Шпаргалка по "Эконометрике"

4) Включаемые в исследование  факторы должны быть независимы  друг от друга, т.к. наличие тесной связи между ними свидетельствует о том, что они характеризуют одни и те же стороны изучаемого явления и дублируют друг друга.

Корреляционный анализ позволяет  с помощью выборки делать выводы о степени статистической связи между признаками.

В качестве мер связи между признаками чаще всего используется принцип ковариации и принцип сопряженности.

Принцип ковариации: наличие связи между переменными утверждается, если увеличение значения одной переменной сопровождается устойчивым увеличением или уменьшением другой переменной. 

Принцип сопряженности: эта группа мер связи направлена на выяснение следующего факта – появляются ли некоторые значения одного признака одновременно с определенными значениями другого чаще, чем это можно объяснить случайным стечением обстоятельств.

Задачи корреляционно-регрессионного анализа сводятся к измерению тесноты известной связи между варьирующими признаками, определению неизвестных причинных связей (причинный характер которых должен быть выяснен с помощью теоретического анализа) и оценки факторов, оказывающих наибольшее влияние на результативный признак.

Изучение корреляционной связи имеет 2 цели:

1) Измерение параметров уравнения, выражающего связь средних значений зависимой переменной со значениями независимой переменной;

2) Измерение тесноты связи двух или большего числа признаков между собой.

Основным методом решения задачи нахождения параметров уравнения связи  является метод наименьших квадратов (МНК), разработанный К.Ф.Гауссом (1777-1855), а был предложен Лежандром. В простейшем случае он формулируется так: Результат  yi  повторяющихся измерений можно рассматривать как сумму неизвестной величины x и ошибки измерения ej:

 

 

 

11.Использование  метода Фишера для оценки значимости  регрессии. Коэффициент детерминации.

При анализе адекватности уравнения регрессии (модели) исследуемому процессу, возможны следующие варианты:

1. Построенная модель на  основе F-критерия Фишера в целом адекватна и всекоэффициенты регрессии значимы. Такая модель может быть использована для принятия решений и осуществления прогнозов.

2. Модель по F-критерию  Фишера адекватна, но часть коэффициентов  не значима. Модель пригодна для принятия некоторых решений, но не для прогнозов.

3. Модель по F-критерию  адекватна, но все коэффициенты регрессии не значимы. Модель полностью считается неадекватной. На ее основе не принимаются решения и не осуществляются прогнозы.

Проверить значимость (качество) уравнения регрессии–значит установить, соответствует ли математическая модель, выражающая  зависимость между переменными, экспериментальным данным, достаточно ли включенных в уравнение  объясняющих  переменных для описания зависимой переменной. Чтобы иметь общее суждение о качестве модели, по каждому наблюдению из относительных отклонений определяют среднюю ошибку аппроксимации. Проверкаадекватности уравнения регрессии (модели) осуществляется с помощью средней ошибки аппроксимации, величина которой  не должна превышать 10-12% (рекомендовано).

Оценка значимости уравнения  регрессии в целом производится на основе F-критерия Фишера, которому предшествует дисперсионный анализ. В математической  статистике  дисперсионный  анализ  рассматривается  как самостоятельный  инструмент  статистического  анализа. В эконометрике он применяется как вспомогательное средство для изучения  качества регрессионной модели. Согласно основной идее дисперсионного анализа, общая сумма квадратов  отклонений  переменной  (y) от среднего значения  (y_ср.)  раскладывается на две части – «объясненную»и «необъясненную»:

Схема дисперсионного анализа имеет следующий вид:

(n –число наблюдений,  m–число параметров при переменной  x)

Определение  дисперсии  на  одну  степень  свободы  приводит  дисперсии к  сравнимому  виду.  Сопоставляя  факторную  и  остаточную  дисперсии  в расчете на одну степень свободы, получим величину  F-критерия Фишера. Фактическое  значение  F -критерия  Фишера  сравнивается  с табличным значением F_табл. (α, k₁, k₂)  при заданном уровне значимости α и степенях свободы k₁= m и k₂=n-m-1.  При  этом,  если  фактическое  значение  F-критерия  больше  табличного F_факт > F_теор, то  признается статистическая  значимость уравнения в целом. Для парной линейной регрессии m=1 , поэтому:

12. Гетероскедастичность, способы обнаружения и исправления.  Метод взвешенных наименьших  квадратов.

Гетероскедастичность — понятие, используемое в эконометрике, означающее неоднородность наблюдений, выражающуюся в неодинаковой (непостоянной) дисперсии случайной ошибки регрессионной (эконометрической) модели. Гетероскедастичность противоположна понятию гомоскедастичность, которое означает однородность наблюдений, то есть постоянство дисперсии случайных ошибок модели.

Наличие гетероскедастичности случайных ошибок приводит к неэффективности оценок, полученных с помощью метода наименьших квадратов. Кроме того, в этом случае оказывается смещённой и несостоятельной классическая оценка ковариационной матрицы МНК(Метод наименьших квадратов)-оценок параметров. Следовательно статистические выводы о качестве полученных оценок могут быть неадекватными. В связи с этим тестирование моделей на гетероскедастичность является одной из необходимых процедур при построении регрессионных моделей.

Если дисперсия остатков изменяется для каждого наблюдения или группы наблюдений, т.е. , где, в общем случае, - неизвестный параметр, а S- известная симметричная положительно определенная матрица, то такое явление называется гетероскедастичностью. Если же , то имеем гомоскедастичность.

 В случае простой  однофакторной модели  устранить гетероскедастичность просто. Достаточно левую и правую часть модели поделить на X. Для многофакторной модели такое преобразование значительно усложняется.

      Для проверки  наличия гетероскедастичности используют  четыре метода, в зависимости  от природы исходных данных: критерий  , параметрический тест Гольдфельда-Квандта, непараметрический тест Гольдфельда-Квандта, тест Глейсера. Приведем алгоритмы каждого из методов.

      Критерий  применяется в случае значительной совокупности исходных данных.

Шаг 1. Значения показателя Y разбиваются на k групп в соответствии с изменениями уровня величины Y (по возрастанию, например).

Шаг 2. По каждой группе данных вычисляем сумму квадратов отклонений , .

Шаг 3. Определим сумму  квадратов отклонений в целом  по совокупности наблюдений:

, де  - количество элементов в r- й группе.

Шаг 4. Вычислим параметр   ,  де  n - количество наблюдений.

 

Шаг 5. Вычислим значение критерия , который приблизительно отвечает распределению со степенью свободы k-1, если дисперсия всех наблюдений однородна.

Таким образом, если значение не меньше табличного значения при выбранном уровне доверия и степени свободы k-1, то принимается гипотеза о наличии гетероскедастичности.

 

      Параметрический  тест Гольдфельда-Квандта применяется,  если количество наблюдений невелико  и сделано предположение о  том, что дисперсия остатков  возрастает пропорционально квадрату  одной из независимых переменных, т.е.  .

Шаг 1. Упорядочить наблюдения в соответствии с величиной элементов  вектора Xk, для которого предположительно выполняется вышеприведенное равенство.

Шаг 2.  Исходя из соотношения  , предложенного авторами метода, где n - количество элементов Xk, выбросить c наблюдений, которые находятся в средине вектора.

Шаг 3. Согласно МНК построить  две эконометрические модели по двум полученным совокупностям наблюдений размером n-c/2, естественно при условии, что   n-c/2>m, где m - количество независимых факторов, присутствующих в модели.

Шаг 4. Найти сумму квадратов  остатков для первой и второй моделей: и   .

Шаг 5. Вычислить значение критерия , который соответствует F- критерию со степенями свободы.

Таким образом, если , то гипотеза об отсутствии гетероскедастичности принимается.

Метод наименьших квадратов (МНК) — один из базовых методов регрессионного анализа для оценки неизвестных параметров регрессионных моделей по выборочным данным. Метод основан на минимизации суммы квадратов остатков регрессии. Взвешенный МНК. В случае диагональной весовой матрицы (а значит и ковариационной матрицы случайных ошибок) имеем так называемый взвешенный МНК. В данном случае минимизируется взвешенная сумма квадратов остатков модели, то есть каждое наблюдение получает «вес», обратно пропорциональный дисперсии случайной ошибки в данном наблюдении: . Фактически данные преобразуются взвешиванием наблюдений (делением на величину, пропорциональную предполагаемому стандартному отклонению случайных ошибок), а к взвешенным данным применяется обычный МНК.

 

 

 

 

13. Нелинейные модели  регрессии и линеаризация

Различают два класса нелинейных регрессионных моделей:

- модели, нелинейные относительно фактора, но линейные по параметрам;

- модели нелинейные по  параметрам.

Модели, нелинейные относительно факторов, но линейные по параметрам. Введением новых переменных такую модель можно свести к линейной, для оценки параметров которой используется обычный метод наименьших квадратов.

Рассмотрим примеры линеаризующих  преобразований:

1) Полиномиальная модель: .

Соответствующая линейная модель: , где .

2) Гиперболическая модель: .

Соответствующая линейная модель: , где .

3) Логарифмическая модель: .

Соответствующая линейная модель: , где .

Полиномами второго порядка  описывается зависимость урожайности  от количества внесенных удобрений. Гиперболическая модель может быть использована для характеристики связей между нормой безработицы и процентом  прироста заработной платы (кривая Филлипса). Логарифмическая модель может быть использована для описания доли расходов на товары длительного пользования (кривая Энгеля) в зависимости от общих сумм расходов.

Модели нелинейные по параметрам. Среди таких моделей выделяют нелинейные модели внутренне линейные и нелинейные модели, внутренне нелинейные. Модели внутренне линейные можно привести к линейному виду с помощью соответствующих преобразований.

Примеры внутренне линейных моделей и их линеаризация:

1) Мультипликативная степенная  модель: .

Линеаризующее преобразование:

 

или

,

где .

2) Экспоненциальная модель: .

Линеаризующее преобразование: .

3) Обратная регрессионная  модель: .

Линеаризующее преобразование: .

К моделям, полученным после  проведения линеаризующих преобразований можно применять обычные методы исследования линейной регрессии. Но поскольку  в них присутствуют не фактические  значения изучаемого показателя, то оценки параметров получаются несколько смещенными. При анализе линеаризуемых функций  регрессии, следует особенно тщательно  проверять выполнение предпосылок  метода наименьших квадратов.

 

14. Коэффициент эластичности

Коэффициент эластичности показывает степень количественного изменения одного фактора (например, объема спроса или предложения) при изменении другого (цены, доходов или издержек) на1%.

Методы подсчета коэффициента эластичности

При подсчете коэффициента эластичности используют два основных метода:

Эластичность  по дуге (дуговая эластичность) — применяется при измерении эластичности между двумя точками на кривой спроса или предложения и предполагает знание первоначальных и последующих уровней цен и объемов.   P1- начальная ценаP2- нов.ц. Q1-началь оюъем Q2- нов объем

Эластичность в  точке (точечная эластичность) — используется в том случае, когда задана функция спроса (предложения) и исходный уровень цены и величины спроса (или предложения). Данная формула характеризует относительное изменение объема спроса (или предложения) при бесконечно малом изменении цены (или какого-либо другого параметра). , где — производная функции спроса (или предложения) по цене; — рыночная цена; — величина спроса (или предложения) при данной цене.

 

 

15.МНОЖЕСТВЕННАЯ  РЕГРЕССИЯ

Парная регрессия может  дать хороший результат при моделировании, если влиянием других факторов, воздействующих на объект исследования, можно пренебречь. Если же этим влиянием пренебречь нельзя, то в этом случае следует попытаться выявить влияние других факторов, введя их в модель, т.е. построить  уравнение множественной регрессии

y = f (x1, x2, …, xm)

где  y  – зависимая переменная (результативный признак),

xi – независимые, или объясняющие, переменные (признаки-факторы).

Множественная регрессия  широко используется в решении проблем  спроса, доходности акций, при изучении функции издержек производства, в  макроэкономических расчетах и целом  ряде других вопросов эконометрики. В  настоящее время множественная  регрессия – один из наиболее распространенных методов в эконометрике. Основная цель множественной регрессии –  построить модель с большим числом факторов, определив при этом влияние  каждого из них в отдельности, а также совокупное их воздействие  на моделируемый показатель.