Контрольная работа по «Эконометрике»

Задание 1.

 

         По предложенным вам экспериментальным  данным, представляющим собою макроэкономические  показатели или показатели финансовой (денежно-кредитной) системы некоторой  страны, т.е. случайной выборке  объема n – построить математическую  модель зависимости случайной величины Y от случайных величин X1 и X2. Построение и оценку качества экономико-математической (эконометрической) модели вести в следующей последовательности: 
•Построить корреляционную матрицу для случайных величин и оценить статистическую значимость корреляции между ними.  
•Исходя из наличия между эндогенной переменной и экзогенными переменными, линейной зависимости, оценить параметры регрессионной модели по методу наименьших квадратов. Вычислите вектора регрессионных значений эндогенной переменной и случайных отклонений. 
•Найдите средние квадратические ошибки коэффициентов регрессии. Используя критерий Стьюдента проверьте статистическую значимость параметров модели. Здесь и далее принять уровень значимости 0,05(т. е. надежность 95%). 
•Вычислите эмпирический коэффициент детерминации и скорректированный коэффициент детерминации. Проверьте, используя критерий Фишера, адекватность линейной модели. 
•Установите наличие (отсутствие) автокорреляции случайных отклонений модели. Используйте для этого метод графического анализа, статистику Дарбина-Уотсона и критерий Бреуша-Годфри.  
•Установите наличие (отсутствие) гетероскедастичности случайных отклонений модели. Используйте для этого графический анализ, тест Вайта и тест Парка для вариантов с добавочным индексом А (графический метод, тест Глейзера и тест Бреуша-Пагана для вариантов с добавочным индексом В). 
•Обобщите результаты оценивания параметров модели и результаты проверки модели на адекватность.

 

Решение.

   В таблице 1.1. приведены ежеквартальные данные о валовом внутреннем продукте (млн. евро); экспорта товаров и услуг (млн. евро); эффективный обменный курс евро к национальной волюте для Испании на период с 2000 по 2007 годы.

 

 

 

 

 

 

 

Таблица 1.1.

Ежеквартальные данные о валовом внутреннем продукте, экспорте товаров и услуг, эффективном обменном курсе евро к национальной валюте для Исландии на период с 2000 по 2007 годы

	Регрессант Y	Регрессор X1	Регрессор X2
Период	ВВП, млн. евро (GDP)	Импорт товаров и услуг, млн. евро (IGS)	эффективный обменный курс евро к национальной волюте (NEER)
2000q01	151549	47714	90,96
2000q02	158657	51536	88,19
2000q03	152859	48795	86,98
2000q04	167198	54661	85,5
2001q01	163783	53405	90,9
2001q02	171855	54839	88,76
2001q03	165799	50334	90,54
2001q04	179241	52755	91,29
2002q01	175002	51491	90,4
2002q02	184589	54702	93,06
2002q03	177018	50857	97,34
2002q04	192597	57702	98,73
2003q01	188474	54743	103,68
2003q02	197781	56357	107,51
2003q03	189581	53818	106,6
2003q04	207093	59763	109,28
2004q01	201864	59480	111,84
2004q02	211842	63645	109,37
2004q03	204702	61347	110,3
2004q04	222634	67328	113,24
2005q01	217862	65023	112,83
2005q02	229895	72045	110,28
2005q03	219807	69368	108,49
2005q04	240886	75123	107,34
2006q01	235765	76477	107,37
2006q02	248721	79219	110,14
2006q03	235901	76581	111,22
2006q04	260567	83314	111,29
2007q01	254391	81896	112,04
2007q02	267098	85250	113,46
2007q03	251521	84189	114,09
2007q04	276838	92342	116,95

    Создадим файл  с исходными данными в среде Microsoft Excel.

    Исследуем степень корреляционной зависимости между переменными. Для этого построим корреляционную матрицу, используя средства «Анализа данных». Корреляционная матрица приведена в таблице 1.2.

Таблица 1.2.

	Столбец 1	Столбец 2	Столбец 3
Столбец 1	1	0,8602266	0,7479278
Столбец 2	0,8602266	1	0,6310579
Столбец 3	0,7479278	0,6310579	1

 

Из корреляционной матрицы  следует, что на валовой внутренний продукт оказывает влияние оба регрессанта, т. е. экспорт товаров и услуг и обменный курс национальной валюты имеют корреляционную связь с валовым внутренним продуктом. Так же можем отметить наличие корреляционной зависимости между объясняющими (экзогенными) переменными, это может свидетельствовать о наличии в модели явления мультиколлениарности. Помощь на экзамене онлайн.

      Построим многофакторную регрессионную модель, в которой зависимая переменная – Y валовой внутренний продукт.

    Определим коэффициенты уравнения регрессии.

Y = b₀ + b₁∙X1 + b₂∙X2

Результаты множественной  регрессии в численном виде представлены в табл. 1.3.

Таблица 1.3

	Коэффициенты	Стандартная ошибка	t-статистика	P-Значение
Y-пересечение	-1046,49	452,8635	-2,31082	0,028151
Переменная X 1	2,033422	0,328972	6,181146	9,7E-07
Переменная X 2	18,28825	5,601336	3,26498	0,002809

 

Регрессионная статистика
Множественный R	0,899932
R-квадрат	0,809877
Нормированный R-квадрат	0,796765
Стандартная ошибка	243,4784
Наблюдения	32
Дисперсионный анализ
	df	SS	MS	F	Значимость F
Регрессия	2	7323237	3661618	61,76641	3,52E-11
Остаток	29	1719170	59281,71
Итого	31	9042406

 

   Как следует  из данных, полученных с помощью Excel методом наименьших квадратов, полученная многофакторная модель будет иметь вид:

Y = -1046,49 + 2,0334∙X1 + 1828,83∙X2       (1.1)

                         (t)      (-2,311)   (6,181)         (3,265)

Уравнение (1.1) выражает зависимость валового внутреннего продукта (Y) от экспорта товаров и услуг (Х1), обменного курса евро к национальной валюте (Х2). Коэффициенты уравнения показывают количественное воздействие каждого фактора на результативный показатель при неизменности других. В нашем случае валовой внутренний продукт увеличивается на 2,033 ед. при увеличении экспорта товаров и услуг на 1 ед. при неизменности показателя обменного курса евро к национальной валюте; валовой внутренний продукт увеличивается на 18,288 ед. при увеличении обменного курса евро к национальной валюте на 1 ед. при неизменности показателя экспорта товаров и услуг. Случайное отклонение для коэффициента при переменной Х1 составляет 0,329; при переменной Х2 – 5,601; для свободного члена –452,86. Помощь на экзамене онлайн.

Табличное значение критерия Стьюдента, соответствующее доверительной вероятности g = 0,95 и числу степеней свободы v = n – m – 1 = 29;                  t_кр. = t_0,025;29 = 2,364.

Сравнивая расчетную t-статистику коэффициентов уравнения с табличным значением, заключаем, что все коэффициенты уравнения регрессии будут значимы, за исключением свободного члена в уравнении регрессии.

Коэффициент детерминации R² = 0,8099;

Скорректированный на потерю степеней свободы коэффициент множественной детерминации AR² = 0,7968;

Критерий Фишера F = 61,766;

Уровень значимости модели р < 0,0000;

Согласно критерию Фишера данная модель адекватна. Так как  уровень значимости модели меньше 0,00001.

Проверим остатки на  наличие автокорреляции. Для этого найдем значение статистики Дарбина-Уотсона.

 

 

  Промежуточные расчеты поместим в таблицу 1.4.

Таблица 1.4.

Остатки	et2	(et - et-1)2
218,5906	47781,84	0
195,5567	38242,44	530,5579
67,01115	4490,494	16523,97
263,2028	69275,71	38491,16
-93,1291	8673,038	126972,4
-39,0766	1526,984	2921,674
-273,414	74754,99	54913,8
-148,784	22136,71	15532,51
-146,073	21337,19	7,352526
-142,422	20284,12	13,32423
-178,064	31706,95	1270,362
-21,1856	448,8302	24610,97
-56,3965	3180,569	1239,809
-131,957	17412,62	5709,365
-323,811	104853,4	36807,9
-166,388	27685,12	24781,77
-122,682	15050,78	1910,29
-132,145	17462,21	89,54899
-348,301	121313,8	46723,67
-80,555	6489,111	71688,04
143,844	20691,09	50354,9
-38,3544	1471,06	33196,24
199,4414	39776,86	56546,82
563,206	317201	132324,7
558,4567	311873,9	22,55623
-92,4285	8543,033	423651,6
8,944249	79,99959	10276,44
350,2045	122643,2	116458,5
-114,207	13043,27	215678,1
175,3924	30762,5	83867,9
264,622	70024,81	7961,921
-359,099	128952	389027,8
	1719170	1990106

 

DW = 1,1576.

По таблице приложения 4 [1] определяем значащие точки d_L и d_U для 5% уровня значимости.

Для m = 2 и n = 32: d_L = 1,28; d_U = 1,57.

Так как DW < d_L (1,1576<1,28), то нулевую гипотезу об отсутствии автокорреляции мы не можем принять. Следовательно, в модели присутствует автокорреляция остатков случайных отклонений.

Проверим наличие автокорреляции, используя тест Бреуша-Годфри. Тест основан на следующей идее: если имеется корреляция между соседними наблюдениями, то естественно ожидать, что в уравнении

, t = 1,…, n

(где e_t — остатки регрессии, полученные обычным методом наименьших квадратов), коэффициент ρ окажется значимо отличающимся от нуля.

     Значение коэффициента ρ представлено в таблице 1.5.

Таблица 1.5.

	Столбец 1	Столбец 2
Столбец 1	1
Столбец 2	0,620823	1

 

      Проверим значимость коэффициента корреляции, находим наблюдаемое значение по формуле:

=4,265

   T>t_кр, следовательно коэффициент корреляции значим, и в модели присутствует автокорреляция остатков случайных отклонений.

 

 

 

    

        Проведем графический анализ гетероскедастичность. Построим график, где по оси абсцисс будем откладывать расчетные значения Y, полученные из эмперического уравнения регрессии, а по оси ординат квадраты остатков уравнения е². График представлен на рисунке 1.1.

Рисунок 1.1.

 

    Анализируя  график, можем предположить непостоянство  дисперсий. Т. е. наличие гетероскедастичности  в модели.

     Проверим  наличие гетероскедастичности, используя  тест Вайта. 

    Строим регрессию:

ε² = a + b₁x₁ + b₁₁x₁² + b₂x₂ + b₂₂x₂²+ b₁₂∙x₁∙x₂

Результаты теста представлены в таблице 1.6.

Таблица 1.5.

	df	SS	MS	F	Значимость F
Регрессия	5	1,91E+10	3,82E+09	0,582977	0,712725
Остаток	26	1,7E+11	6,55E+09
Итого	31	1,89E+11

 
    Результаты теста Уайта показывают отсутствие гетероскедастичности, так как при 5% уровне значимости F_факт<F_табл. Р-вероятность принятия гипотезы о гетероскедастичности равна 0,713, что больше 0,05.

Для проверки наличия  гетероскедастичности воспользуемся  тестом Парка. В Excel рассчитаем логарифмы значений e², X1 и X2 (см. табл. 1.7).

Таблица 1.7.

lne2	lnX1	lnX2
10,7744	6,529565	4,51042
10,5517	6,66772	4,479494
8,409718	6,815092	4,465678
11,14585	6,658139	4,448516
9,067974	6,687483	4,50976
7,33105	6,701715	4,485936
11,22197	6,838405	4,505792
10,00499	6,767113	4,514041
9,968207	6,745001	4,504244
9,917593	6,82622	4,533244
10,36429	6,847687	4,57821
6,106645	6,726233	4,592389
8,064816	6,736374	4,641309
9,76495	6,685986	4,677584
11,56032	6,812015	4,669084
10,22865	6,658011	4,693913
9,619185	6,731137	4,717069
9,767794	6,753555	4,694737
11,70614	6,93644	4,703204
8,777881	6,81564	4,729509
9,937458	6,805723	4,725882
7,293739	6,996224	4,703023
10,59104	7,032271	4,686658
12,66729	6,92844	4,676001
12,65035	6,898715	4,676281
9,052871	7,008053	4,701752
4,382021	7,034124	4,71151
11,71703	6,924416	4,712139
9,476027	7,114037	4,718856
10,33405	7,124478	4,73145
11,1566	7,113549	4,736988
11,7672	7,281661	4,761746