Исследование заданного социально-экономического процесса с помощью практического применения эконометрического моделирования

Министерство образования  и науки, молодежи и спорта Украины 

Сумской государственный  университет

Кафедра моделирования  сложных систем

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Курсовая работа

по дисциплине «Моделирование экономических, экологических и социальных процессов»

по теме: «Исследование заданного социально-экономического процесса с помощью практического применения эконометрического моделирования»

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Выполнила:                  студентка

группы ИН-91

Татарченко А. С.

Вариант 28

 

Проверил:         Назаренко А. М.

 

 

 

 

 

Сумы 2013 

Содержание

 

 

 

Постановка задачи

Провести исследование заданного  социально-экономического процесса с  помощью практического применения эконометрического моделирования, используя его для качественного и количественного оценивания социально- экономических явлений, и нахождение модели, наиболее адекватно описывающей предложенный процесс.

По ходу выполнения работы должны быть раскрыты следующие вопросы.

1. Теория применения линейных производственных функций (ПФ) вида

при моделировании социально-экономических  процессов.

2. Практическое применение линейных производственных функций при моделировании заданного процесса на примере данных своего варианта:

а) построение однофакторной, двухфакторной и трехфакторной ПФ и оценивание их качества приближения с помощью коэффициента детерминации ;

б) формулировка выводов, объясняющих полученные результаты.

3. Теоретические основы проведения корреляционного анализа систем «показатель — факторы» и «факторы».
4. Проведение корреляционного анализа систем «показатель-факторы» и «факторы» на данных своего варианта.
5. Проведение регрессионного анализа линейной трехфакторной ПФ.
6. Теория применения ПФ типа Кобба-Дугласа вида

при моделировании социально-экономических  процессов.

7. Построение ПФ типа Кобба-Дугласа на примере данных своего варианта и оценивание ее качества приближения с помощью коэффициента детерминации .
8. Проведение корреляционного и регрессионного анализа линеаризированной ПФ типа Кобба-Дугласа.
9. Сравнение линейной модели и функции типа Кобба-Дугласа, выявление наиболее адекватной модели и описание ее с экономической точки зрения.

В таблице приведены статистические данные о стоимости выпущенной продукции ( , тыс. грн), объеме основных фондов ( , тыс. грн), материальных затратах на выпуск продукции ( ,тыс. грн), фонде заработной платы ( , тыс. грн) некоторого предприятия за несколько лет.

Для заданного варианта необходимо выполнить задания курсовой работы (приведенные выше), придерживаясь  требований по содержанию и правил оформления, которые даны ниже.

Вариант № 28

	491,91	464,01	462,27	444,61	384,97	543,98	406,03	474,7	614,56
	87,27	109,32	126,62	148,23	161,89	193,6	201,81	231,92	258,02
	76,19	102,46	119,37	144,98	172,41	183,7	214,74	231,25	246,28
	41,77	45,83	50,7	56,08	65,44	68,08	74,67	75,35	81,23

 

 

Введение

Данная курсовая работа должна помочь систематизировать, закрепить и расширить теоретические знания, предоставляет возможность применить на практике совокупности математических методов, используемых для количественной оценки социально-экономических явлений и процессов,  подготовить к прикладным исследованиям в области экономики, развить аналитических навыки, овладеть навыками эмпирического вывода социально-экономических законов и элементами самостоятельной исследовательской работы.

Курсовая  работа должна показать сущность социально-экономического моделирования как науки, расположенной между экономикой, статистикой и математикой; научить студентов использовать данные или наблюдения для построения количественных зависимостей и социально-экономических соотношений, для выявления связей, закономерностей и тенденций развития социально-экономических явлений, выработать у студентов умение формировать социально- экономические модели, основываясь на экономической теории или на эмпирических данных, оценивать неизвестные параметры в этих моделях, делать прогнозы и оценивать их точность, давать рекомендации по социально-экономической политике и хозяйственной деятельности.

 

 

1 Линейные регрессионные уравнения

Будем исходить из того, что между  объясняемой и объясняющими переменными  выбрана линейная связь. Имеем

Здесь – фиктивная переменная, введённая для удобства; слагаемое отражает влияние на других факторов, ошибки измерений, ошибки выбора модели.

Пусть с  целью исследования линейной связи  проведена выборка объёма . Тогда для наблюдаемых величин можно записать

В системе  уравнений постоянные коэффициенты неизвестны и должны быть оценены (приближенно вычислены).

Если  – возможные оценки (приближенные значения) параметров , то функция регрессии, соответствующая модели, имеет вид

Отклонения выборочных данных от неё определяются величинами

Отметим, что  несмещенной оценкой неизвестной  дисперсии возмущений является выборочная дисперсия

где – число связей, накладываемых функцией регрессии на выборку. Следуя положениям § 3.3 [1], заключаем, что , т.е. общее число связей равно числу оценок, от которых зависит функция регрессии.

Критерием выбора оценок в математической статистике является условие минимума дисперсии, которое при фиксированном значении эквивалентно условию минимума функции ошибок

Имеем

В результате для определения МНК-оценок приходим к системе линейных уравнений с неизвестными

Предполагая, что определитель системы уравнений  отличен от нуля, из нее находим единственные значения оценок , которые и обеспечивают минимальные значения функции ошибок и выборочной дисперсии возмущений .

Таким образом, функция регрессии, соответствующая  МНК-оценкам  , имеет вид

Несмещенной оценкой неизвестной дисперсии является МНК-оценка

 

Матричный способ оценки

Процесс оценивания регрессионной модели при  является довольно громоздким, поскольку приходится вычислять большое число сумм и решать системы уравнений с тремя и более неизвестными, что без использования ЭВМ весьма затруднительно. Если же в распоряжении пользователя ЭВМ имеются стандартные программы, позволяющие осуществлять действия над матрицами, то регрессионный анализ значительно упрощается.

Запишем регрессионное соотношение для наблюдаемых величин в развёрнутом виде

Здесь для всех . Матричная запись системы уравнений такова:

где

 

В линейных регрессионных моделях предполагается, что выборочные наблюдения  должны быть такими, чтобы число степеней свободы было больше , и чтобы матрица имела полный столбцевой ранг . Из курса линейной алгебры известно, что в этом случае ранг транспонированной матрицы также равен , а симметричная матрица размерности

имеет ранг, равный , и, следовательно, существует обратная матрица .

Нетрудно заметить, что система  линейных уравнений, из которой определяются МНК-оценки , может быть записана в виде

откуда находим вектор-столбец  искомых МНК-оценок. Имеем

Таким образом, вектор-оценку можно определять двумя способами: либо решая систему линейных уравнений, либо пользуясь формулой.

Далее получаем

 

 

Коэффициент детерминации

Качество регрессионной модели будем характеризовать коэффициентом  детерминации, который в случае линейной регрессии обозначается и равен квадрату выборочного коэффициента корреляции между двумя рядами наблюдений - экспериментальными значениями показателя и его расчётными значениями .

Можно показать, что 

.

Значение  (в процентах) означает, что линейная модель объясняет всей дисперсии показателя, остальные не обусловлены линейной моделью.

Из формулы  вытекает следующее: минимизация функции ошибок по методу наименьших квадратов эквивалентна максимизации коэффициента детерминации . Чем ближе при прочих равных условиях значение к единице, тем лучше оценено регрессионное уравнение, и, следовательно, лучше качество полученной модели.

 

 

Рассмотрим построения множественной, используя матричный способ оценивания неизвестных коэффициентов, по которому вектор оценок вычисляется согласно формуле:

Для однофакторного регрессионного уравнение вида

имеем следующее:

.

Проведем вычисления по формуле

X	1	87,27	Y	491,91
	1	109,32		464,01
	1	126,62		462,27
	1	148,23		444,61
	1	161,89		384,97
	1	193,6		543,98
	1	201,81		406,03
	1	231,92		474,7
	1	258,02		614,56

 

тогда:

a = (X'X)-1X'y	392,714
	0,495571

 

 

Таким образом, оцененное однофакторное  уравнение регрессии имеет вид

.

Для того, чтобы оценить качество, с которым данное уравнение аппроксимирует исходные данные, используем коэффициент детерминации .

 

Полученное значение указывает на то, что модель объясняет исходных значений, а остальные носят случайный характер.

Рассмотрим теперь двухфакторное регрессионное уравнение вида

.

Проведем вычисления по формуле

 

X	1	87,27	76,19	Y	491,91
	1	109,32	102,46		464,01
	1	126,62	119,37		462,27
	1	148,23	144,98		444,61
	1	161,89	172,41		384,97
	1	193,6	183,7		543,98
	1	201,81	214,74		406,03
	1	231,92	231,25		474,7
	1	258,02	246,28		614,56

 

тогда:

a = (X'X)-1X'y	341,1989
	7,483328
	-6,80479

 

 

Таким образом, оцененное двухфакторное  уравнение регрессии имеет вид

.

Для того, чтобы оценить качество, с которым данное уравнение аппроксимирует исходные данные, используем коэффициент детерминации .

Полученное значение указывает  на то, что данное уравнение объясняет  исходных значений, а остальные 6 носят случайный характер.

Рассмотрим теперь трехфакторное  регрессионное уравнение вида

.

Проведем вычисления по формуле

X	1	87,27	76,19	41,77	Y	491,91
	1	109,32	102,46	45,83		464,01
	1	126,62	119,37	50,7		462,27
	1	148,23	144,98	56,08		444,61
	1	161,89	172,41	65,44		384,97
	1	193,6	183,7	68,08		543,98
	1	201,81	214,74	74,67		406,03
	1	231,92	231,25	75,35		474,7
	1	258,02	246,28	81,23		614,56