Что такое фрактал? Основные понятия теории фракталов

2. Фрактал как состояние - процесс

Фрактал является главной стадией эволюционирующей системы, поскольку сам процесс эволюции системы (физической, биологической, социальной) и есть дробное, самоподобное, переходное состояние-процесс. Это трудно понять людям, привыкшим мыслить линейно, механистически, т.к. западная культура приучает воспринимать-переживать устойчивые "неизменные" вещи, принимая их за неизменную данность, за "мгновенный фотоснимок", а не как постоянно изменяющийся процесс, как "кино". Вероятно, это впервые понял Гераклит, заявивший: "Нельзя войти дважды в одну и ту же реку" и "Все течет". Поэтому более правильно воспринимать мир как становящийся, непрерывно изменяющийся процесс, состоящий также из множества переходных вещей-процессов, которые и называются фракталами.

Ныне часть научного сообщества признает универсальность фракталов, поскольку они работают в любой частной науке - физике, социологии, психологии, лингвистике и т.п. Тогда не только процессы в лазере, но и общество, и социальные институты, и язык, и даже мысль - фракталы.

При таком подходе эволюционирующая материальная система-процесс может быть условно представлена состоящей из 3 частей-стадий:

1) начальное устойчивое, относительно “неизменное” состояние α, которому мы даем общее название (например, “снежинка” – в случае ее таяния и превращения в каплю), распространяемое часто на весь процесс от начала α до конца ω;

2) фрактал φ, описываемый концепцией фракталов;

3) конечное, устойчивое, “неизменное” состояние ω, после которого вещи уже нет, она исчезает.

Наиболее убедительно существует фрактал φ, в то время как начало α и конец ω находятся на границе бытия, они или “еще” не φ, или “уже” не φ, т.е. наполовину в небытии, поэтому в определенной степени α и ω – это абстракции, обусловленные нашим субъективным, искажающим, дискретно-разрывающим восприятием, ориентированным на статическое, “фотографическое” отображение мира, восприятием, узнающим лишь стабильные, неизменные вещи. Реальность же на самом деле динамична, целостна и гармонична. Поэтому α и ω следует понимать как предельные состояния фрактала.

3. Свойства фракталов

Изучая фрактальные свойства, мы учимся различать и предсказывать важные особенности окружающих нас предметов и явлений, которые прежде, если и не игнорировались полностью, то оценивались лишь приблизительно, качественно, на глаз. Например, сравнивая фрактальные размерности сложных сигналов, энцефалограмм или шумов в сердце, медики могут диагностировать некоторые тяжелые заболевания на ранней стадии, когда больному еще можно помочь.

Барабан, натянутый на гладкий или фрактальный контур, звучит по-разному, и это различие можно использовать для диагностики характера контура и определения его фрактальной размерности.

Метеорологи научились определять по фрактальной размерности изображения на экране радара скорость восходящих потоков в облаках, что позволяет с большим упреждением выдавать морякам и летчикам штормовые предупреждения.

Выделяют следующие свойства фрактала:

1) Это сетевое образование, существующее среди себе подобных объектов и связанное с ними. Это "мягкая" неустойчивая система, т.е. она все время изменяется, находится в процессе эволюции, в переходном, быстро преходящем состоянии-процессе.

2) Фрактал самоподобен. Самоподобие фрактала означает, что он более или менее единообразно устроен в широком диапазоне масштабов. Так, при увеличении маленькие фрагменты фрактала получаются очень похожими на большие. Однако следует отметить, что абсолютное самоподобие характерно лишь для регулярных (однородных, конструктивных) фракталов, которые строятся детерминированным способом. Если в правило построения добавить элемент случайности, то мы получим стохастический (случайный, динамический) фрактал или мультифрактал, который самоподобен лишь частично. Увеличенная часть мультифрактала не точно идентична исходному фрагменту, однако их статистические характеристики совпадают.

В природе, и в обществе на достаточно больших масштабах происходит самоповторение. Так, облако повторяет свою клочковатую структуру от 104 м (10 км) до 10-4 м (0,1 мм). Ветвистость повторяется у деревьев от 10-2 до 102 м. Разрушающиеся материалы, порождающие трещины, также повторяют свое самоподобие на нескольких масштабах. Снежинка, упавшая на руку, тает. В период таяния, перехода от одной фазы к другой снежинка-капля также – фрактал.

В социальной области также существуют фракталы. Структура определенного рода повторяет сама себя. Так, любое общество состоит из семей, которые можно рассматривать обобщенно – как союз активного и пассивного начала, брак между индивидами, системами, существами, рождающий подобные же существа. На минимально социальном уровне это обычная семья (семья1), состоящая из мужчины и женщины (причем активной стороной может быть как женщина, так и мужчина, смотря в каком отношении - сексуальном, духовном или каком-то еще).

Следующим уровнем семьи является племя или шире – народ (семья2). В нем можно выделить активные и пассивные социальные слои, взаимодействующие друг с другом, оплодотворяющие друг друга и “рождающие” такие же социальные группы, т.е. воспроизводящие сами себя.

Наиболее крупной семьей является человечество. В нем можно выделить большие культурные центры, например, Восток и Запад. В последние столетия Восток был относительно пассивен. Запад активен, особенно в материальной области, при освоении природы. В то же время 2-3 тысячи лет назад было наоборот, скорее Восток оплодотворял пассивный Запад, особенно в духовном отношении. Поэтому человечество в целом можно рассматривать как семью, состоящую из двух дополняющих друг друга, разнополых “индивидов-культур” – Востока и Запада (семья3). Фрактальность человечества проявляется и во многих других отношениях.

3) Крайние состояния фрактала - устойчивые, неизменные вещи. Это понимал еще Гераклит, утверждавший "Панта рей" (все течет). Причем сегодня мы знаем, что природа "почти вся" состоит из этих переходных систем-процессов, а "ставшие", неизменные вещи - лишь исключения (возможно умозрительные, абстрактные), подобно тому как в математическом континууме на единичном интервале [0, 1] мощность множества иррациональных чисел равна 1, а мощность множества рациональных чисел равна 0. Если распространить эту аналогию на физический мир, неизменные вещи составляют мощность 0 (их почти нет), а фракталы - множество мощности 1 (почти все - фракталы).

4) Математик Мандельброт и другие авторы выделяют в качестве свойства фракталов монадность. В 17 столетии Г.В. Лейбниц ввел понятие монады как духовного атома бытия. "Все есть монады" - главный принцип его философии. При интерпретации фракталов как монад видно, что каждый фрактал единичен, самодостаточен (в этом его атомарность как у монад), самоподобен (существует внутренняяя голографичность его частей и целого) и субъект-объектен (существует объективно, независимо от нас, но внутри него "зашит", неявно присутствует, ощущается некий собственный, трудно вербализуемый субъект, что и подчеркивают ряд авторов, особенно философов, писателей, художников, для которых фрактал как бы "живой" ).

Главным свойством фрактала обычно считают его самоподобие. Действительно, это наиболее специфическое, весьма редкое свойство.

В дискуссиях, развернувшихся в последние годы среди ученых и философов вокруг концепции фракталов, наиболее спорный вопрос состоит в следующем: можно ли говорить об универсальности фракталов, о том, что каждый объект природы содержит фрактал или проходит фрактальную стадию?

Сложились две группы ученых, отвечающих на данный вопрос прямо противоположным образом. Первая группа ("радикалы", новаторы) поддерживают тезис об универсальности фракталов. Вторая группа ("консерваторы") отрицают этот тезис, но все же утверждают, что "Не каждый объект Природы имеет фрактал, но в каждой области Природы можно найти фрактал".

В сущности фракталы присутствуют везде, где есть движение, а оно – атрибут, неотъемлемое свойство материи. Ряд ученых, особенно физиков, стремящихся к философским обобщениям, склоняются к этой точке зрения.

Фрактальность эволюционирующих систем проявляется в следующем: если в жизни системы выделить 3 стадии (начало α, средняя стадия φ и конец ω), то средняя, основная стадия развития системы и есть фрактал как переходный, неустойчивый процесс. При более подробном рассмотрении средней стадии эволюции конкретной системы всегда выясняется, что эвос проходит несколько подстадий развития, прежде чем из него развернется система (аналогично и при завершении эволюции). Причем каждая подстадия сама в свою очередь - фрактал. Зародыш, согласно алгоритму развития, заложенному в гевосе, растет, делится, снова растет, вновь делится и так далее, пока не возникает нечто “мягкое”, слабо организованное, клочковатое – совокупность систем, подсистем, надсистем, подобных друг другу. Причем из каждой подсистемы (если она была бы оторвана от всей растущей совокупности) в свою очередь мог бы вырасти целостный организм. Все это - фрактал.

Подобную динамическую картину развития легко заметить и в случае превращения снежинки в капельку при нагревании, и в случае общественных процессов (перехода социума от одного способа организации к другому, от одной социальной системы к другой), и в случае творческих процессов, например, возникновения мелодии в сознании композитора.

Следует добавить, что особенностью гевоса (как носителя наследственной информации о системе в целом) является также огромная потенциальная энергия, сосредоточенная в нем, а также гигантская информация, плотно упакованная в этой структуре. Эта информация описывает все возможные пути, траектории и даже алгоритм развития эвоса на каждой из траекторий – от ее начала α до конца ω, т.е. возникновение системы, ее фрактальную эволюцию и конец. Энергия же дает возможность “эмбриону” (зародышу-эвосу) реализоваться в данных условиях, создать развивающуюся систему, перевести ее из потенциального состояния в актуальное.

Отсюда видно, что в переходную хаотическую эпоху развития человечества необходимо новое мышление, новая парадигма науки. Она и возникает на основе синергетики.

4. Определение фрактальности

Нам пока не открыто все разнообразие фракталов. Мы их отыскиваем в природе, хотя уже существует фрактальная музыка, фрактальная живопись и др. Пока еще нет общей теории фракталов, неясно, как далеко простираются модели подобного типа, нет также ясного и общего подхода к определению фрактальной размерности и пр. Еще рано с уверенностью утверждать, является ли данный объект фракталом, или нет. Это область современных исследований и обобщений.

Определение фрактальности – это определение свойств объекта быть фракталом. Вопрос о том, является ли данный предмет гладким или фрактальным, сам по себе лишен смысла. Ответ на подобный вопрос зависит от остроты зрения наблюдателя или от разрешающей способности прибора, которым он пользуется, то есть от того, насколько мелкие детали различает наблюдатель. Гладкая поверхность высочайшего класса обработки при соответствующем увеличении будет выглядеть, как горный ландшафт, подвергшийся интенсивной бомбардировке метеоритами.

Относительно и само понятие размерности. Бенуа Мандельброт иллюстрирует это следующим примером.

Клубок шерсти кажется мухе с большего расстояния точкой (топологическая размерность 0). Подлетев поближе, муха видит «большую точку» — диск (топологическая размерность 2). С еще более близкого расстояния муха видит, что перед ней шар (топологическая размерность 3). Во всех случаях все неровности сглаживаются из-за большого расстояния, и размерность Хаусдорфа — Безиковича совпадает с топологической размерностью. Подлетев совсем близко, муха видит перед собой клубок гладких ниток, то есть хитрым образом сложенную пространственную кривую (топологическая размерность 1). И лишь сев на клубок, муха видит пушинки, обрамляющие нить, то есть ощущает фрактальность шерстяной нити.

Какова же «истинная» размерность клубка шерсти? Да ее просто не существует: все зависит от точки зрения наблюдателя, разрешающей способности его глаз или прибора.

5. Практическое применение фракталов

Фракталы находят все большее и большее применение в науке. Основная причина этого заключается в том, что они описывают реальный мир иногда даже лучше, чем традиционная физика или математика.

Фрактальные алгоритмы нашли применение и в информационных технологиях. Наиболее полезным использованием фракталов в компьютерной науке является фрактальное сжатие данных. В основе этого вида сжатия лежит тот факт, что реальный мир хорошо описывается фрактальной геометрией. При этом, картинки сжимаются гораздо лучше, чем это делается обычными методами (такими как jpeg или gif). Другое преимущество фрактального сжатия в том, что при увеличении картинки, не наблюдается эффекта пикселизации (увеличения размеров точек до размеров, искажающих изображение). При фрактальном же сжатии, после увеличения, картинка часто выглядит даже лучше, чем до него.

Роль фракталов в машинной графике сегодня достаточно велика. Они приходят на помощь, например, когда требуется с помощью нескольких коэффициентов задать линии и поверхности очень сложной формы. С точки зрения машинной графики, фрактальная геометрия незаменима при генерации искусственных облаков, гор, поверхности моря.

Фракталы имеют большую ценность при создании графических образов объектов живой и неживой природы. Простые формулы и выражения, описывающие математические абстракции, легко реализуются с помощью языков программирования. Поэтому превращение математических описаний фракталов в образы, близкие людям по реальному миру, представляет большой интерес. По сути, фрактал  это связь между математикой и живым миром.

Цель создания программы использования фракталов в машинной графике  связать абстрактные формулы с объектами реального мира, показать, что такие сложные по форме объекты, как деревья или поверхности гор, можно сымитировать и отобразить на экране монитора.

Понятие «фрактал» уже доказало свою пользу в ряде прикладных областей. Например, если вводить случайное возмущение в регулярный математический древовидный фрактал, можно добиться сходства с настоящим деревом. Фракталы используются при анализе и классификации сигналов сложной формы, возникающих в разных областях, например при анализе колебаний курса валют в экономике, оценке деловой активности на различных рынках, прогнозировании циклов деловой активности, курсов акций и других ценных бумаг. Они применяются в физике твердого тела, в динамике активных сред и т.д.