Экономикада және басқа ғылымдарда математикалық әдістемелерді қолдану қажеттілігі

     Айталық, темір қоры q₁ =190 кг, сым қоры q₂=120 кг болсын, онда бұл қорларды пайдалана отырып, І-ші түрдегі трансформатордан: Х₁= 120кг - 190=560-395=300-285=15 дана, ал ІІ-ші түрдегі трансформатордан: Х₂=2x190-3x120=380-360=20 дана жасалатынын оңай табамыз.

     Мұндағы ескерте кететін  бір жай: жалпы жағдайда алгебралық теңдеулер шешкенде, берілген белгісіздердің коэффициенттеріне және бос мүшенің мәндеріне тәуелді белгісіздердің мәндері оң санда, теріс санда, бөлшек немесе бүтін санда болуы мүмкін. Қарастырып отырған есепте Х₁ және Х₂ мәндері тек оң және бүтін болуы керек. Трансформаторлардың саны теріс болуы мүмкін емес, ол тек нөл немесе нөлден жоғары бүтін сан болуға тиіс. Сондықтан есепті шешуде осындай мәселелерге көңіл аударған жөн.

      Енді бұл есептің  q₁ =190 кг, q₂=120 кг болғанда, шешімін график түрінде қарастыралық. Ол үшін тікбұрышты координат жүйесін алып, оның жатық өсін (абцисса) Х₁ арқылы, ал тік өсін (ордината) Х₂ деп белгілейік. Алдымен І-ші теңдеудің графигін сызайық , ол үшін бірінші теңдеудегі Х₁=0 десек , 5X₂=190 шығады, осыдан Х₁=31,6 шығады. Енді табылған нүктелерді графикке түсірейік (1.1 – сурет ).

      Геометрияның кез  келген екі нүкте арқылы тек  бір ғана түзу жүргізуге болады  деген теоремасын пайдалана отырып, І-ші теңдеудің графигін аламыз. Сол сияқты екінші теңдеудің  графигін табуға болады (Х₁=30, X₂=40).

Екі графиктің (түзу сызықтың) қиылысу нүктесінің координаты М(15,20) есептің шешуін береді.

                                               

 

 

4Х₁+3Х₂=120      (0:40) (30:0)                

6Х₁+5Х₂=190      (0:38) (31,6:0)     

                                        Х₂

                                       І

                                        38

 

 

                                                           20          

                                                                                                                    

 

                                                                        

                                                             0                 15               31,6          Х₁

                                                                                                                       

1.1 – сурет

2 – мысал. Мал фермасында  малды жемдеуде апталық рацион  жыл мезгіліне байланысты әртүрлі  заттардың (витаминдердің) құрамынан тұратындығы белгілі. Айталық, әртүрлі жемнің құрамында үш түрлі жұғымды (А, В, С) бар болсын. Қарастырылып отырған жемнің 1 өлшем бірлігінде олардың қанша мөлшерде болатыны мына кестеде келтірілсін.

Жем түрлерінің	А, өлшем бірлігі	В, өлшем бірлігі	С, өлшем бірлігі
І	6	3	1
ІІ	3	4	2
ІІ	2	1	2
Тәуліктік мөлшер	q1	q2	q3

 

Мұндағы q₁, q₂  және q₃ бір тәулікте бір бас малға қажетті әртүрлі заттардың мөлшері. Жоғарыда берілгендерді пайдалана отырып, бір тәулік рационға керекті жемдердің көлемін анықтайтын формула табу керек.

     Шешуі: Рациондағы бірінші түрдегі жемнің мөлшерін Х₁ өлшем бірлікте деп, екінші түрдегі жемнің мөлшерін Х₂ , ал үшінші түрдегі жемнің мөлшерін Х₃ деп белгілейік.

    Бірінші түрдегі жемнің 1 өлшем бірлігінде А заты 6 өлшем бірлік те болса, онда Х₁ өлшемінде - 6Х₁ болады, екінші жемде А заты 3 өлшем бірлікте болғандықтан, Х₂ өлшемінде – 3Х₂ , ал үшінші түрдегі жемде 2Х₃ өлшемді А заты бар, ендеше, бұлардың қосындысы сол заттың керекті мөлшеріне тең болуы керек, яғни:

6Х₁ + 3Х₂ + 2Х₃ = q₁ ,

Сол сияқты қалған заттар үшін де теңдеу құрсақ, олар былай болар еді:

3Х₁ + 4Х₂ + Х₃ = q₂,

  Х₁ + 2Х₂ + 2Х₃ = q₃ .

Сонымен біз есепті шешуге қажетті  үш белгісізі бар үш теңдеулер  жүйесін таптық:

          6Х₁ + 3Х₂ + 2Х₃ = q₁ ,                                

          3Х₁ + 4Х₂ + Х₃ = q₂,                                                                          (1.6)

           Х₁ + 2Х₂ + 2Х₃ = q₃ .

 

Енді керекті формуланы  табу үшін, Х₁ , Х₂ және Х₃ белгісіздерін, бос мүше q₁, q₂  және q₃ – лер арқылы өрнектеу керек.

     Ол үшін (1.6) жүйенің  3-ші теңдеуінен Х₁ – ді тауып, қалған І және ІІ – теңдеулердегі Х₁ – дің орнына апарып қойсақ:

Х₁ = q₃ - 2Х₂ - 2Х₃ ,

6(q₃ - 2Х₂ - 2Х₃) + 3Х₂ + 2Х₃ = q₁ ,

3(q₃ - 2Х₂ - 2Х₃) + 4Х₂ + Х₃ = q₂ ,

шығады. Немесе:

            Х₁ = q₃ - 2Х₂ - 2Х₃ ,                                                                                                                    

             q₁  = 6q₃ – 9X₂ – 10X₃                                                                                                                              (1.7)

            q₂ = 3q₃ – 2X₂ – 5X₃

(1.7) жүйенің 3-ші теңдеуінен  Х₂ –ні тауып, І және ІІ – ші теңдеулердегі Х₂ орындарына қойсақ:

              Х₂ = q₃ - q₂ - X₃             

              X₁ = -2q₃+q₂+3X₃                                                                              (1.8)                                                                                                                                                                      

              q₁ = - q₃+ q₂+ X₃

 

Шығады.

(1.8) жүйенің соңғы теңдеуінен  Х₃ – ті тауып, І және ІІ – теңдеулердегі Х₃ – тің орындарына қойсақ, іздеп отырған формуланы табамыз. Яғни:

алдыңғы алгебралық әдіспен  есептегенде есептің шешімі

              X₁ = q₁ - q₂ - q₃,

               Х₂ = q₁+ q₂ ,                                                                                     (1.9)

              Х₃ = q₁ - q₂ + q₃

 

Бұл теңдеулер жүйесінде  белгісіз жемнің көлемдері Х₁ ,Х₂ және Х₃ – тер бос мүше  q₁, q₂  және q₃ бір тәулікке керекті жағымды заттар арқылы өрнектеледі. Демек, (1.9) жүйе іздеп отырған формуламызды береді, былайша айтқанда, бұл жүйе арқылы бір тәулікке керекті жемдердің мөлшерін есептеп табуға болады.  Мысалы, бір тәулікке қажетті А жұғымды затының шамасы q₁  =96 өлшем бірліктей В затының шамасы q₂ = 68 өлшем бірліктей және С затының шамасы q₃ = 38 өлшем бірліктей дейік те, керекті жемдердің мөлшерлерін (1.9) формула бойынша есептейік: 

Бірінші түрдегі жем 

Х₁ = 6/25*96 – 2/25*65 – 1/5*38 = 10 өлшем бірлік;

Екінші түрдегі жем 

Х₂ = -1/5*69 + 2/5*68 = 8 өлшем бірлік;

Х₃ = 2/25*96 – 9/25*68+3/5*38 = 6 өлшем бірлік.

Сонымен бұл екі мысалдарды шешкенде, белгісіздерді орнына қою  әдісін пайдаланып, бос мүше арқылы өрнектедік. Басқа да әдістермен (1.1) теңдеу (1.6) теңдеу түріне және (1.5) теңдеу (1.9) теңдеу түріне айналдырылып, нәтижесінде қойылған мақсатқа байланысты тұжырымдалған әмбебап формула құрылады.

Алдыңғы тақырыптардағы сызықтық бағдарламалау есептерін  шешу алгоритмдерін жетік түсініп  ұғуға дайындық жасау мақсатында алгебрада кездесетін біраз түсініктерге тоқталайық.

 

1.3 Сызықтық  емес теңдеулер жүйесінің теріс  емес шешімін анықтау.

Қазіргі кезде сызықтық алгебралық теңдеулер жүйесін әртүрлі  дәрежеде қолданбайтын ғылыми салалар  жоқ. Сызықтық теңдеулер жүйелері экономикалық зерттеулерде, оптималдық экономикалық есептерде қалыптастырып, тәжірибе жүзінде шығаруда айрықша қолданылады. Бұл жерде сызықтық бағдарламалау курсының әмбебап симплекс әдісі сызықтық теңдеулер жүйесін шешу әдістеріне және оның ішінде айнымалылардың теріс емес мәндерін ерекше бөлектеп шешетін әдістеріне негізделгені туралы алдын ала айтып кеткеніміз жөн. Сондықтан да осы бөлім, симплекс әдісінің алгоритмінің теориялық негізін баяндауға дайындық жасауға арналған.

Сызықтық теңдеулер  жүйесін шешу үшін қолданылатын орнына қою (айнымалыларды бірінен кейін  бірін қысқарту) тәсілі және алгебралық қосу тәсілі, сызықтық теңдеулер жүйесінің қасиеттері, сонымен қатар жүйедегі теңдеулердің біріккендігі немесе бірікпегендігі туралы анықтаулар алгебра курсының мектептік бағдарламасында қарастырылады.

Сызықтық теңдеулер жүйесі матрица қалпына келтіріліп, әртүрлі әдістермен (мысалға, Крамер әдісі, Гаусс әдісі және т.б.) көптеген орыс тілінде жазылған әдебиеттерде келтіріледі. Солардың ішінде сызықтық теңдеулер жүйесі кесте құрып шығару жолдары, сызықтық бағдарламалау курсының симплекс әдісінің алгоритмінің негізін құрайды.

 

Кесте әдісі.

Кесте әдісінің технологиясын  түсіндіру үшін, алдыңғы 1.2 – тақырыпта  көрсетілген екінші мысалдың теңдеулер  жүйесін қарастырайық:

         

          6Х₁ + 3Х₂ + 2Х₃ = q₁ ,                                        

          3Х₁ + 4Х₂ + Х₃ = q₂,                                                                         

          Х₁ + 2Х₂ + 2Х₃ = q₃ .

 

Бұл теңдеулер жүйесін  мына төменгі кесте түрінде жазайық.

1.1 – кесте 

                                     Х₁                                 Х₂                                         Х₃

6	3	2
3	4	1
1	2	2

 

            q₁  =  

            q₂  =   

             q₃ =     

Енді біз жоғарыда айтылған матрицаның қарапайым түсініктеріне  сүйене отырып, берілген есепті кесте арқылы шығарайық. Біздің мақсатымыз - Х₁ ,Х₂ және Х₃ – терді q₁, q₂  және q₃ – тер арқылы өрнектеу, былайша айтқанда Х-тер мен q – лердің орындарын ауыстыру.

Айталық, 1.1 – кестедегі q₁ мен Х₁ – дің орындарын ауыстыруға шешім қабылдансын. Бұл шешімнен кейін 1 – кестедегі Х₁ тұрған бағананы (таңдап алған бағананы) бағыттаушы бағана, q₁ тұрған жатық жолды (таңдап алған жол) бағыттаушы жол, ал q₁ мен Х₁ – дің қиылысуында тұрған элементті (бізідң жағдайда – 6) бағыттаушы элемент немесе бас элемент деп атаймыз. Жаңа кесте тұрғызамыз. Ол үшін мынадай әрекеттерді орындау қажет:

Кестені қайта сызамыз  да, Х₁ – дің орнына q₁ – ді , ал q₁ – дің орнына Х₁ – ді жазамыз. (1.2 – кесте).

 

 

1.2 – кесте 

                                q₁                     Х₂                                                  Х₃

1	-3	-2
3	15	0
1	9	10

 

           Х₁ =

           q₂  =   

             q₃ =     

q₁ бағана мен Х₁ жаттық жолдың қиылысындағы элементтің орнына 1 жазамыз. Бағыттаушы бағананың (бағыттаушы элементтен басқа) қалған элементтерін 2 –кестеге көшіріп жазамыз. Бағыттаушы жаттық жолдың (бағыттаушы элементтен басқа) қалған элементтерінің таңбасын керіге өзгертіп, оларды 1.2 – кестеге жазамыз. Кестенің қалған элементтерін тік бұрышты төртбұрыш ережесі бойынша анықтаймыз. Ол үшін анықтайын деп отырған элемент және бағыттаушы элемент төртбұрыштың екі диагоналінің біреулерінің төбелеріне жататындай етіп, ойша төртбұрыш құрамыз. Одан кейін алдыңғы кестедегі осы элементке сәйкес элемент пен бағыттаушы элементтің көбейтіндісінен төртбұрыштың екінші диагоналінің ұшында тұрған екі элементтің көбейтіндісін алып тастап, шыққан санды жаңа 2 –кестеге жазамыз.