Моделювання системи управління складом

 

2.2 Опис вибраних моделей

Для вирішення даної задачі скористаємося імітаційною моделлю управління запасами та економетричною моделлю.

Імітаційна модель

На сучасному етапі розвитку суспільства велика увага приділяється пошуку форм і методів раціонального використання різних ресурсів за допомогою правильної організації процесу управління запасами. Аналіз сучасного стану даної проблеми показав, що більшість робіт з управління запасами носять чисто аналітичний характер і проводяться, в основному, у двох напрямках. Одне з них пов'язане з абстрактним моделюванням процесу формування запасів, який розглядається з чисто економічної точки зору, тобто як процес мінімізації витрат при обмеженнях на рівень запасів, необхідних для задоволення попиту. Другий напрямок носить прагматичний характер і передбачає розробку способу визначення рівня запасів. Однак сучасні досягнення інформатики та обчислювальної техніки показують, що найбільший ефект при вирішенні питань, що розглядаються можна домогтися за допомогою інформаційних технології, зокрема, імітаційних систем.

Імітаційне моделювання - метод, що дозволяє будувати моделі, що описують процеси так, як вони проходили б у дійсності. Таку модель можна «програти» в часі як для одного випробування, так і заданого їх безлічі. При цьому результати визначатимуться випадковим характером процесів. За цими даними можна отримати достатньо стійку статистику.

Під імітаційним моделюванням розуміється експеримент, проведений дослідником із застосуванням імітаційної моделі. Метою імітаційного експерименту є вирішення завдання прогнозу або максимізації значення критеріїв ефективності аналізованої системи управління.

Імітаційна модель реалізується у вигляді програми на ЕОМ, ця програма повторює (імітує) роботу системи управління на заданому проміжку часу. Чим докладніше програма відображає роботу системи управління, тим адекватніше імітаційна модель цієї системи і тим точніше може бути вирішена задача прогнозу або оптимізації. Так як реальні системи управління за своєю природою є імовірнісними, то й імітаційні моделі повинні включати імовірнісні змінні (випадкові фактори).

Під впливом випадкових факторів значення критеріїв ефективності піддаються розсіюванню і можуть отримати зміщення своїх середніх значень. Цей зсув відсутній тільки, якщо залежність між критерієм з випадковими факторами лінійна.

Дійсно, якщо, наприклад, Z = ax + b, де Z - критерій, х - ймовірна змінна, a, b - константи, то математичне сподівання значення одно:

M (Z) = M (ax + b) = aM (x) + b

У загальному вигляді, якщо Z = φ (x), то при лінійності φ вірно M (Z) = φ (M (x)).

Отже, для лінійної імітаційної моделі процес імітації зводиться до однократному виконання імітаційної програми при середніх значеннях імовірнісних змінних. Природно, що середні значення імовірнісних змінних повинні бути попередньо визначені шляхом статистичної обробки спостережень за роботою реальної системи управління.

Однак, якщо функція φ нелінійна, то M (Z) ≠ φ (M (x)).

Дійсно, якщо приклад, Z = x2, то M (x2) = [M (x)] 2 + ϭ x2, де ϭ x2 - дисперсія випадкової величини х, що є в даному випадку зсув середнього значення критерію Z.

Так як для нелінійних імітаційних моделей просто підставляти в φ середні значення випадкових величин не можна, то застосовується метод статистичних випробувань (метод Монте-Карло). Стосовно до моделювання системи управління процес імітації на основі методу статистичних випробувань зводиться до наступного. Весь період Т роботи імітованої системи управління розбивається на n інтервалів таким чином, щоб в межах кожного інтервалу значення випадкових факторів (імовірнісних змінних) були постійні. Для кожної ймовірнісної змінної на основі статистичної обробки спостережень, за роботою системи управління визначаються параметри, що описують розподіл цієї змінної. У ході реалізації імітаційної програми послідовно імітується робота системи управління в 1-му, 2-му, ..., n-му інтервалах часу. При переході до чергового інтервалу значення імовірнісних величин генеруються заново відповідно до їх розподілами.

У результаті одноразової реалізації програми отримаємо одне значення Zi критеріями ефективності. Для отримання статистично середнього значення Ż критерію Z необхідно виконати m реалізацій при фіксованому значенні вектора параметрів управління Vm. Середнє значення критерію одно

              m

Ż = Σ Zi / m.

    i = 1

Очевидно, що при m → ∞ Ż → M (Z)

 

Різновидом імітаційних моделей є моделі систем масового обслуговування. Система управління в таких моделях представляється у вигляді взаємопов'язаних пристроїв (мережі ЕОМ, системи станів тощо), між якими передаються заявки на обслуговування (завдання, потоки інформації, потоки металу тощо). Характеристики заявок, наприклад, частота надходження, час і вартість обслуговування в пристроях можуть бути ймовірносними змінними з заданими параметрами розподілу. Імітація роботи системи управління зводиться до моделювання проходження всіх заявок через відповідні пристрої. При надходженні чергової заявки в пристрій заново генеруються значення ймовірнісних характеристик цієї заявки. Результатом імітації є такі показники (критерії), як довжина черг, вартість обслуговування заявок, завантаження пристрої тощо

Одноразове виконання імітаційного експерименту (імітації) з будь-якої з описаних вище типів моделей дозволяє вирішити тільки завдання прогнозу, тобто знайти статистично середнє значення ефективності Z (може бути, векторного) при фіксованому значенні вектора параметрів управління V.

Для знаходження за допомогою імітаційних моделей значення вектора параметрів управління V, максимизирующего або мінімізує значення критерію Z (задача оптимізації), необхідно багаторазово повторювати імітацію, змінюючи значення V. При цьому можуть бути використані методи планування експерименту, методи випадкового пошуку або евристичні методи.

Для генерації значень імовірнісних змінних відповідно до параметрів їх розподілу використовуються генератори псевдовипадкових чисел, реалізовані у вигляді підпрограм.

Генерація значення деякої імовірнісної змінної X з заданим законом розподілу виконується в два етапи. На першому етапі за допомогою стандартної підпрограми генерується значення випадкової величини Aø c рівномірним розподілом в інтервалі [0,1]. На другому етапі виконується перетворення (розігрування) значення Aø в значеннях X відповідно до заданого законом розподілу. Це перетворення виконується для стандартних законів розподілу за спеціальними формулами, а для нестандартного розподілу - за таблицями заданих ймовірностей. Таблиця заданих ймовірностей має вигляд:

                                 X X1 X2. . . Xi

                                  P P1 P2. . . Pi

                                  G G1 G2. . . Gi

де Xi - i-е значення змінної X,

      Pi - імовірність того, що змінна X прийме значення Xi,

      Gi - верхня межа ймовірності випадкової величини Х, Відповідна значенням Xi (ймовірність).

Значення ймовірностей Pi визначається за результатами статистичної обробки спостережень, наприклад, по гістограмі змінної Х. Значення кордону Gi обчислюється за формулою:

 

                  j = i

   Gi = Σ Pj, то Gi = 1, G0 = 0.

                                  j = 1

Мінлива Х приймає значення Хi, якщо

    

    Gi-1 <Aø ≤ Gi.

.

Імітація за допомогою методу Монте-Карло складається з п'яти етапів:

1. Встановлення розподілу ймовірностей для существен ¬ них змін-них.

2. Побудова інтегрального розподілу ймовірності для всіх змінних.

3. Встановлення інтервалу випадкових чисел для кожної пере ¬ менной.

4. Генерація випадкових чисел.

5. Імітація шляхом багатьох спроб

Економетрична модель

Економетрична модель ─ це логічний опис того, що економічна теорія вважає особливо важливим при дослідженні певної проблеми.

Економетричне моделювання реальних соцiально-економiчних процесів i систем, як правило, спрямоване на досягнення двох типів кінцевих прикладних результатів:  
отримання прогнозу економічних показників, що характеризують стан та розвиток економічної системи;  iмiтування різних можливих сценаріїв соцiально-економiчного розвитку економічної системи (багатоваріантний сценарій, розрахунки, ситуаційне моделювання). 

У постановці задач економетричного моделювання доцільно визначати їхній iєрархiчний рівень i тип. Поставлені задачі можуть належати до макрорівня (країна, міждержавний аналіз), мезорiвня (регіони всередині країни) i мiкрорiвня (підприємства, фірми, сім’я) i бути спрямованими на розв’язок питань iнвестицiйної, фінансової або соціальної політики, ціноутворення, розподільних відносин i т. ін. 

Економетрична модель містить набір регресійних рівнянь, що описують стохастичні зв’язки між досліджуваними економічними показниками, а також певні тотожності, які характеризують спiввiдношення між економічними показниками.  
Найпоширеніший математичний вид досліджуваних взаємозв’язків лiнiйний (відносно параметрів) i адитивний за формою. При цьому можливі ситуації, коли одні й ті самі показники в одних рівняннях вiдiграють роль пояснюваних змінних, а в інших – пояснювальних (такі моделі називають системами одночасних рівнянь). 

 Рівняння множинної регресії має такий вигляд:

,

де    ,  (i = 1, 2, …, k)  – регресійні коефіцієнти,

u – відхилення,

y – регресанд (залежна змінна),

х1,...,хk  –  регресори (незалежні змінні).

Регресор х1 використовується для уніфікації моделі і завжди дорівнює одиниці.

Змінні x і y спостерігаються, тобто  їхні індивідуальні значення (реалізації) можна виміряти в моменти часу t = 1, …, T.

Для того щоб параметри моделі оцінити статистично, необхідно мати T значень кожного регресора   і  T значень регресанда y у відповідні моменти часу. При цьому довжина рядів спостережень повинна бути більше кількості регресорів, тобто  T > K.

Відповідна система рівнянь може бути записана в матричному вигляді:

.

Вектор і матриця X разом утворять матрицю даних D розмірністю           T х (K+1).

Похибка (відхилення) рівняння для t-го періоду дорівнює

,

де yt – значення регресанду, що спостерігається;

– оцінка (розрахункове значення) yt при знайдених значеннях оцінок коефіцієнтів .

За теоремою Гаусса–Маркова з усіх оцінювачів функція оцінювання однокроковим методом найменших квадратів (МНК) для лінійної моделі без автокореляції і без гетероскедастичності є найкращою функцією оцінювання.

У матричному вигляді формула обчислення оцінок регресійніх коефіцієнтів  за МНК буде такою:

,

де – вектор оцінок параметрів рівняння регресії,

X  – матриця значень факторів x, що спостерігаються,

X'  – транспонована матриця  Х,

 – вектор значень залежної змінної  y, що спостерігається ,

(Х’Х)-1  – зворотна матриця.

Для обчислення оцінок регресійних коефіцієнтів зручно використовувати статистичні функції «ЛИНЕЙН» пакета EXCEL, що дозволяють розрахувати багато параметрів регресійних моделей.

Функція «ЛИНЕЙН» реалізована як операція з масивами і повинна  використовуватися по кроках.

По-перше виділити діапазон  розмірністю 5 * К, де К – число регресорів у рівнянні (К = число факторів плюс один).

Далі з допомогою майстра функцій викликати функцію «ЛИНЕЙН» (категорія статистичних функцій) і ввести 4 її параметри, а саме: координати всіх відомих значень результуючого показника у; координати всіх відомих значень регресорів х (координати матриці Х); логічну константу, що дорівнює нулю; логічну константу, що дорівнює одиниці.

Натиснути ОК і, встановивши курсор в рядок формул, натиснути комбінацію Ctrl + Shift + Enter.

 Результати функції «ЛИНЕЙН»  при К = 4 розміщені в наступному  виді(Таблиця 2.2):

 

Таблиця 2.2-Результати функції ЛИНЕЙН методом найменших квадратів

R2		-	-
F	(Т-K)	-	-
Sreg	Srest	-	-

 

де – оцінки регресійних коефіцієнтів,

– оцінки середньоквадратичних помилок регресійних коефіцієнтів,

– середньоквадратичне вiдхилення регресанду y,

R2  – коефіцієнт детермінації,

F  – критерій Фішера,

Т  – число спостережень,

Sreg і Srest  –  регресійна і залишкова  дисперсії.

 

 

 

 

 

3.Модельні експерименти

 

3.1 Модельний експеримент №1: Імітаційна модель керування запасами

3.1.1Опис інформаційного забезпечення моделі і очікуваних

результатів

Оптовий склад займається закупівлею та продажем масла. Кожне замовлення на товар обходиться в 10 грн., збереження одиниці товару – у 2 грн. у день, один упущений продаж – у 20 грн. Початковий обсяг запасу 120 штук. При запасі на складі 70 штук і менше необхідно робити замовлення в обсязі 120 штук. Замовлена партія товару надходить через 1 - 3 дня.  Розрахуємо середні витрати за день та загальні витрати за тиждень.