Что такое фрактал? Основные понятия теории фракталов

РЕФЕРАТ

по дисциплине «Моделирование синергетических систем»

на тему: «Что такое фрактал? Основные понятия теории фракталов»

г.Набережные Челны

2009

Содержание

Введение

1. Понятие фрактала

2. Фрактал как состояние - процесс

3. Свойства фракталов

4. Определение фрактальности

5. Практическое применение фракталов

Вывод

Литература

Введение

Синергетика стала одним из стратегических направлений развития научного познания. В мире все говорит о продолжении периода взлетов и падений, социальных катастроф. Прогнозисты - ученые в области науки, техники, общественного развития, с одной стороны, и пророки, ясновидцы, религиозные деятели, с другой стороны, сходятся в одном: климатические изменения, природные катастрофы и социальные столкновения, гибель миллионов - все это будет продолжаться. С философской точки зрения это проявление эволюционного кризиса человечества, прохождение им периода хаоса, перестройки, которые с неизбежностью приведут к замене в коллективном сознании человечества ряда устаревших идеалов на более глубокие, эволюционно значимые духовные ценности. Так уже было при смене матриархата на патриархат, при крушении племенного строя и возникновении цивилизации. Столь же масштабные духовно-интеллектуальные изменения происходили и при возникновении мировых религий. Между старой организацией и новым порядком мы проходим период хаоса.

Мы живем в коротком, достаточно специфическом периоде эволюции Земли и человечества (20 – 21 столетия), в котором завершились сразу несколько фундаментальных циклов развития. Поэтому неустойчивое развитие общества потребовало науку о неустойчивости - синергетику. Термин «синергетика» ввёл Герман Хакен (в 1977 году вышла его книга «Синергетика»), образовав его из греческих слов син — «совместное» и эргос — «действие». Была создана наука синергетика. Сначала это были разрозненные теории - динамического хаоса, катастроф, диссипативных структур, фракталов, эволюционирующих систем, а затем научное сообщество осознало, что все это - отдельные части единого целого - новой науки и даже нового мировоззрения.

В условиях хаоса, слабой предсказуемости социальных процессов властям приходится быстро принимать ответственные решения, которые надолго определяют направление развития общества, а из-за низкой прогнозируемости могут привести (и уже привели) к катастрофическим последствиям. Ошибок в воспитании, духовной культуре, политике, экономике, социальном управлении, в развитии науки полно. Достаточно вспомнить непосредственные причины I и II Мировых войн, революций 20-го века, угрозу ядерного конфликта, быстрое развитие экологического кризиса, перестройку климата, деградацию биосферы, а в последние годы - генную инженерию, клонирование человека, а также обострение межнациональных и межрелигиозных отношений на планете. Причем угроза сохранению жизни человеческого рода непрерывно нарастает. Многие ученые считают это проявлением эволюционного кризиса человечества.

Синергетика - это теория самоорганизации, теория переходных процессов, теория эволюционирующих систем. Эту науку целесообразно рассматривать как очередной этап развития теории систем, т.е. как теорию эволюционирующих систем. Синергетическое движение обобщает системное мышление в направлении эволюционности, переходности, текучести, мягкости, генетической целостности.

В синергетическом знании выделяют по крайней мере 3 следующих уровня (по степени общности): частнонаучный, общенаучный, мировоззренческий.

Частнонаучный уровень - это теории самоорганизации в различных разделах физики, химии, биологии, социологии, психологии, появившиеся как обобщения решений вполне определенных задач, связанных с коллективными взаимодействиями, открытыми системами, их переходами от неустойчивого к устойчивому состоянию.

Общенаучный уровень - это концепции И. Пригожина, Г. Хакена, работы С.П. Курдюмова, Э. Ласло, Ф. Варелы, У. Матурана. На этом уровне становится ясной специфика синергетики как фундаментальной научной теории, т.е. фиксируется наличие в ней теоретического конструкта, например, фрактала (понимаемого уже не как математического, но как общенаучного понятия).

Философский (мировоззренческий) уровень - это современные прочтения даосизма, буддизма, диалектики, учений о синтезе субъекта и объекта, системного подхода, попытки обобщения энергетической парадигмы, религиозно-философские учения о всеобщей взаимосвязи сотворенного бытия, о безмолвии, о синергии в православии и т.д. Все это обобщается для попытки сформулировать синергетическую философию - и как мировоззренческое основание синергетики, и как самостоятельное направление философской мысли.

С системной точки зрения главное, центральное понятие синергетики - эволюционирующая система (условное сокращение "эвос"). Эвос - это открытая, неравновесная, нелинейно изменяющаяся система. Ее элементы могут варьироваться. Связи между элементами в ней также изменяются от сильных, долго сохраняющихся, до относительно слабых, разрывающихся.

В эволюционирующей системе сохраняется порождающая, наследственная структура. В области биологии это ДНК. В социологии более спорное понятие - дух этноса (язык, менталитет, мифология, религия, фундаментальные традиции ...). Поэтому имеет смысл выделить в эвосе наиболее устойчивую его часть, которая сама себя воспроизводит и сохраняет (пока эвос существует). Эта структура (в генетике - аналог генома) и есть инвариантное ядро эволюционирующей системы. Соединяя слова "геном" и "эвос", получим новое сокращение "гевос". Гевос означает, так сказать, геном эволюционирующей системы, т.е. мы предполагаем, что в любой развивающейся системе существуют ряд факторов - элементов, а главное связей, отношений между элементами, определенная структура С, которая стремится сохранить сама себя при любых изменениях. Структура С остается сама собой до тех пор, пока сохраняется ее гевос. В биологии это ДНК, геном (совокупность генов данного биовида). В человеке, понимаемом в материалистическом смысле, как индивид, существующий от рождения до смерти, - это личность. Если же понимать человека в религиозно-философском смысле - как духовное существо, то его гевос - это вечное ядро личности, т.е. "неизменный" дух (атман, монада), переселяющийся из тела в тело в процессе эволюции, обретения опыта, восхождения к Творцу. Гевос определенного социума - это сохраняющаяся столетия его духовная структура (дух народа, как писал Гегель). В случае этноса гевос - это структура, встроенная в совокупность людей, структура, поддерживающая специфические для данного народа традиции, мифы, формы власти, образа жизни, искусства, науки, религии.

Эвос и гевос тесно связаны - как явление и сущность, как качество и количество, как изменяющееся и неизменное, как биовид и его геном, как человек и его личность.

Синергетика является фундаментальной теорией, но не частнонаучной, а уже общенаучной. Как и во всякой фундаментальной теории ее специфика проявляется в конструкте - принципиально новом понятии, вводимом теорией и не сводящемся к старому знанию. Пока идут споры о том, какое новое понятие может быть таким конструктом (фрактал, самоорганизация, эвос, гевос). Со временем он определится, и тогда даже самым консервативным скептикам придется признать фундаментальный и общенаучный характер синергетики. Причем логически определить конструкт, т.е. свести к старому знанию, невозможно. Он вводится из содержательных соображений, на основании интуиции. Именно поэтому в науке и существует прогресс, т.е. открытие принципиально нового знания, такого как синергетика.

Предмет синергетики распределен между различными направлениями:

- теория динамического хаоса исследует сверхсложную упорядоченность, напр. явление турбулентности;

- теория детерминированного хаоса исследует хаотические явления, возникающие в результате детерминированных процессов (в отсутствие случайных шумов);

- теория фракталов занимается изучением сложных самоподобных структур, часто возникающих в результате самоорганизации, процесс самоорганизации также может быть фрактальным;

- теория катастроф исследует поведение самоорганизующихся систем в терминах бифуркация, аттрактор, неустойчивость.

В данном реферате мы определим, что же такое фрактал? И рассмотрим основные понятия теории фракталов.

1. Понятие фрактала

Фрактал (от лат. fractus - дробный, ломаный) означает переходное состояние становящейся системы, характеризующееся хаотичностью, нестабильностью, которое постепенно эволюционирует к устойчивому, упорядоченному целому. С позиций синергетики фракталы – это структуры-аттракторы, возникающие в результате самоорганизационного развития гетерогенных систем.

Придумал слово «фрактал» (от латинского «фрактус» — дробный, нецелый) наш современник, математик Бенуа Мандельброт, сумевший открыть совсем рядом с нами поистине удивительный мир, по-новому (или, по крайней мере, несколько иначе) взглянув на многие, казалось бы, хорошо знакомые предметы и явления.

Мандельброт обратил внимание на то, что при всей своей очевидности ускользало от его предшественников, хотя встречалось на каждом шагу и буквально «лежало на поверхности»: контуры, поверхности и объемы окружающих нас предметов не так ровны, гладки и совершенны, как принято думать. В действительности они неровны, шершавы, изъязвлены множеством отверстий самой причудливой формы, пронизаны трещинами и порами, покрыты сетью морщин, царапин и кракелюр.

В арсенале современной математики Мандельброт нашел удобную количественную меру неидеальности объектов — извилистости контура, морщинистости поверхности, трещиноватости и пористости объема. Ее предложили два математика — Феликс Хаусдорф (1868- 1942) и Абрам Самойлович Безикович (1891-1970). Ныне она заслуженно носит славные имена своих создателей (размерность Хаусдорфа — Безиковича).

Как и всякая новая количественная характеристика, размерность Хаусдорфа — Безиковича должна была пройти проверку на разумность и блестяще ее выдержала. Применительно к идеальным объектам классической евклидовой геометрии она давала те же численные значения, что и известная задолго до нее так называемая топологическая размерность (иначе говоря, была равна нулю для точки, единице — для гладкой плавной линии, двум — для фигуры и поверхности, трем — для тела и пространства). Но совпадая со старой, топологической, размерностью на идеальных объектах, новая размерность обладала более тонкой чувствительностью ко всякого рода несовершенствам реальных объектов, позволяя различать и индивидуализировать то, что прежде было безлико и неразличимо. Так, отрезок прямой, отрезок синусоиды и самый причудливый меандр неразличимы с точки зрения топологической размерности — все они имеют топологическую размерность, равную единице, тогда как их размерность Хаусдорфа — Безиковича различна и позволяет числом измерять степень извилистости.

Но самое необычное (правильнее было бы сказать — непривычное) в размерности Хаусдорфа — Безиковича было то, что она могла принимать не только целые, как топологическая размерность, но и дробные значения. Равная единице для прямой (бесконечной, полубесконечной или для конечного отрезка), размерность Хаусдорфа — Безиковича увеличивается по мере возрастания извилистости, тогда как топологическая размерность упорно игнорирует все изменения, происходящие с линией, если только они не сопровождаются разрывом или склеиванием каких-то точек. При этом, увеличивая свое значение, размерность Хаусдорфа — Безиковича не меняет его скачком, как сделала бы «на ее месте» топологическая размерность. Нет, размерность Хаусдорфа — Безиковича — и это на первый взгляд может показаться непривычным и удивительным — принимает дробные значения: равная единице для прямой, она становится равной 1,02 для слегка извилистой линии, 1,15 — для более извилистой, 1,53 — для очень извилистой и т. д.

Именно для того чтобы особо подчеркнуть способность размерности Хаусдорфа — Безиковича принимать дробные, нецелые, значения, Мандельброт и придумал свой неологизм, назвав ее фрактальной размерностью. Итак, фрактальная размерность (не только Хаусдорфа — Безиковича, но и любая другая) — это размерность, способная принимать не обязательно целые значения, фрактал — объект с фрактальной, размерностью, а фрактальность — свойство объекта быть фракталом или размерности быть фрактальной.

Таким образом, понятие «фрактал» было введено в 1975 г. математиком Б. Мандельбротом для обозначения множества с дробной размерностью. Определение фрактала, данное Мандельбротом, звучит следующим образом: «Фракталом называется структура, состоящая из частей, которые в каком-то смысле подобны целому».

Позже математическое понятие фрактала распространилось на объекты природы, общества, гуманитарной сферы. Фракталами называют облака, изрезанное побережье Скандинавии, деревья, листья, переходные биологические структуры типа кокона, в котором гусеница превращается в бабочку; также изменяющиеся мысленные образы, в которых один объект превращается в другой; зашифрованный текст, из которого различными способами дешифровки можно извлекать различные осмысленные тексты.

Важнейшее свойство фрактала - самоподобие. Самоподобие означает,  что любая, самая малая его часть подобна целому фракталу и любой другой его части.

Однако, далеко не все фракталы обладают правильной, бесконечно повторяющейся структурой. Многие фракталы, встречающиеся в природе (поверхности разлома горных пород и металлов, облака, турбулентные потоки, пена, гели, контуры частиц сажи и т. д.), лишены геометрического подобия, но упорно воспроизводят в каждом фрагменте статистические свойства целого. Такое статистическое самоподобие, или самоподобие в среднем, выделяет фракталы среди множества природных объектов.

В последние годы появился термин «мультифракталы»  это так называемые, неоднородные фракталы, определяемые не одним параметром  фрактальной размерностью, а спектром таких размерностей.

Для нахождения фрактальной (Хаусдорфовой) размерности пользуются формулой. Построение фрактала  это итеративный процесс. Пусть на некоторой итерации для покрытия фрактала приходится использовать N(l) элементов размера l, а на другой итерации  N(1) элементов размером . Тогда величина фрактальной размерности определяется по формуле:

.                                                  

Мультифрактальный объект в отличие от фрактала характеризуется це­лым спектром дробных размерностей, число которых бесконечно. Причина этого заключается в том, что наряду с чисто геометрическими характеристи­ками, определяемыми величиной D, такие фракталы обладают и некоторыми статистическими свойствами.

В связи с этим можно сделать вывод, что мультифракталы обладают масштабной инвариантностью лишь приближенно, т.е. на разных масштаб­ных уровнях помимо свойства самоподобия они характеризуются некоторой степенью мутации. Таким образам, механический перенос закономерностей развития системы на другой уровень невозможен без осуществления проце­дуры адаптации.