Контрольная работа по "Экономике"

Как видим, результаты расчетов показали, что при 10 %-м росте зарплаты одновременно по всем отраслям  цены на продукцию отраслей увеличились в пределах от 3,4% до 4,9%.

Рассчитаем теперь эффект ценового мультипликатора при дополнительном увеличении зарплаты по 1-й отрасли на 5%. Расчеты будем вести по формуле

DP = BTDV, где DV определим из условия задачи. 

DV = (0,0143  0  0  0  0)Т.  (0,286  0,05 = 0,0143)

Тогда:

DP = (0,0151 0,0038 0,0007 0,0004 0,0004)Т.

Как и ожидалось, наибольший прирост в цене продукции пришелся на 1-ю отрасль – увеличение на 1,5 %, а по остальным отраслям этот прирост составил доли процента. Например, по 2-й отрасли на 0,38 %.  Эффект же ценового мультипликатора проявился в том, что при изменении цены только в одной отрасли произошло изменение цен во всех отраслях и это изменение можно отследить с помощью ценового мультипликатора BT.

Задание 2. Определение оптимального плана выпуска продукции и анализ оптимального решения с использованием двойственных оценок

Пусть в производстве 4-х видов продукции участвуют 4 вида ресурсов. Известны нормы расхода ресурсов на производство единицы продукции (матрица А), цены ее реализации (матрица С) и запасы ресурсов (матрица В). Определить план производства продукции, максимизирующий выручку от реализации производственной продукции.

Тогда математическая модель задачи примет вид: найти х1, х2, х3, х4 (объемы производства каждого вида продукции), удовлетворяющие ограничениям:

при которых функция  достигает максимума.

Запишем задачу в каноническом виде, добавив в левые части ограничений неотрицательные балансовые переменные:

Значения балансовых переменных показывают объемы неизрасходованных  ресурсов в соответствующем плане.

Решим задачу симплексным методом.

Поскольку переменные x5, x6, x7 и x8 входят в каждое из уравнений только один раз, то включим эти переменные в базис и сразу получим опорный план задачи. Внесем его в первую  симплексную таблицу.

Данный план не является оптимальным, поскольку  в строке оценок присутствуют отрицательные элементы. Если в таблице, в которой записан опорный план, в столбце, содержащем отрицательный элемент в строке оценок,  есть хотя бы один элемент, больший нуля, то существует возможность улучшения плана. 

Для этого указанный столбец выбирается в качестве разрешающего столбца и с его элементами вычисляются симплексные отношения делением элементов столбца свободных членов на соответствующие члены разрешающего столбца. По наименьшему симплексному отношению выбирается разрешающая строка. На пересечении разрешающего столбца и разрешающей строки находится разрешающий элемент. С ним проводится симплексное преобразование по следующим правилам:

1.    Элементы разрешающего столбца, за исключением  разрешающего элемента, заменяются нулями, разрешающий элемент заменяется единицей;

2.    Элементы разрешающей строки делятся на разрешающий элемент;

3.    Все прочие элементы вычисляются по следующему правилу: для получения любого элемента  новой симплексной таблицы нужно из соответствующего элемента прежней симплексной таблицы вычесть произведение элемента разрешающей строки на элемент разрешающего столбца, разделенного на разрешающий элемент.

При этом переменная, стоящая в разрешающем столбце, включается в базис, а переменная, стоящая в разрешающей строке, исключается из базиса. Симплексные преобразования проводятся до тех пор, пока в Z-строке не останется ни одного отрицательного элемента. Тогда  полученный план будет оптимальным. Результаты симплексных преобразований  приведены в таблице.

Запишем компоненты полученного плана:

x1 = 156,667;  x2 = 0;  x3 = 173,333;  x4 = 3,333.

При этом значение функции z будет максимально и равно 2290.

Итак, для получения максимального дохода от реализации производственной продукции ее необходимо выпустить в объемах: х1*= 156,667; х2*=0; х3*=173,333; х4*=3,333. При этом zmax=2290.

Запишем математическую модель двойственной задачи.

Решения этой задачи выпишем  из последней строки симплексной таблицы:

y1*=1,8, y2*=0, y3*=0,6, y4*=0,2.

Проиллюстрируем свойства двойственных оценок на основе этой задачи.

1. Каждая из оценок указывает, на сколько изменится максимальное значение целевой функции (максимальная выручка), если изменить на единицу запасы соответствующих ресурсов. Наибольшее изменение выручки произойдет, если изменить объем 1-го ресурса (y1*=1,8), а изменение  второго ресурса (в границах устойчивости) не приведет к изменению целевой функции (у2*= 0).

2. Оценки у1*, у3*, у4* положительны. Это означает, что при реализации оптимального плана соответствующие  ресурсы расходуются полностью. Проверим это. Подставим в 1-е сопряженные условия исходной задачи.              

4156,667 + 30 + 173,333 = 799,999  800.

Аналогично для третьего и четвертого ресурсов:

2156,667 + 30 + 5173,333 +63,333 = 1199,999  1200.

3156,667 + 40 + 1173,333 +23,333 = 649,999  650.

Следовательно, 1,3,4-й ресурсы дефицитны.

Оценка у2*= 0 показывает, что в оптимальном решении второй ресурс расходуется не полностью. Проверим это. Подставим во второе ограничение исходной задачи:

5156,667 + 20 + 3,333 = 786,666 < 800.

Остаток второго ресурса составляет 800 – 786,66613,334. Это и есть значение балансовой переменной в оптимальном решении исходной задачи.

3. Рентабельными являются 1-я, 3-я и 4-я продукции (х1*, х2*, х3* в оптимальном плане положительны), а нерентабельной 2-я – х2*. Проверим это, подставив уi* в сопряженные условия двойственной задачи.

Для первой продукции:

41,8 + 50 + 20,6 + 30,2 = 9.

Получили строгое равенство.

Аналогично для 3-й и 4-й продукции:

11,8 + 50,6 + 10,2 = 5.

10 + 60,6 + 20,2 = 4.

y1*=1,8, y2*=0, y3*=0,6, y4*=0,2.

Покажем нерентабельность второй продукции, подставив во второе ограничение двойственной задачи. Получим:

31,8 + 20 + 30,6 + 40,2 = 9 > 3.

Итак, оценка ресурсов, необходимых для производства единицы 2-й продукции больше цены единицы этой продукции на 9 – 3 = 6.

Задание 3. Элементы теории игр

Найти решение игры, заданной матрицей

Решение. Для матрицы А α = max(3, 3) = 3, β = min(4, 4) = 4. Матрица не имеет седловой точки.

Составим симметричные двойственные задачи

Задача 1                                                                  Задача 2

min Z = t1 + t2                                                          max W = u1 + u2

Задачу 2 приведём к канонической и решим симплексным методом.