Наращение и дисконтирование

Найдем доходность всего  портфеля dp. С одной стороны, через год капитал портфеля будет равен 1+ dp, с другой -  стоимость бумаг i-го вида увеличиться с х до xi + di*xi, так что суммарная стоимость портфеля будет равна Sxi + Sxi*di = 1 + Sxi*di. Приравнивая оба выражения для стоимости портфеля, получаем dp = Sxi*di.

Итак, задача увеличения капитала портфеля эквивалентна аналогичной  задаче о доходности портфеля, выраженной через доходности бумаг и их доли.

Как правило, доходность бумаг колеблется во времени, так  что будем считать ее случайной величиной. Пусть mi,si – средняя ожидаемая доходность и среднее квадратическое отклонение (СКО) этой случайной доходности, т.е. mi=M[di] -  математическое ожидание доходности и ri=ÖVii, где Vii – вариация или дисперсия i-ой доходности. Будем называть mi, ri соответственно эффективностью и риском i-ой ценной бумаги. Через Vij обозначим ковариацию  доходностей  ценных бумаг i-го и j-го вида (или корреляционный момент Kij).

Так как доходность составляющих портфель ценных бумаг случайна, то и доходность портфеля есть также случайная величина. Математическте ожидание доходности  портфеля есть M[dp]=x1*M[d1]+…+xn*M[dn]=Sxi*mi  обозначим его через mp. Дисперсия доходности портфеля есть D[dp]=SSxi*xj*Vij. Так же, как и для ценных бумаг, назовем mp эффективностью портфеля, а величину sp=ÖD[dp] – риском портфеля rp. Обычно дисперсия доходности портфеля называется его вариацией Vp.

Итак, эффективность и  риск портфеля выражены через эффективности  составляющих его ценных бумаг и  их совместные ковариации.

2.2 Портфель Марковица минимального риска.

Существует несколько  вариантов задач оптимизации  рискового портфеля. Мы рассмотрим только одну. Это так называемый «портфель Марковица». Эта задача была сформулирована и решена американским экономистом Г. Марковицем (H. Markovitz) в 1952 году , за что позднее он получил нобелевскую премию.

Пусть имеются n видов  ценных бумаг, из которых инвестор хочет  сформировать портфель. Необходимо найти xi, минимизирующие вариацию портфеля

Vp=SS xi*xj*Vij

при условии, что обеспечивается заданное значение эффективности портфеля mp, т.е. Sxi*mi=mp.

Поскольку xi – доли, то в сумме они должны составлять единицу: Sxi=1.

Оставив за инвестором выбор  средней эффективности портфеля и помогая ему минимизировать в этом случае неопределенность, получаем следующую задачу по оптимизации портфеля ценных бумаг:

 

min SS xi*xj*Vij

Sxi=1

Smi*xi=mp

xi≥0,…,xn≥0

 

Это задача квадратичного  программирования. Опустив условия  неотрицательности переменных, получаем собственно задачу Марковица.

 

2.3 Решение.

С помощью функции Лагранжа сведем задачу на условный экстремум к задаче на безусловный экстремум:

 

L(x1,…,xn,m,l)= SS Vij*xi*xj - l*(Smi –1) - m*(Smi*xi – mp),

 

¶L/¶xs=2*SVis*xi - l - m*ms=0,  s=1,…,n. (*)

 

производные по l, m воспроизводят указанные выше два соотношения, тем самым для (n+2) переменных x1,…,xn, l, m получаем (n+2) уравнения.

 

Запишем полученные уравнения  в матричной форме, используя  следующие обозначения:

            1        x1  m1

e= .    x= . m= . x¢=(x1,…,xn),    m¢=(m1,…,mn)

             .           .  .

          1          xn  mn

 

Штрих применяется для обозначения  операции транспонирования матрицы.

B- матрица ковариаций, B-1 – обратная  ей матрица. Следовательно уравнения  (*) примут вид:

B*x = (l/2)*e + (m/2)*m,

e¢*x = 1,

m¢*x = mp.

Основное допущение  этой модели состоит в том, что  между эффективностями m1,…,mn нет  линейной связи, поэтому ковариационная матрица B невырождена (|B|<>0), следовательно, существует обратная матрица В-1. Используя  этот факт разрешим в матричной форме  относительно х:

х = (l/2)*В-1*е + (m/2)* В-1*m,                                 (**)

 

подставив это решение  в первое и второе условия, получим  два уравнения для определения l/2 и m/2:

(е¢*В-1*е)*l/2 + (е¢*В-1*m)*m/2 =1

(m¢*B-1*e)*l/2 + (m¢*В-1*m)*m/2 =mp.

 

Решая два последних уравнения по правилу Крамера, находим

l/2 = ((m¢*В-1*m)-mp*(е¢*В-1*m))/((е¢*В-1*е)*(m¢*В-1*m)-(m¢*B-1*e)2)

m/2 =  (mp*(е¢*В-1*е)-(m¢*B-1*e))/((е¢*В-1*е)*(m¢*В-1*m)-(m¢*B-1*e)2)

 

Подставляя это решение  в (**) получаем следующую структуру оптимального портфеля:

 

       [(m¢*В-1*m)-mp*(е¢*В-1*m)]*В-1*е + [mp*(е¢*В-1*е) -(m¢*B-1*e)]*В-1*m

x* =                          (е¢*В-1*е)*(m¢*В-1*m) - (m¢*B-1*e)2

 

Простой подстановкой убеждаемся, что  е¢*х*=1 и m¢*х*=mp.

Кроме того, находим минимальную дисперсию, соответствующую оптимальной структуре:

 

                     [m2p*(е¢*В-1*е) – 2*mp*(m¢*B-1*e) + (m¢*В-1*m)]

D*p=                [(е¢*В-1*е)*(m¢*В-1*m) - (m¢*B-1*e)2]

 

Тогда s*p=Ö D*p, что и является минимальным риском портфеля.

Если x*i≥0, то это означает рекомендацию вложить долю x*i наличного капитала в ценные бумаги i-го вида. Если же x*i<0, то содержательно это означает провести операцию “short sale” (“короткая продажа”).

Что это за операция? Инвестор, формирующий  портфель, обязуется через какое-то время поставить ценные бумаги  i-го вида (вместе с доходом, какой они принесли бы их владельцу за это время). За это сейчас он получает их денежный эквивалент. Эти деньги он присоединяет к своему капиталу и покупает рекомендуемые оптимальным решением ценные бумаги. Так как ценные бумаги других видов (т.е. не i-го вида) более эффективны, то инвестор оказывается в выигрыше.

Математически эта операция значит, что нужно исключить этот вид  ценных бумаг из рассмотрения и решить задачу заново.

 

3. Задача о разорении: вероятность разорения;  сложные пуассоновские процессы; неравенство Лундберга; влияние перестрахования на вероятность разорения. Страхование.

3.1. Задача о разорении

Компания должна получить за год суммарный страховой взнос 600 е.с.с. и рассчитывает, что взносы будут поступать равномерно в течение года, (так и бывает на практике), поэтому к определенному дню накопленная сумма взносов будет пропорциональна отрезку времени, прошедшему с начала года. Требование о выплате возмещения может поступить в любой момент и размер требования – случаен (известно лишь его распределение).

Например, компания надеется получить к 60-му дню года (2 марта) взносы в объеме: 600×(60/365) = 98,6 = 99 е.с.с. Тогда может возникнуть следующая ситуация (см. табл.):

 

 

К концу года все благополучно: суммарный размер выплат (534) меньше собранных взносов. Однако, к 96-му дню ситуация недопустимая: собрано 158, а необходимо выплатить 200. Аналогично и к 202-му дню: собрано 332, а выплатить придется 412.

Очевидно, что если у компании в начале года не будет капитала, то она окажется несостоятельной. В данном примере достаточно начального резерва 80 (изменение цены денег не учитывается). Активы на момент времени t = исходные активы + взносы на момент времени t – выплаты на момент времени t.

Итак, принцип определения  исходных активов (начального капитала, резерва), в том, что на первом этапе, полагая их равными нулю, строим график изменения активов во времени. Эта ломаная линия может опуститься ниже горизонтальной оси (причем неоднократно). На втором этапе находим глобальный минимум. Теперь необходимо поднять ломаную линию настолько, чтобы она вся находилась над горизонтальной осью. То есть резерв по абсолютной величине должен быть больше найденного глобального минимума. (Рисунок 1).

 

Рисунок 1

 

Актуария интересует вероятность разорения и, в частности, зависимость этой вероятности от резерва (начальных активов) и от рисковой надбавки. Очевидно, эта зависимость  есть убывающая функция. В простейшем случае предположим, что требования оплачиваются немедленно, процентная ставка равна нулю (цена денег постоянна), издержки страховщика игнорируются.

Пусть для каждого t>0 есть случайная величина N(t) – число требований до момента t. Тогда семейство случайных величин (N(t)) t≥0 – пример случайного процесса.

Пусть Xi – размер i-й страховой выплаты, Z(t) – общий размер страховых выплат до момента t. Тогда (Z(t)) t≥0 – случайный процесс, описывающий общий размер выплат.

 

Z(t) = Σ Xi, i = 1,…, N(t).

 

Для единицы времени  имеем: N(1) и Z(1), которые соответствуют N и Z в коллективных моделях.

Поступающие взносы исследуются  на уровне портфеля; при этом предполагается, что взносы поступают непрерывно и с фиксированной скоростью ‘c’ Активы обозначим U. Тогда:

 

U(t) = U + c×t – S(t)

 

представляет случайный  процесс изменения активов.

 

3.2 Вероятность разорения

С актуарных позиций разорение означает падение активов до нуля. Необходимо минимизировать вероятность разорения, а если это не получается, то не допустить выход этой вероятности выше некоторого критического уровня.

 

ф(U) = Pr (U(t) < 0,

 

при некотором t, 0<t<∞) – вероятность окончательного разорения при некотором начальном резерве U. (Т.е. в момент t резерв стал отрицательным.)

Чтобы задача была корректной, необходимо предположить, что разорение  происходит до некоторого фиксированного (конечного) момента t, (иначе при бесконечном t вероятность разорения равна 1 для любого U).

Логично считать, что  при малом t:

 

ф (U, t) = ф(U)

 

Если на (0, t) произошли неблагоприятные для страховщика события (выплаты превысили поступления), то вероятность разорения возросла. На практике контроль активов осуществляется не непрерывно, а в дискретные моменты времени (например, раз в квартал).

 

3.3 Сложные Пуассоновские процессы

Предположим, что случайные  величины Xi – независимы и одинаково распределены; что они не зависят от N(t) при любом неотрицательном t; что случайный процесс (N(t)) – пуассоновский с параметром λ.

 

Pr (N(t) = k) = е-λ*t * (λ * t) k / k!, k = 0, 1, 2, 3,…

Ранее показано, что случайная  величина S(t) при каждом t имеет сложное распределение Пуассона с параметром λ×t. Тогда процесс (S(t)) – сложный пуассоновский процесс с параметром λ. Пусть P(x) – пуассоновская функция распределения, общая для всех Xi. Размеры требований – положительны, поэтому P(0) = 0. За единицу времени собранные взносы должны превосходить выплаты: c > λ × M(Xi). Иначе (в терминах надбавки): c = (1 +Θ) × λ × M(Xi).

 

3.4 Неравенство Лундберга

Если начальные активы не слишком малы, то существует достаточно простая оценка верхней границы вероятности разорения (причем аппроксимация – очень хорошая):

 

ф(U) < e – R*U,

 

где: R – поправочный коэффициент, зависящий только от функции распределения страховых выплат P(x) и от надбавки Θ. Это неравенство очень наглядно: при возрастании начальных активов U вероятность разорения существенно уменьшается, (как и с ростом R). Необходимо знать величину R. Для этого составляется уравнение:

 

Mx(R) = 1 + (1 +Θ) × M(Xi) × R

 

где: Mx(t) – производящая функция моментов распределения страховых выплат;

Θ – надбавка безопасности; M(Xi) – среднее распределения страховых выплат.

R – единственный положительный корень этого уравнения. Как правило, уравнение решается численно, но в одном важном частном случае его можно решить точно.

Выплаты распределены экспоненциально:

 

P(x) = 1 – е-a×x, x > 0.

 

Тогда производящая функция  моментов: M(t) = a/(a – t), среднее 1/a, поэтому уравнение примет вид:

 

a/(a – R) = 1 + (1 +Θ) × R/a

 

Так как R > 0, то

 

R = a × Θ/(1 + Θ) = a – a/(1 + Θ)

 

При численном решении  этого уравнения полезной является нижняя граница R.

 

1 + (1 + Θ) × M(Xi) × R = M(R) = ∫ exp (R × x) × p(x) dx >

> ∫(1 + R × x + 0,5 × (R × x)²) × p(x) × dx =

=1 + R × M(Xi) + 0,5 × R² × M(Xi²)

 

т.е. 1 + R × M(Xi) + Θ × R × M(Xi) > 1 + R × M(Xi) + 0,5 × R² × M(xi²),

 

тогда: R < 2 × Θ × M(Xi)/M((Xi) 2).

R является возрастающей функцией от надбавки Θ, (возрастание надбавки уменьшает вероятность разорения). Возрастание R снижает верхнюю границу ф(U).

На приведенном ниже рисунке 2 показано, что поправочный коэффициент возрастает с ростом надбавки и что в случае экспоненциального распределения выплат этот коэффициент меньше, чем при постоянном распределении выплат.

Рисунок 2

 

Для экспоненциального  распределения неравенство Лундберга  дает очень хорошее приближение  к точному значению вероятности разорения, причем с ростом начальных активов точность повышается.

Можно показать, что неравенство (граница) не зависит от единицы измерения  денег, что вероятность ф(U) не зависит от λ. ф(U) определяется на бесконечном интервале времени, а параметр λ проявляет себя в конечный момент времени, когда происходит разорение; но параметр не влияет на вероятность разорения).

Для иллюстрации рассмотрим два риска. В первом общий размер выплат распределен по сложному пуассоновскому закону с λ = 1, а выплаты имеют экспоненциальное распределение со средним 10. С учетом надбавки взнос равен 1 × 10 × (1 + Θ).