски всех производителей одинаковы (равновесие будет симметричным), и положительны. Кроме того, в предположении одинаковости издержек несложно доказать единственность равновесия.

 

Теорема 5

Предположим, что равновесие Курно  существует и выполнены следующие условия:

1) издержки у всех  производителей одинаковы,  , причем с(у) — выпуклая функция;

2) обратная функция спроса, р(у), и функция издержек, с(у), дифференцируемы;

3)

4) р(у) убывает.

Тогда верно следующее:

(i) Равновесие симметрично:

и каждая фирма выпускает в равновесии положительное количество продукции, т.е.

.

(ii) Если, кроме того, функция р(у)у вогнута, то равновесие единственно.

 

Доказательство.

(i) Покажем, что если функции издержек одинаковы, то каждый производитель в равновесии Курно выпускает одинаковое количество продукции. Действительно, предположим, что существуют производители j и k, такие что . Тогда из условий первого порядка следует, что

Но левая часть данного  соотношения положительна, а правая — неположительная. Таким образом, выпуски всех производителей совпадают:

Суммарный выпуск отрасли,

не может быть равным нулю. В противном случае из условия первого порядка любого из участников следует, что , а это противоречит условию теоремы. Таким образом, .

(ii) Дифференциальную характеристику равновесия Курно можно в данном случае переписать в виде

или

Из вогнутости функции р(у)у следует, что ее производная не возрастает. Аналогичным образом, из выпуклости функции с(у) следует неубывание предельных издержек. Учитывая убывание обратной функции спроса р(у), получаем, что выражение в левой части дифференциальной характеристики убывает. Отсюда следует единственность объема , удовлетворяющего данному уравнению.

Поведение равновесия при росте количества фирм

Можно встретить неформальное утверждение о том, что если в отрасли достаточно много примерно одинаковых предприятий, так что доля отдельного предприятия в общем выпуске отрасли мала, то каждое предприятие можно рассматривать как не обладающего рыночной властью (принимающего цены как данные), и ситуация в отрасли может быть довольно точно описана моделью совершенной конкуренции. Смысл утверждения состоит в том, что с ростом количества участников олигополии отрасль в некотором смысле все более приближается к конкурентной.

Докажем вариант этого утверждения и частном случае, когда в модели Курно издержки у всех производителей одинаковы, т.е. .

 

 

 

Теорема 6

Предположим, что равновесие Курно, и равновесие при совершенной конкуренции, , существуют при любом , и выполнены следующие условия:

1) , причем с(у) — выпуклая функция;

2) обратная функция спроса р(у) строго убывает, а функция р{у)у вогнута (Эта величина равна суммарной выручке предприятий отрасли от продажи продукции в объеме у);

3) обратная функция  спроса, р(у), и функция издержек, с(у), непрерывно дифференцируемы при всех неотрицательных у,

4) и существует величина такая, что .

Тогда

(i) суммарный выпуск в равновесии Курно с п участниками, , растет с ростом п и меньше величины ;

(ii) выпуск отдельного участника, , падает с ростом п, причем

(iii) прибыль отдельного участника, дает с ростом п;

(iv) , где — суммарный выпуск тех же предприятий в условиях совершенной конкуренции.