Эконометрика как дисциплина

 

Тема 3. Линейные регрессионные 

модели с  переменной структурой

 

При изучении социально-экономических  процессов и явлений может  оказаться необходимым включить в модель фактор, имеющий два или более качественных уровня, например, образование, пол, фактор сезонности. Качественные признаки могут существенно влиять на структуру линейных связей между переменными и приводить к скачкообразному изменению параметров регрессионной модели. В этом случае говорят об исследовании регрессионных моделей с переменной структурой или построении регрессионных моделей по неоднородным данным.

Оценить влияние значений количественных переменных и уровней качественных признаков с помощью одного уравнения регрессии можно путем введения фиктивных переменных.

В качестве фиктивных  переменных обычно используются дихотомические (бинарные) переменные, которые принимают всего два значения: «0» и «1». Например, при исследовании зависимости заработной платы от уровня образования Z можно рассмотреть к-1 уровня: начальное образование, среднее и высшее. Обычно вводят (к-1) бинарную переменную. В нашем случае потребуется ввести две фиктивные переменные.

Тогда регрессионная  модель запишется в виде:

Где  

х₁,…х_т – экономические (количественные) переменные.

Наличие у работника  начального образования будет отражено парой значений z₁=0, z₂=0.

Параметры при фиктивных  переменных z₁ и z₂ представляют собой разность между средним уровнем результативного признака для соответствующей группы и базовой группы (в нашем примере это работники с начальным образованием).

При построении регрессионных  моделей по неоднородным данным необходимо выяснить, действительно ли две выборки однородны в регрессионном смысле, можно ли объединить их в одну и рассматривать единую модель регрессии?

Для ответа на этот вопрос можно воспользоваться тестом Г.Чоу.

По каждой выборке  строятся две линейные регрессионные  модели:

Проверяемая нулевая  гипотеза имеет вид – Н₀: b`=b``; D(ε`)= D(ε``)=σ²

Если нулевая гипотеза верна, то две регрессионные модели можно объединить в одну объем n=n₁+n₂.

Согласно критерию Г.Чоу  нулевая гипотеза Н₀ отвергается на уровне значимости α, если статистика

Где - остаточные суммы квадратов соответственно для объединенной, первой и второй выборок, n=n₁+n₂.

Для проверки гипотезы о  структурной стабильности тенденции  изучаемого временного ряда можно также использовать тест Д.Гуйарати.

 

Тема 4. Нелинейные модели регрессии и их линеаризаци.

 

Довольно часто соотношения  между социально-экономическими явлениями и процессами приходится описывать нелинейными функциями. Например, производственные функции (зависимость между объемом производства и основными факторами производства) или функции спроса (зависимость между спросом на товары или услуги и их ценами или доходом).

Следует различать модели, нелинейные по параметрам, и модели, нелинейные по переменным.

Для оценки параметров нелинейных моделей существует два основных подхода:

1. Первый подход основан  на линеаризации модели: преобразованием исходных переменных и введением новых, нелинейную модель можно свести к линейной, для оценки параметров которой используется метод наименьших квадратов.

2. Если подобрать соответствующее  линеаризующее преобразование не удается, то применяются методы нелинейной оптимизации на основе исходных переменных.

Если модель нелинейна  по переменным, то используется первый подход, т.е. вводятся новые переменные, и модель сводится к линейной:

Переходим к новым  переменным; и получаем линейное уравнение:

Более сложной проблемой  является нелинейность по оцениваемым параметрам. В ряде случаев путем подходящих преобразований эти модели удастся привести к линейному виду. Рассмотрим следующие модели, нелинейные по оцениваемым параметрам:

Степенная (мультипликативная) -

Степенная модель может  быть преобразована к линейной путем  логарифмирования обеих частей уравнения:

Замена переменных: В новых переменных модель запишется следующим образом:

Степенные модели получили широкое распространение в эконометрическом моделировании ввиду простой интерпретации параметров, которые представляют собой частные коэффициенты эластичности результативного признака по соответствующим факторным признакам.

Экспонента - ,

Экспоненциальная модель линеаризуется аналогично:

Переходя к новым  переменным получаем линейную регрессионную модель:

Гипербола

Гиперболическая модель линеаризуется непосредственной заменой переменной y=1/y:

Эти функции используются при построении кривых Энгеля, которые описывают зависимость спроса на определенный вид товаров или услуг от уровня доходов потребителей или от цены товара.

Логарифмическая модель:

При выборе формы уравнения  регрессии важно помнить, что  чем сложнее функция, тем менее  интерпретируемы ее параметры.

В качестве примера использования линеаризующего преобразования регрессии рассмотрим производственную функцию Кобба-Дугласа:

Где Y – объем производства, К – затраты капитала, L – затраты труда.

Путем логарифмирования обеих частей данную степенную модель можно свести к линейной:

Переходя к новым  переменным Y`=lnY, A`=lnA, K`=lnK, L`=lnL, ε`=lnε, получаем линейную регрессионную модель:

Эластичность выпуска  продукции.

Показатели α и β являются коэффициентами частной эластичности объема производства Y соответственно по затратам капитала К и труда L. Это означает, что с увеличением только затрат капитала (труда) на 1% объем производства возрастает на α% (β%):

 

Эффект от масштаба производства.

Если α и β  в сумме превышают  единицу, то говорят, что функция имеет возрастающий эффект от масштаба производства (это означает, что если К и L увеличиваются в некоторой пропорции, то Y растет в большей пропорции). Если их сумма равна единице, то это говорит о постоянном эффекте от масштаба производства. Если их сумма меньше единицы, то имеет место убывающий эффект от масштаба производства. Например, К и L увеличиваются в 2 раза. Найдем новый уровень выпуска (Y*):

Если α+β = 1,2, то 2^α+β=2,30, а Y увеличивается больше, чем в 2 раза.

Если α+β = 1, то 2^α+β=2, и Y увеличивается также в 2 раза.

Если α+β = 0,8, то 2^α+β=1,74, а Y увеличивается меньше, чем в 2 раза.

Первоначально Кобб и  Дуглас представляли функцию в виде т.е. предполагали постоянную отдачу от масштаба производства. Впоследствии это допущение было ослаблено.

Если в модели то функцию Кобба-Дугласа представляют в виде:

  или   

Таким образом, переходят  к зависимости производительности труда (Y/L) от его капиталовооруженности (K/L). Логарифмируя обе части уравнения, приводим его к линейному виду:

Функция Кобба-Дугласа  с учетом технического прогресса имеет вид:

,

где t — время, параметр — темп прироста объема производства благодаря техническому прогрессу.

 

Тема 5. Эконометрическое моделирование временных рядов

 

Временным рядом (динамическим рядом) называется набор значений какого-либо показателя за несколько последовательных моментов или периодов времени. Отдельные наблюдения называются уровнями ряда.

Целесообразно выделить следующие 4 типа факторов, под  воздействием которых формируются значения элементов временного ряда.

1.Долговременные, формирующие  общую (в длительной перспективе) тенденцию в изменении анализируемого признака у(t). Обычно эта тенденция описывается с помощью математической функции . Эту функцию называют трендом.

2.Сезонные, формирующие  периодически повторяющиеся в  определенное время года колебания анализируемого признака. Обозначим результат действия сезонных факторов с помощью функции . Поскольку эта функция должна быть периодической (с периодами, кратными «сезонам»), в ее аналитическом выражении участвуют гармоники, периодичность которых, как правило, обусловлена содержательной сущностью задачи.

3.Циклические, формирующие изменения анализируемого признака, обусловленные действием долговременных циклов экономической, демографической или астрофизической природы (волны Кондратьева, демографические «ямы», циклы солнечной активности и т.п.).

4.Случайные,  не поддающиеся учету и регистрации.  Их воздействие на формирование значений временного ряда как раз и обусловливает стохастическую природу элементов у_t , а, следовательно, и необходимость интерпретации у₁, у₂,..., у_n как наблюдений, произведенных над случайными величинами, соответственно, , ,..., . Будем обозначать результат воздействия случайных факторов с помощью случайных величин («остатков», «ошибок») .

Конечно, вовсе  не обязательно, чтобы в процессе формирования значений всякого временного ряда участвовали одновременно факторы всех четырех типов. Однако во всех случаях предполагается непременное участие случайных факторов.

Выводы о  том, участвуют или нет факторы  данного типа в формировании значений у_t , могут базироваться как на анализе содержательной сущности задачи (т.е. быть априорно-экспертными по своей природе), так и на специальном статистическом анализе исследуемого временного ряда.

Следует отметить, что  временные ряды качественно отличаются от простых статистических выборок. Эти отличия следующие:

• последовательные по времени уровни временных рядов являются взаимозависимыми, особенно это относится к близко расположенным наблюдениям;
• в зависимости от момента наблюдения уровни во временных рядах обладают разной информативностью: информационная ценность наблюдений убывает по мере их удаления от текущего момента времени;
• с увеличением количества уровней временного ряда точность статистических характеристик не будет увеличиваться пропорционально числу наблюдений, а при появлении новых закономерностей развития она может даже уменьшаться.

Анализ временных рядов, отражающих развитие экономических  процессов, начинается с оценки данных. Уровни исследуемого показателя обязательно должны быть сопоставимы, однородны и устойчивы. Количество наблюдений в них должно быть достаточно велико. Сопоставимость предполагает формирование всех уровней по одной и той же методике, использование одинаковой единицы измерения и шага наблюдений.

Самым распространённым способом моделирования тенденций  временного ряда является построение аналитической функции характеризующей зависимость уровней ряда от времени или тренда.

Временные ряды наблюденных показателей чаще всего  аппроксимируются следующими элементарными функциями: y=a+b_1*t (уравнение прямой линии); y=a+b_1*t+b_2*t² (парабола 2-го порядка); y=a+b_1*t+b_1*t²+b_3*t³ (парабола 3-го порядка); y=a+b_*ln(t) (логарифмическая); y=a_*t^b (степенная); y=a_*b^t (показательная); y=a+ (гиперболическая); y=1/(a+b_*e^-t) (логистическая); y=sin t и y=cos t (тригонометрическая). Возможно использование комбинированных функций.

Некоторые социально-экономические  процессы и объекты моделируются на основе тренда с помощью определенных функций. Например, демографические модели, модели спроса, модели урожайности и т.д.

Приведем примеры функций, которые используются для моделирования спроса:

1.у = а – функция  спроса не зависит от времени;

2.у = a + bt – функция спроса линейно зависит от времени;

3. - функция спроса циклично (периодично) зависит от времени;

4. - функция спроса линейно-циклично меняется во времени.

Выделение тренда может  быть произведено тремя методами: скользящей средней, укрупнения интервалов или аналитического выравнивания.

Под аналитическим выравниванием, которое используется наиболее часто, подразумевается определение основной проявляющейся во времени тенденции развития изучаемого явления.