Количественный подход к планированию, сетевое планирование и управление

действительной, т.е. требующей  затрат времени;

фиктивной, т.е. формально  не требующей затрат времени.

Фиктивная работа может реально существовать, например, "передача документов от одного отдела к другому". Если продолжительность такой работы несоизмеримо мала по сравнению с продолжительностью других работ проекта, то формально ее принимают равной 0. Существуют фиктивные работы, которым в реальности не соответствуют никакие действия. Такие фиктивные работы только представляют связь между другими работами сетевой модели.

Работы связаны друг с другом таким образом, что выполнение одних работ может быть начато только после завершения некоторых других. Событие – это момент времени, когда завершаются одни работы и начинаются другие. Событие представляет собой результат проведенных работ и, в отличие от работ, не имеет протяженности во времени.

Взаимосвязь работ и  событий, необходимых для достижения конечной цели проекта, изображается с помощью сетевого графика (сетевой модели). Работы изображаются стрелками, которые соединяют вершины, изображающие события. Начало и окончание любой работы описываются парой событий, которые называются начальным и конечным событиями.

Поэтому для указания конкретной работы используют код работы , состоящий из номеров начального (i-го) и конечного (j-го) событий.

 

Любое событие может  считаться наступившим только тогда, когда закончатся все входящие в  него работы. Поэтому работы, выходящие из некоторого события, не могут начаться, пока не будут завершены все работы, входящие в это событие. Событие, не имеющее предшествующих ему событий, т.е. с которого начинается проект, называют исходным. Событие, которое не имеет последующих событий и отражает конечную цель проекта, называется завершающим.⁴

2. Практические примеры применение сетевого планирования и управления

2.1. Сетевые модели в оптимизации процессов и принятии управленческих решений

 

Четыре фабрики получают заказ на производство четырех типов игрушек. В следующей таблице показано, какие игрушки должна производить каждая фабрика.

 

Игрушки, которые должна производить каждая фабрика

Фабрика	Тип игрушки
1	1, 2, 3
2	2, 3
3	1, 4
4	3, 4

 

Ежедневные производственные возможности фабрик составляют 250, 180, 300 и 100 штук игрушек соответственно. Ежедневный спрос на игрушки четырех типов составляет 200, 150, 350 и 100 штук. Разработайте производственный план, максимально удовлетворяющий спрос на игрушки.

Чтобы найти оптимальное решение задачи, нужно составить задачу, как сетевую.

Предположим, что при составлении  некоторого проекта выделено 12 событий: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12 и 21 связывающие их работы: (1, 2), (1, 3), (1,4), (2, 5), (3, 6), (4, 7), (4, 8), (4, 11), (5, 9), (6, 8), (6, 9), (7, 11), (8, 7), (8, 9), (8, 10), (8, 11), (9, 10), (9, 12), (10, 12), (11, 10), (11, 12). Необходимо составить сетевой график, а так же для сетевого графика найти критический путь.

Исходным событием сетевого графика является событие 1 (ему не предшествуют никакие работы), а завершающим – событие 12 (за ним не следует ни одна работа). Поместим событие 1 в левую часть графика, а событие 12 – в правую часть, разместив между ними промежуточные события в некотором порядке, соответствующем их номерам  
(рисунок 2.1). События свяжем работами-стрелками в соответствии с перечнем работ.

 

 

Рисунок 2.1 – Сетевой  граф

Построенный сетевой  график удовлетворяет сформулированным правилам, предъявляемым к его построению.

Получили сетевой график (рисунок 2.2), в котором над стрелками  указана продолжительность соответствующих  работ (в секундах).

Одно из важнейших  понятий сетевого графика - понятие  пути. Путь - любая последовательность работ, в которой конечное событие каждой работы совпадает с начальным событием следующей за ней работы. Среди различных путей сетевого графика наибольший интерес представляет полный путь L – любой путь, начало которого совпадает с исходным событием сети, а конец - с завершающим.

Наиболее продолжительный  полный путь в сетевом графике  называется критическом. Критическими называются также работы и события, расположенные на этом пути.

 

 

  4

 5 

  8 8 6 15

  10 7   3

 13 11  9 13

    10

 9 15  10  5  12

 3   7

17

Рисунок 2.2 – Оптимальный  путь (min)

 

Для рассматриваемого сетевого графика (рисунок 1.2) полными путями будут: путь 1-2-5-9-12 продолжительностью 8+5+4+15=32 секунды, путь 1-3-6-9-10-12 продолжительностью 13+10+8+6+13=50 секунд, путь 1-3-8-7-11-12 продолжительностью 13+11+10+7+12=53 секунды, путь 1-4-7-11-12 продолжительностью 9+3+7+12=31 секунда и т.д.

Можно убедиться в  том, что последний путь имеет  наименьшую продолжительность (не только среди приведенных четырех полных путей, но и среди всех полных путей), поэтому он и является критическим (способ определения критического пути, основанного на полном переборе всех полных путей сетевого графика). Продолжительность критического пути составляет 31 секунда, т.е. для проведения комплекса работ понадобятся 31 секунда. Быстрее комплекс выполнить нельзя, так как для достижения завершающего события критический путь надо пройти обязательно.

Действительно, для достижения события 12 надо выполнить работу (11, 12), т.е. достичь события 11; для достижения события 11 надо провести работу (7, 17), т.е. достичь события 7; для достижения события 7 надо провести работу (4, 7), т.е. достичь события 4, и т.д.

Определив критический  путь, мы тем самым установили критические события сети 1, 4, 7, 11, 12 и критические работы (1, 4), (4, 7), (7, 11), (11, 12).

Стоимость первоначального  варианта сетевого графика или плана  по формуле (1.4) равна сумме стоимостей всех работ:

С=694+50+45+…+35+10=1216 (усл.руб)

Стоимость нового плана равна С-ΔС=1216-293=923 (усл.руб), т.е. уменьшилась почти на 25 %. Нетрудно убедиться в том, что появились новые критические пути длиной t_кр=31 (суток), например: 1-3-4-7-10-11-12; 1-3-5-8-9-11; 1-3-4-6-7-10-11; 1-3-5-6-8-9-11 и т.д.

2.2. Модели сетевого планирования в финансовом планировании

 

Несколько человек решили основать брокерскую фирму для игры на бирже с ценными бумаги. Брокеры  работали по свободной финансовой системе, что позволяло им проводить многочисленные сделки между самими брокерами, включая покупку и продажу ценных бумаг, предоставление денежных ссуд и займов под проценты. Для всей этой группы брокеров, в целом, основным источником доходов были комиссионные, получаемые от продажи ценных бумаг сторонним клиентам.

Со временем эти спекулятивные сделки вышли из-под контроля, что привело всех брокеров к банкротству. К тому же, финансовое положение брокерской фирмы было таково, что все деньги брокеров были вложены во внешних клиентов и сделки между самими брокерами, причем таким образом, что практически каждый брокер стал должником другого.

Брокеры, чьи активы позволяли  погасить долги, были объявлены платежеспособными. Остальные через судебные инстанции  должны были погасить свои долги в  интересах сторонних клиентов. Поскольку  активы и авуары несостоятельных брокеров меньше общего объема долгов, долги погашаются пропорционально их объемам.

Из-за финансовых затруднений  неплатежеспособной группы брокеров судебные инстанции постановили, что заключенные  ранее сделки должны выполняться  только для удовлетворения определенных судом требований, поскольку брокеры не имеют собственных источников капитала.

В частности, судебные инстанции  требуют свести количество погашаемых сделок между брокерами к минимуму. Это означает, что если брокер А  должен брокеру В сумму X, а брокер В – брокеру А сумму Y, то эти взаимные долги сведутся к одному с суммой долга |Х – Y|. Эта сумма считается долгом А перед В, если X > Y, и долгом В перед А, когда X < Y. Если X = Y, долг погашен. Эта идея погашения взаимных долгов распространяется на все долги между брокерами.

Каковы ваши предложения  по выходу из данной финансовой ситуации?

В частности, ответьте на следующие вопросы.

1. Как рассчитать доли  возвращаемых долгов?

2. К какому минимальному  количеству можно свести взаимные  долги между брокерами?

Построим сетевую модель и календарный график по указанным  в таблице 2.2 данным.

Таблица 2.2 – Создание проекта

Номера работ (операций)	Каким работам предшествует	Продолжительность работ	Потребность в трудресурсах
1	2	9	2
2	3, 4, 5	8	1
3	6	8	9
4	8	9	5
5	7	13	1
6	7	12	4
7	10, 12	14	4
8	9, 10	12	3
9	10, 12	14	8
10	11	6	4
11	14	9	1
12	13, 17	11	3
13	15	16	6
14	15	5	1
15	16	7	5
16	18	9	1

 

На основе данных и  предписаний, указанных выше выполняем  первый этап проекта, т.е. строим сетевой график проекта (рисунок 2.3). События пронумерованы в кружках, линии со стрелками - работы (далее вместо слова «работы» будем употреблять «операции»). Рядом со стрелками операций стоят их номера и (с черточками над и под числом) продолжительность. Пунктиром выделены фиктивные операции.

Рисунок 2.3 – Сетевой  граф

Теперь перейдем ко второму  этапу - обратному и прямому проходам по полученному сетевому графику. При  прямом проходе вычисляем наиболее ранние возможные сроки наступления  событий, при обратном - наиболее поздние допустимые сроки наступления событий. Вычисления производим по следующим алгоритмам.

Обозначим через Е/ j /- наиболее ранний возможный срок наступления j-го события. Пусть d i,j- продолжительность операции, соединяющей i -е и j -е события. Поскольку j-е событие не может произойти, пока не будут завершены все операции, ведущие к j-му узлу, то наиболее ранний возможный срок его наступления будет вычисляться по следующему алгоритму.

Действуя описанным  выше способом, рассчитаем наиболее ранние возможные сроки наступления событий и наиболее поздние допустимые сроки наступления событий (рисунок 2.4). Наиболее ранние возможные сроки наступления событий отображены в квадратиках рядом с самим событием, над квадратиками расположены наиболее поздние допустимые сроки наступления событий. На основе прямого и обратного проходов выделяем на графике критические операции из которых складывается критический путь. Критический путь составляют операции: 1,2,4,8,9,(из 6 до 8 события фиктивная операция), 12,13,15,16,18 - эти операции выделены другим цветом на графике (рисунок 2). Критическое время проекта - 104.

Рисунок 2.4 – Оптимальный  путь

 

Теперь вычислим резервы  времени для некритических операций. Рассчитанные резервы времени внесем в таблицу (рисунок 2.5).

Рисунок 2.5 – Оптимальный  путь

 

Теперь преобразуем  полученную таблицу к виду (таблица 2) необходимому для построения календарного графика проекта. Введем в таблицу  для каждой операции такие понятия  как срок позднего начала и срок раннего окончания. Также добавим графу, указывающую на потребности в ресурсах каждой операции (рисунок 2.6).

Рисунок 2.6 – Оптимальный  путь

На основе полученной таблицы строим календарный график реализации проекта и два графика ресурсных профилей проекта - в первом, выберем в качестве моментов начала некритических операций их ранние возможные сроки, получим ранний календарный план реализации проекта (рисунок 2.7), а во втором выберем в качестве моментов начала некритических операций их поздние допустимые сроки, получим поздний календарный план реализации проекта (рисунок 2.8).