Наращение и дисконтирование

 

Содержание

Введение...........................................................................................................3

 

1. Наращение и дисконтирование: время и неопределенность как влияющие факторы. Начисление процентов......................................4

1.1 Время и неопределенность  как влияющие факторы..............4

1.2 Начисление процентов..............................................................4

1.3 Дисконтирование и удержание процентов..............................5

2. Модель задачи оптимизации рискового портфеля............................7

2.1 Постановка задачи.....................................................................7

2.2 Портфель Марковица минимального риска............................8

2.3 Решение.......................................................................................9

3. Задача о разорении: вероятность разорения;  сложные пуассоновские процессы; неравенство Лундберга; влияние перестрахования на вероятность разорения. Страхование..............

3.1 Задача о разорении.....................................................................

3.2 Вероятность разорения..............................................................

3.3 Сложные Пуассоновские процессы.........................................

3.4 Неравенство Лундберга.............................................................

3.5 Влияние перестрахования на вероятность разорения............

3.6 Страхование................................................................................

3.6.1 Функции страхования.....................................................

Заключение......................................................................................................

Литература.......................................................................................................

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Введение

 

В данной контрольной работе я рассмотрела вопросы:

1. Наращение и дисконтирование: время и неопределенность как влияющие факторы. Начисление процентов.

2. Модель задачи оптимизации рискового портфеля;

3. Задачи о разорении и их составляющие: вероятность разорения, сложные пуассоновские процессы, неравенство Лундберга и влияние перестрахования на вероятность разорения. Страхование.

В настоящее время финансовые отношения всё больше входят в нашу жизнь. Кредиты, вклады, личные инвестиции в паевые фонды и ценные бумаги — эти понятия стали обыденными для многих россиян. Чтобы не запутаться во всём многообразии предложений и возможностей, необходимо обладать определёнными знаниями. Соответствующую область прикладной науки принято называть «финансовыми расчётами», или, более обще, «финансовой математикой».

  2. На финансовом рынке обращается множество ценных бумаг: государственные ценные бумаги, муниципальные облигации, корпоративные акции и т.д. Если у участника рынка есть свободные деньги, то их можно отнести в банк и получать проценты или купить на них ценные бумаги и получать дополнительный доход. Но в какой банк отнести? Какие ценные бумаги купить? Малорисковые ценные бумаги, как правило, и малодоходны, высокодоходные, как правило, более рисковые. Экономическая наука может дать некоторые рекомендации для решения этого вопроса. Для этого мы рассмотрим модели задач оптимизации рискового портфеля.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1. Наращение и дисконтирование: время и неопределенность как влияющие факторы. Начисление процентов.

1.1 Время и неопределенность как влияющие факторы

Неотъемлемой составляющей финансового анализа является учет фактора времени. В его основе лежит принцип неравноценности денег в разные календарные сроки. Одинаковые суммы денег "сегодня" и денег "завтра" оцениваются по-разному. Сегодняшние деньги приравниваются возросшей денежной массе в будущем и, наоборот, вместо денег "потом" можно согласиться на уменьшение выплаты, но сейчас.

Чем вызваны подобные предпочтения? Во-первых, возможностью продуктивного использования денег как приносящего доход финансового актива. Так, производственные инвестиции позволяют в перспективе не только вернуть затраченные средства, но и получить весомый добавочный эффект.

Другой фактор, влияющий на предпочтения, — неопределенность будущего и связанный с нею риск. Деньги "в кармане" могут быть израсходованы на потребление сиюминутно.

Сберегаемые же деньги подвержены всевозможным рискам в зависимости от способа сбережения. Если они хранятся на домашнем "депозите", например, под матрацем, им грозит обесценение из-за инфляции или кончины их владельца.

В случае, когда деньги даются в долг, риск невозврата зависит от успешности кредитуемого мероприятия, которое может завершиться и полным крахом, убытками. Потому-то возвращаемая сумма всегда должна быть больше заемной как с учетом срока ссуды, так и существующего риска потерь.

 

1.2 Начисление процентов

Дадим формулы расчета будущих сумм S по начальному вкладу Р. В основе их построения лежит понятие единичного периода начисления (Т=1) и процентной ставки i, которая фиксирует процентное увеличение исходной суммы Р за первый период. В результате сумма на конец этого промежутка времени S₁=P+(P/100)*i

Если ставка i измеряется десятичной дробью, то S₁ =P + P*i .

По отношению к следующим периодам ставки процентов трактуются по-разному в зависимости от принятой схемы начисления: по простым или по сложным процентам. В первом случае приросты денежных сумм для любого периода будут составлять все ту же долю i от первоначальной суммы Р. В результате наращенная за п периодов сумма составит величину

                                       Sn = Р + niP = Р(1 + ni)                               (1)

Здесь и в дальнейшем будем пользоваться дробным измерением ставки i. В отличие от простых для сложных процентов одна и та же ставка i берется для каждого последующего промежутка не от первоначальной суммы, а от результата предыдущего начисления,  то есть от суммы, наращенной на начало данного периода. Отсюда следует, что вклад Р при ставке сложного процента i через n периодов составит сумму

                                                       Sn=P(l+i)ⁿ                                          (2)

Таким образом, последовательность наращенных сумм {Sn} в случае простых процентов представляет арифметическую прогрессию, в то время как для сложных процентов прогрессия будет геометрической.

Выражения (1), (2) называют формулой простых и, соответственно, сложных процентов, а под процентными деньгами или, кратко, процентами понимают величину дохода (приращение денег) I_n=S_n-Р. В финансовых вычислениях в случае меняющихся во времени процентных ставок используют очевидные обобщения правил (1), (2):

S„=P 1+Xn t i tt

sn=PlI(i+ *.)"'— для простых процентов,

для сложных процентов.

В практических расчетах формулы (1), (2) используют по необходимости и для дробного числа периодов.

 

1.3 Дисконтирование и удержание процентов

Эти процедуры в определенном смысле являются обратными по отношению к процессу начисления процентов. Дисконтированием называется авансовое удержание с заемщика процентов в момент выдачи ссуды, то есть до наступления срока ее погашения.

Другим вариантом дисконтирования  является учет векселей в банке, когда банк, принимая вексель от предъявителя, выдает ему обозначенную на векселе сумму до срока его погашения. При этом банк удерживает в свою пользу проценты (дисконт) от суммы векселя за время, оставшееся до срока гашения. Подобным образом (с дисконтом) государство продает большинство своих ценных бумаг (долговых обязательств).

В нашем случае исходной величиной выступает не начальный вклад Р, а некоторая будущая сумма S. Вопрос состоит в том, чтобы определить эквивалентную сумму Р, отстоящую на t предшествующих периодов до срока выплаты S. В зависимости от принятого критерия эквивалентности можно выделить два подхода к расчету предшествующих сумм.

Во-первых, по размеру вклада Р, который при начислении процентов через t периодов дает сумму S, и, во-вторых, по размеру платежа, к которому придем при удержании процентов с финальной суммы S за срок t. Таким образом, при одном толковании за базовую величину, то есть за 100%, принимается размер вклада Р, в то время как при другом – за 100% берется будущая сумма S. Кроме того, по каждому варианту дисконтирование можно производить как по простым, так и по сложным процентам.

В случае приведения по вкладу Р для нахождения дисконтированных значений достаточно воспользоваться формулами (1) и (2), решив их относительно величины Р.

В результате получим  две формулы:

при дисконтировании  по простым процентам и

р =—\—s

(1 + i)1

(3)

(4)

6

для сложных процентов. Стоящие  в этих формулах мулыпипли-

каторы Y| = 1 и у-> = 1 — показывают, какую долю состав-

1 + ti (l + i)'

ляет Р в величине S при простой  и соответственно сложной

ставке процентов и называются дисконтными множителями.

Величину Р, найденную  дисконтированием S по вкладу, называют современной, или приведенной величиной S. Это понятие является одним из важнейших в количественном анализе финансовых операций, поскольку именно с помощью дисконтирования учитывается такой фактор, как время.

Формулы дисконтирования по платежу (второй подход) можно получить, используя формулы (1) и (2) с заменой схемы начисления процентов на вклад Р схемой их удержания с суммы S за тот же срок вложения. За основу их построения можно принять понятие единичного периода удержания процентов (дисконтирования) и учетной ставки d, которая фиксирует процентное или долевое уменьшение суммы S на один период "назад". Отсюда следует, что на начало этого периода эквивалентная выплате S сумма составит величину Р, которая при дробном измеренииставки определяется формулой

Р = S - dS.

По отношению к следующим  периодам учетная ставка трактуется по-разному в зависимости от принятой схемы дисконтирования: по простым или по сложным процентам. В первом случае удержания денежных сумм (дисконты) по каждому периоду будут составлять все тот же процент d от все той же суммы S.

В результате такого дисконтирования за t периодов получится величина

                                         Pt = S - tdS = S(l - td)                             (5)

В отличие от этого при учете  по сложной ставке последовательные по периодам снижения берутся как один и тот же процент d, но не от одной и той же величины S, а каждый раз от новой, полученной в результате дисконтирования на соседний период. Отсюда следует формула дисконтирования (учета) по сложным процентам, где в качестве процента выступает доля удержания d:

                                                       Pt = S(l - d)^t                                      (6)

 Схема дисконтирования (3), (4) широко применяется в многообразных задачах финансового анализа, в том числе для сравнения потоков платежей и при расчете стоимости облигаций и прочих ценных бумаг.

Дисконтирование по удержанию (5), (6) используется при учете векселей. Суть этой финансовой операции состоит в следующем. Некто выдает вексель (расписку) с обязательством уплатить сумму S на определенную дату Т. Владелец векселя в случае нужды может досрочно учесть его, т. е. получить деньги раньше срока в коммерческом банке (КБ) по установленной последним учетной ставке d, которая уменьшает сумму выплаты. В зависимости от принятых условий учет проводится по простым (5) или по сложным (6) процентам.

Такой вексель, который  допускает участие третьих лиц, называется переводным или траттой. В дальнейшем, на дату Т, банк предъявляет вексель тому, кто его выписал, и получает сумму S, извлекая из этой операции собственную выгоду: учитывал по меньшей сумме, а получил большую.

 

2. Модель задачи оптимизации рискового портфеля.

На финансовом рынке обращается множество ценных бумаг: государственные ценные бумаги, муниципальные облигации, корпоративные акции и т.д. Если у участника рынка есть свободные деньги, то их можно отнести в банк и получать проценты или купить на них ценные бумаги и получать дополнительный доход. Но в какой банк отнести? Какие ценные бумаги купить? Малорисковые ценные бумаги, как правило, и малодоходны, высокодоходные, как правило, более рисковые. Экономическая наука может дать некоторые рекомендации для решения этого вопроса.

 

2.1 Постановка задачи.

Рассмотрим общую задачу распределения капитала, который  участник рынка хочет потратить  на покупку ценных бумаг, по различным  видам ценных бумаг. Предваряя точные математические постановки, констатируем очевидную общую цель инвестора – вложить деньги так, чтобы сохранить свой капитал, а при возможности и нарастить его.

Набор ценных бумаг, находящихся  у участника рынка, называется его  портфелем. Стоимость портфеля –  это суммарная стоимость всех составляющих его бумаг. Если сегодня его стоимость есть  Р , а через год она окажется равной  Р¢ , то (Р¢-Р)/Р естественно назвать доходностью портфеля в процентах годовых. Т.е. доходность портфеля – это доходность на единицу его стоимости.

Пусть хi – доля капитала, потраченная на покупку ценных бумаг i-го вида. Рассуждения о долях эквивалентны тому, что весь выделенный капитал принимается за единицу. Пусть di – доходность в процентах годовых ценных бумаг i-го вида в расчете на одну денежную единицу.