Принципы оптимизации поведения фирмы в условиях олигополии

Приравняв предельный доход к предельным издержкам, которые в данном случае равны нулю, получаем уравнение:

a — by1 — 2by2 = 0,

которое можно решить, выведя при этом кривую реакции фирмы 2:

Эта кривая реакции есть прямая линия, изображенная на рис. 4.

Задача лидера

Только что мы рассмотрели, каким образом будет выбирать свой выпуск ведомый при заданном выборе лидера. Обратимся теперь к задаче максимизации прибыли лидера.

Предположительно, лидер также осознает, что его действия оказывают влияние на выбор объема выпуска ведомым. Эта взаимосвязь в краткой форме выражена функцией реакции f2(y1). Следовательно, выбирая свой объем выпуска, лидер должен признавать влияние, оказываемое им на ведомого.

Задача максимизации прибыли лидером, поэтому принимает вид:

 max p(y1 + y2)y1 — c1(y1)

                               y1

        при    y2 = f2(y1)Ошибка! Не указан аргумент ключа..

Подстановка второго уравнения в первое дает:

 max p[y1 + f2(y1)]y1 — c1(y1)

                              y1

Обратим внимание на то, что лидер осознает, что при выборе объема выпуска y1 производимый выпуск составит y1 + f2(y1): его собственный выпуск плюс выпуск, производимый ведомым.

Намереваясь изменить объем своего выпуска, лидер должен осознавать влияние, оказываемое им на ведомого. Рассмотрим это применительно к описанной выше линейной кривой спроса. Как мы видели выше, кривая реакции в этом случае задается уравнением:

.                       (1)

Поскольку мы предположили, что предельные издержки равны нулю, прибыль лидера есть:

                     p1(y1, y2) = p(y1 + y2)y1 = ay1 — — by1y2                  (2)

Но выпуск ведомого y2 будет зависеть от выбора лидера в соответствии с функцией реакции y2 = f2(y1). Подставив выражение для y2 из уравнения (1) в уравнение (2), получаем:

p1(y1, y2) = ay1 — — by1 f2(y1) = ay1 — — by1 .

Упростив это выражение, имеем:

p1(y1, y2) =

y1 — .

Предельный доход для этой функции есть:

 

— by1.

Приравняв его к предельным издержкам, которые в этом примере равны нулю, и найдя из полученного уравнения y1, получим:

.

Чтобы найти выпуск ведомого, просто подставляем в функцию реакции:

 

.

Эти два уравнения дают общий отраслевой выпуск + = 3a/4b.

Решение по Стэкельбергу можно также проиллюстрировать графически с помощью изопрофитных кривых, представленных на рис.5. (Этот рисунок иллюстрирует также равновесие по Курно). Здесь изображены кривые реакции для обеих фирм и изопрофитные кривые для фирмы 1. Изопрофитные кривые для фирмы 1 имеют ту же общую форму, что и изопрофитные кривые для фирмы 2; они просто повернуты на 90°. Более высокая прибыль для фирмы 1 связывается с более низкими изопрофитными кривыми, так как прибыль фирмы 1 будет расти по мере уменьшения выпуска фирмы 2.

                                                       Рис.5

 

Равновесие по Стэкельбергу. Фирма 1, лидер, выбирает ту точку на кривой реакции фирмы 2, в которой эта кривая касается самой низкой изопрофитной линии фирмы 1 из возможных, тем самым обеспечивая фирме 1 самую высокую прибыль из возможных.

Фирма 2 ведет себя как ведомый, а это означает, что она будет выбирать выпуск, перемещаясь вдоль своей кривой реакции, f2(y1). Следовательно, фирма 1 хочет выбрать такую комбинацию выпуска на кривой реакции, которая дает ей наивысшую возможную прибыль. Но получение наивысшей возможной прибыли означает выбор такой точки на кривой реакции, в которой эта кривая касается самой низкой изопрофитной линии, как показано на рис.5. Что кривая реакции должна быть касательной к изопрофитной линии в данной точке — следует из обычной логики максимизации.

2.2. Лидерство в ценообразовании

      Вместо того чтобы устанавливать объем выпуска, лидер может устанавливать цену. Чтобы принять разумное решение в отношении того, как установить цену, лидер должен прогнозировать поведение ведомого. Соответственно мы вначале исследуем задачу максимизации прибыли, стоящую перед ведомым.

Первое, что мы замечаем — это то, что в равновесии ведомый должен всегда устанавливать ту же самую цену, что и лидер. Это следует из принятой нами предпосылки, что обе фирмы продают одинаковые продукты. Если бы одна из фирм запросила цену, отличную от цены другой фирмы, все потребители предпочли бы производителя с более низкой ценой, и мы не могли бы получить равновесие, в котором производили бы обе фирмы.

Допустим, что лидер установил цену p. Будем предполагать, что ведомый принимает эту цену заданной и выбирает исходя из этого объем выпуска, максимизирующий его прибыль.

Ведомый хочет максимизировать прибыль:

max py2 — c2(y2).

                                           y2

Это ведет к уже известному условию, состоящему в том, что ведомый захочет выбрать объем выпуска в точке, где цена равна предельным издержкам. Это определяет кривую предложения для ведомого S(p), которая проиллюстрирована рис.6.

Обратимся теперь к задаче, стоящей перед лидером. Лидер понимает, что если он установит цену p, ведомый предложит рынку S(p). Это означает, что объем выпуска, продаваемый лидером, составит:

R(p) = D(p) — S(p).

Эта кривая называется кривой остаточного спроса для лидера.

Предположим, что лидер имеет постоянные предельные издержки производства c. Тогда прибыль, которую он получит при любой цене p, задается выражением:

p1(p) = (p — c)[D(p) — D(p)] = (p —c)R(p).

Чтобы максимизировать прибыль, лидер стремится выбрать комбинацию цены и выпуска, соответствующую точке, в которой предельный доход равен предельным издержкам. Однако кривая предельного дохода должна быть кривой предельного дохода для кривой остаточного спроса, фактически показывающей, сколько выпуска может продать лидер при каждой данной цене. На рис.6. кривая остаточного спроса линейна; поэтому соответствующая ей кривая предельного дохода будет иметь ту же самую точку пересечения с вертикальной осью и вдвое больший наклон.

                                      Рис. 6

 

Ценовой лидер. Кривая спроса для лидера есть кривая рыночного спроса минус кривая  предложения  ведомого. Лидер приравнивает предельный  доход к предельным издержкам, чтобы найти оптимальный объем предложения, . Общий объем выпуска, предлагаемый  рынку, есть  , а равновесная цена — p*.

Сравним лидерства в ценообразовании и лидерства по объем выпуска.

Мы видели, как рассчитать равновесную цену и равновесный объем выпуска в случае лидерства по объему выпуска и лидерства в ценообразовании. Каждая из моделей дает другую комбинацию равновесной цены и равновесного объема выпуска; каждая из моделей подходит для других обстоятельств.

Установление объема выпуска можно представить как выбор фирмой размеров производственных мощностей. Устанавливая объем выпуска, фирма фактически определяет, сколько продукта она может поставить рынку. Если одна из фирм может первой произвести инвестиции в производственные мощности, то она естественным образом включается в модель как лидер по объему выпуска.

С другой стороны, предположим, что перед нами рынок, для которого выбор производственных мощностей не имеет значения, но одна из фирм распространяет каталог цен. Естественно считать эту фирму устанавливающей цены.

Ее конкуренты могут считать объявленную в каталоге цену заданной и принимать соответствующие решения в отношении собственной стратегии цен и предложения продукта.

Ответ на вопрос, какую из двух моделей — лидерства в ценообразования или лидерства по объему выпуска — следует применить, нельзя дать на основе чистой теории. Чтобы выбрать наиболее подходящую для конкретного случая модель, надо посмотреть, каким образом фирмы фактически принимают решения в области цен и объемов выпуска.

2.3.  Одновременное установление объемов выпуска (модель Курно)

Одна из трудностей, связанных с моделью «лидер — ведомый «, состоит в том, что эта модель с необходимостью является асимметричной: одна из фирм может принять решение до того, как это сделает другая. В некоторых ситуациях это необоснованно. Предположим, например, что две фирмы одновременно пытаются решить, какой объем выпуска производить. В этом случае чтобы принять разумное решение, каждая из фирм должна предвидеть, каков будет выпуск другой фирмы. Мы рассмотрим модель для одного периода, в которой каждая из двух фирм должна составить прогноз в отношении выбора объема выпуска другой фирмой. При наличии такого прогноза каждая фирма затем выбирает для себя объем выпуска, максимизирующий прибыль. Затем мы ищем равновесия в прогнозах — ситуации, в которой мнение каждой фирмы относительно предполагаемого поведения другой подтверждается. Эта модель известна как модель Курно, названная в честь французского математика XIX в., первым исследовавшего ее значение.

Начнем с предположения о том, что согласно ожиданиям фирмы 1 фирма 2 произведет единиц выпуска. (Буква e обозначает ожидаемый выпуск). Если фирма 1 решит произвести y1 единиц выпуска, то согласно ее ожиданиям общий произведенный объем выпуска составит Y = y1 + и будет продан по рыночной цене p(Y) = p(y1 + ). Задача максимизации прибыли для фирмы 1 тогда принимает вид:

 max p(y1 +

)y1 — c(y1).

                                      Y1

При любом данном мнении относительно объема выпуска фирмы 2, для фирмы 1 будет существовать некий оптимальный выбор объема выпуска y1. Запишем эту функциональную взаимосвязь между ожидаемым выпуском фирмы 2 и оптимальным выпуском фирмы 1 как:

y1 = f2(

).

Данная функция есть просто функция реакции, исследованная ранее. В нашей первоначальной трактовке функция реакции показывала выпуск ведомого как функцию от выбора объема выпуска лидером. В рассматриваемом случае функция реакции показывает оптимальный выбор одной фирмы как функцию ее ожиданий в отношении выбора другой фирмы. Хотя интерпретация функции реакции в двух этих случаях и различна, ее математическое определение совершенно одинаково. Подобным же образом можно вывести кривую реакции фирмы 2:

y2 = f2(

),

показывающую оптимальный выбор объема выпуска фирмы 2 при данных ожиданиях в отношении объема выпуска фирмы 1.

Вспомним теперь, что каждая из фирм выбирает свой объем выпуска, предполагая, что выпуск другой фирмы будет равен соответственно или . Для произвольных значений и это произойти не может вообще говоря, оптимальный объем выпуска y1 фирмы 1, будет отличаться от ожидаемого фирмой 2 объема выпуска фирмы 1.

Поищем такую комбинацию объемов выпуска ( , ), чтобы при предположении о том, что фирма 2 производит , оптимальный объем выпуска для фирмы 1 составил , а оптимальный объем выпуска для фирмы 2 при предположении, что фирма 1 по-прежнему производит , составил . Другими словами, выбор объемов выпуска ( , ) удовлетворяет уравнениям:

 

= f1( )

 

= f2( ).

 

Такая комбинация объемов выпуска известна как равновесие по Курно. В равновесии по Курно каждая из фирм максимизирует свою прибыль при данных ожиданиях относительно выбора объема выпуска другой фирмой, и, более того, эти ожидания в равновесии сбываются: каждая фирма в оптимуме решает производить именно тот объем выпуска, производства которого ожидает от нее другая фирма. В равновесии по Курно ни одна из фирм не сочтет для себя выгодным изменить объем выпуска, как только обнаружит, каков выбор, фактически сделанный другой фирмой.

Пример равновесия по Курно приведен на рис.5. Равновесие по Курно — это просто пара объемов выпуска, при которых пересекаются две кривые реакции. В такой точке каждая фирма производит объем выпуска, максимизирующий ее прибыль при заданном выборе объема выпуска другой фирмы.

Пример равновесия по Курно: вспомним случай линейной функции спроса и нулевых предельных издержек, исследовавшийся нами ранее. Как мы видели, тогда функция реакции для фирмы 2 принимает вид:

.

Поскольку в этом примере фирма 1 ничем не отличается от фирмы 2, ее функция реакции имеет тот же вид:

.

Эта пара кривых реакции изображена на рис.6. Пересечение двух указанных линий дает равновесие по Курно. В этой точке выбор каждой фирмы есть выбор, максимизирующий ее прибыль при данных ожиданиях в отношении поведения другой фирмы, и справедливость ожиданий каждой фирмы в отношении поведения другой подтверждается ее фактическим поведением.

                               Рис. 6

 

Равновесие по Курно. Каждая из фирм максимизирует свою прибыль при данных ожиданиях в отношении выбора объема выпуска другой фирмой. Равновесие по Курно имеет место в точке ( , ), в которой две кривые реакции пересекаются.

Чтобы получить алгебраическое решение для равновесия по Курно, ищем точку (y1, y2), в которой каждая фирма поступает в соответствии с тем, чего от нее ожидает другая фирма. Мы устанавливаем y1 = и y2 = , что дает два следующих уравнения с двумя неизвестными:

 

, .

 

В данном примере обе фирмы одинаковы, поэтому каждая из них в равновесии будет производить один и тот же объем выпуска. Следовательно, можно подставить y1 = y2 в одно из приведенных выше уравнений, получив при этом

.

Решив уравнение для , получаем

 

.

 

Так как обе фирмы одинаковы, это означает также, что

 

 

и что общий выпуск отрасли есть

 

.

 

 

Установление равновесия

Мы можем воспользоваться рис.6, чтобы описать процесс установления равновесия. Предположим, что в момент времени t фирмы производят объемы выпуска ( ), которые не обязательно являются равновесными. Если фирма 1 ожидает, что фирма 2 собирается продолжать производить выпуск , то в следующем периоде фирма 1 захочет выбрать объем выпуска, максимизирующий ее прибыль с учетом данного ожидания, а именно, . Следовательно, выбор фирмы 1 в период t + 1 будет задан уравнением: