Исследование заданного социально-экономического процесса с помощью практического применения эконометрического моделирования

Проанализируем теперь систему «факторы».

Матрица будет иметь вид:

R	1	0,98847	0,980111
	0,98847	1	0,994977
	0,980111	0,994977	1

 

 

 

Тогда, рассчитав матрицу , через элементы которой выражаются выборочные частные коэффициенты корреляции системы «факторы», получим:

 

F	45,91723	-60,8573	15,54759
	-60,8573	180,4463	-119,893
	15,54759	-119,893	105,0523

 

 

и найдем матрицу

R*	1	-0,66858	0,223858
	-0,66858	1	-0,8708
	0,223858	-0,8708	1

 

 

элементы которой указывают  на наличие в линейной модели проблемы мультиколлинеарности, поскольку значение превосходит

Но так как фактор х3 незначим, его можно исключить из линейной модели, что, возможно, позволит избежать проблемы мультиколинеарности и проблемы присутствия в модели незначимого фактора.

Тогда вместо модели следует употреблять  двухфакторную функцию регрессии.

В этом случаи система «показатель-фактор»  будет иметь вид

Проведя расчеты, аналогичные приведенным  выше получим:

А) частные коэффициенты корреляции будут равны

ry,*

0,967588

-0,96389

 

Сравнивая их с критическим значением  приходим к выводу о значимости всех факторов.

Б) матрица выборочных частных коэффициентов  корреляции системы «факторы»

R	1	0,98847
	0,98847	1

Указывает на наличие и в этой линейной модели проблемы мультиколлинеарности, поскольку значение r_12,*=0.988 превосходит критическое значение 0,707.

Убедимся теперь, что регрессионный  анализ линейной модели приведет к  аналогичным результатам. Модель имеет  вид:

.

 

Рассчитав отклонение функции регрессии  от заданных значений показателя , с помощью формулы (2.16) найдем

1055,109

 

Воспользовавшись результатами предыдущих расчетов из главы один, найдем

 

∑ = D(a)	39323,6	-78,9757	453,6014	-1626,42
	-78,9757	1,857368	-2,3696	2,546742
	453,6014	-2,3696	6,763186	-18,9041
	-1626,42	2,546742	-18,9041	69,683

 

Откуда

 

 

198,3018

1,362853

2,600613

8,347634

 

Тогда уравнение регрессии перепишется  в виде

 

Проверим значимость коэффициентов  уравнения регрессии с помощью  критерия , где находим при и числе степеней свободы , .

Тогда проверяя критерий, находим  что все коэффициенты, кроме того что стоит перед х3, значимы. Заметим, что этот результат совпадает с результатами корреляционного анализа  и свидетельствует о правильности проведенных расчетов.

Проверим значимость регрессионной  модели в целом. Получим:

29,6199

что намного превосходит  и значит уравнение регрессии в целом значимо. 

3 Многофакторные производственные  функции

Функция

называется производственной функцией Кобба-Дугласа. Для нее эластичность замещения ресурсов , т.е. при увеличении капиталовооруженности производства на 1% предельная норма их замещения также увеличивается на 1% независимо от объемов используемых ресурсов.

Для функции Кобба-Дугласа предельные производительности ресурсов

Коэффициенты эластичности выпуска  по затратам ресурсов

Как и следовало ожидать, сумма  коэффициентов эластичности

Из  следует, что предельные производительности обоих ресурсов положительны, т.е. увеличение затрат K и L приводит к росту выпуска. Предельные производительности обоих ресурсов прямо пропорциональны их средним производительностям, причем, коэффициентом пропорциональности в каждом случае служит показатель степени соответствующего ресурса.

 

В процессе производства, описываемом  функцией Кобба-Дугласа, ресурсы взаимозаменяемы, причем с ростом затрат одного ресурса  высвобождается все большее количество другого. Линии уровня функции имеют вид, представленный на рисунке.

Формула Кобба-Дугласа  является частным случаем более общей формулы:

где показатели эластичности выпуска  по затратам капитала и труда 

не связаны между собой. Можно предположить, что обе величины и находятся между и . Показатели и больше нуля, так как увеличение затрат ресурсов и должно вызвать рост выпуска . С другой стороны, и меньше единицы, так как разумно предположить, что увеличение затрат и приводит к более медленному росту выпуска продукции (затраты других ресурсов предполагаются постоянными).

Производственная функция Кобба–Дугласа (3.5) является однородной, причем

Если по отдельности показатели эластичности и указывают на процентное увеличение (или уменьшение) выпуска при однопроцентных колебаниях величин капитала и труда , то сумма отразит уже общую реакцию производства на указанные изменения затрат. Степень однородности характеризует эффект от масштаба производства.

Пусть,  например, затраты и возросли в пропорции , т.е. расход и капитала, и труда увеличился на . Тогда новый уровень выпуска

.

При имеем постоянный эффект от масштаба производства ( увеличивается в той же пропорции, что и , и ), наблюдается постоянная отдача факторов. Если , то рост производства превышает отметку. В подобных случаях (при возрастании и в некоторой пропорции выпуск растет в большей пропорции) говорят о возрастающем эффекте от масштаба производства или положительном эффекте масштаба. Его экономический смысл заключается в повышении эффективности производства под воздействием концентрации ресурсов, кооперации труда. Если же , то рост выпуска не достигает отметки. Налицо убывающий эффект от масштаба производства ( растет в меньшей пропорции, чем и ) или отрицательный эффект масштаба: наращивание затрат ресурсов оборачивается снижением их продуктивности. Подобное бывает, например, при переконцентрации производства, когда его размеры выходят за оптимальные границы.

 

Построение модели типа Кобба-Дугласа

Построим модель, аппроксимирующую данные заданного варианта, в виде производственной функции типа Кобба-Дугласа:

Как уже было сказано выше, для  оценки неизвестных коэффициентов  необходимо линеаризировать модель.

Пусть

Тогда исходная модель путем логарифмирования преобразуется в линейную модель

.

Проведем корреляционный анализ системы  «показатель-факторы» для заданного  варианта задания.

Сначала вычислим полную корреляционную матрицу, составленной из выборочных парных коэффициентов корреляции. Проведя необходимые расчеты, получим:

 

K	1	0,268145	0,144181	0,170311
	0,268145	1	0,991519	0,986619
	0,144181	0,991519	1	0,992292
	0,170311	0,986619	0,992292	1

 

 

 

Анализ матрицы  свидетельствует о сильной значимости некоторых выборочных парных коэффициентов корреляции, ввиду высоких значений парных коэффициентов корреляции, являющихся элементами этой матрицы.

Систему «показатель-факторы» будем  характеризовать выборочными частными коэффициентами корреляции . Для их вычисления рассчитаем значения матрицы :

 

 

Z	20,7729	-152,401	157,6712	-9,63192
	-152,401	1179,07	-1206,41	59,77588
	157,6712	-1206,41	1302,31	-128,856
	-9,63192	59,77588	-128,856	71,52733

 

 

 

Зная ее рассчитаем искомые частные  коэффициенты корреляции:

ry,*

0,9738

-0,95862

0,249878

 

Для того, чтобы определить, какие  факторы значимо влияют на изучаемый  показатель найдем . При уровне значимости и числе степеней свободы , . Тогда из критерия , видим, что все факторы, кроме х3, значимо влияют на стоимость выпущенной продукции .

Проанализируем теперь систему «факторы».

Матрица будет иметь вид:

R	1	0,991519	0,986619
	0,991519	1	0,992292
	0,986619	0,992292	1

 

 

Тогда, рассчитав матрицу  , через элементы которой выражаются выборочные частные коэффициенты корреляции системы «факторы», получим:

 

F	60,97398	-49,6517	-10,889
	-49,6517	105,5485	-55,7476
	-10,889	-55,7476	67,06123

 

 

 

и найдем матрицу

R*	1	-0,61892	-0,17029
	-0,61892	1	-0,66262
	-0,17029	-0,66262	1

 

 

 

элементы которой указывают  на отсутсвии в линейной модели проблемы мультиколлинеарности, поскольку значение не превосходят

Оцененная, с помощью  формул приведенных выше, регрессия приобретает вид:

 

Проверим значимость коэффициентов  уравнения регрессии с помощью  критерия , где находим при и числе степеней свободы , .

Находим, что все факторы, кроме х3, значимы в уравнении регрессии. Заметим, что этот результат совпадает с результатами корреляционного анализа и свидетельствует о правильности проведенных расчетов.

 

Выводы

В данной работе были построены и  исследованы две модели, аппроксимирующие исходные данные: в виде линейной функции  регрессии и в виде производственной функции типа Кобба-Дугласа, которые  отражали зависимость стоимости выпущенной продукции от объема основных фондов, величины материальных затрат и фонда заработной платы.

Для обеих моделей оказалось, что на исследуемый показатель значимо влияют факторы х1, х2, а фактор х3 не значителен.

Для линейной регрессии было получено следующее выражение

а для линеаризированной производственной функции типа Кобба-Дугласа:

Как видим, коэффициент детерминации линейной регрессии незначительно выше, поэтому можно считать эти модели равнозначными. И во второй модели гораздо меньшие стандартные ошибки коэффициентов модели, что является важным фактором, влияющим на качество конструируемой модели, поэтому выберем именно ее для проведения дальнейших исследований.