Особые конфигурации кривых безразличия

Другая трактовка MRS в рамках поведения потребителя связана именно с нерешительностью произвести обмен, называется предельной готовностью платить. Пусть товар x₂ есть потребление остальных товаров, измеряемое в рублях, затраченных на покупку x₂. Тогда MRS такого товара неким товаром x₁ есть то количество рублей, от которого потребитель готов отказаться в пользу потребления немного большего количества x₁, то есть такое количество рублей, какое нужно заплатить за потребление немного большего x₁. Здесь следует учитывать один нюанс: то количество рублей, которое действительно нужно будет заплатить за дополнительное потребление может быть не равно количеству по готовности платить, так как первое зависит не только от предпочтений потребителя, но и от цен, по которым продается товар.

Форма кривых безразличия  может быть описана поведением MRS. Исходя из монотонности предпочтений, MRS полагает уменьшение потребления одного товара взамен потребления большего количества второго. Поэтому на кривых безразличия стандартного вида с увеличением x₁ наклон уменьшается по величине, демонстрируя убывание MRS. Это еще раз доказывает свойство выпуклости: чем большим количеством одного товара располагает потребитель, тем вероятнее он откажется от какой-то его части в пользу потребления другого товара.

1.4 Кривые безразличия нестандартного вида

Общий вид кривой безразличия есть линия выпуклая, монотонная, с отрицательным наклоном. Она иллюстрирует нормальное, рациональное потребление двух товаров. Если наложить определенные условия либо на сам процесс потребления таких товаров, либо на их свойства, то форма кривой безразличия может приобрести совершенно иной вид.

Пусть потребитель  имеет возможность заменить один товар на другой в постоянном соотношении, например, один к одному. Такие товары называются совершенными заменителями или субститутами. Как правило, они являются одинаковыми по своему смыслу и назначению, но разными по свойствам. Допустим, потребитель выбирает между субститутами x₁ и x₂, которые ему одинаково нравятся, при этом он совершенно безразличен к их, скажем, цвету. Для потребителя тогда хороши все наборы, дающие в сумме x₁₊ x₂, следовательно, будут находиться на кривой безразличия, проходящей через (x₁, x₂). Это означает, что кривые безразличия в данном случае будут представлены параллельными прямыми с наклоном -1 (Рис.7), при этом наборы товаров с большим их количеством будут предпочтительнее наборов с меньшим количеством, значит, при перемещении вправо и вверх предпочтения будут возрастать.

Рис.7 Кривые безразличия для товаров-заменителей

Каждую прямую линию можно задать соответствующим уравнением          x₁₊ x₂=q, где q=const – количество товарных единиц. Записывая это же уравнение в виде x₂=q- x₁ видно, что коэффициент при x₁ отрицателен, что объясняет наклон прямых. Наклон всегда будет сохранять этот знак, потому как нельзя потребить отрицательное количество товара, однако может изменить свою величину, если не будет равно единице.

Другой пример товаров – комплементарные товары, всегда потребляются друг с другом в постоянном соотношении, иными словами дополняют друг друга. Например, принтер и картриджи с чернилами: потребление принтера без чернил не представляется возможным, как и практическое применение чернил вне принтера, то есть потребителя сможет удовлетворить только лишь совместное их потребление. Для построения кривой безразличия в этом случае выбирается набор (x₁, x₂). Исходя из условия комплементарности, любой набор вида (x₁+q, x₂) или (x₁, x₂+q) будет безразличен набору (x₁, x₂), так как никакая лишняя единица ни одного из товаров не изменит удовлетворения потребителя. Поэтому кривые безразличия в данном случае будут L-образными с вершинами, лежащими на прямой x₂=kx₁, где k>0 показывает постоянное соотношение потребления обоих товаров (Рис.8).

Рис.8 Кривые безразличия для комплементарных товаров

Предпочтения  в данном случае будут возрастать при перемещении вправо и вверх, что объясняется желанием потребителя увеличить количество x₁ и x₂.

До этого  мною были рассмотрены случаи, когда  потребителю нравились товары x₁ и x₂. Пусть один из товаров превратится в антитовар, то есть будет совершенно не нравиться потребителю, однако будет существовать возможность выбора между x₁ и x₂. Иными словами, я всегда могу компенсировать потребление антитовара x₂ некоторым количеством x₁. Тогда при увеличении x₂ необходимо вынужденно увеличивать x₁. Кривая безразличия будет задана уравнением вида x₂=kx₁+q, где q=const есть та самая компенсация за потребление x₂, и представлять собой прямую линию (Рис.9). Здесь предпочтения будут возрастать при перемещении вправо и вниз – направлении к уменьшению потребления антитовара.

Рис.9 Кривые безразличия для антитоваров

Потребитель может  относиться к товару нейтрально, то есть быть к нему равнодушным. Такой  товар называется безразличным, а кривые для него будут представлять собой вертикальные линии: потребителя беспокоит лишь наличие у него товара x₁, при этом увеличение безразличного x₂ совершенно не сказывается на его удовлетворении (Рис.10). Более предпочитаются наборы с большим количеством x₁, следовательно, перемещаться необходимо вправо.

Рис.10 Кривые безразличия для нейтрального товара

Допустим, у  потребителя зафиксирован самый  лучший и любимый для себя набор (x₁, x₂). Чем более приближен потребитель к такому набору, тем выше его удовлетворение. Точка (x₁, x₂) в таком случае называется точкой насыщения, а кривые безразличия будут иметь вид «кругов на воде» (Рис.11).

Рис.11 Кривые безразличия в случае насыщения

Кривые будут  иметь отрицательный наклон в  случаях слишком большого или  слишком малого количества обоих  товаров, положительный же наклон будет достигнут при большом количестве лишь одного товара. Слишком большое количество одного из товаров или обоих сразу превращает их в антитовары, а значит, для перемещения к точке насыщения необходимо сократить их потребление.

Пусть существуют два товара, для которых известны их идеальные количества, то есть точка  насыщения. Потребление меньших  количеств этих товаров, как и потребление больших количеств не принесет удовлетворения. Однако, потребитель, рационализируя свое поведение, не стремится иметь количество товара, большее необходимого, а наоборот – сталкивается с ситуациями, при которых вынужден потреблять все же количество, меньшее желаемого.

Если разделить  товары по признаку частоты приобретения, то можно выделить наиболее частые (хлеб, молоко) и те, которые потребитель  за всю свою жизнь покупает единичные  разы (квартира, автомобиль). Если представить  спрос на такой единичный товар во времени, то получится непрерывная переменная. Поэтому интереснее исследовать спрос, выраженный не временем, а фактическим числом таких товарных единиц – дискретных товаров. Допустим, x₁ – дискретный товар, а x₂ – все остальные. Главным условием является неделимость x₁, значит наборы, безразличные (x₁, x₂) будут представлены отдельными точками, а наборы не худшие (x₁, x₂) – лучами (Рис.12).

Рис.12 Кривые безразличия для дискретного товара

В данном случае необходимо четко понимать, действительно ли товар является дискретным. Та же квартира одним потребителем может быть куплена 1 или 2 раза за весь период жизни, другой же более состоятельный потребитель за тот же период сможет купить 20 квартир. В последнем случае такой товар лучше принять делимым.

 

2. Практическое  применение кривых безразличия

2.1 Количественные  выражения функции полезности

Экономика располагает  некоторыми теориями, где полезность может обрести количественное значение. При вычитании значений полезности двух товарных наборов можно получить определенное число, которое будет характеризовать именно количественное предпочтение одного набора другому. В общем виде для определения более желаемого набора потребителю просто предлагается выбрать лучший среди двух. Следовательно, верно утверждение: каждому набору из n товарных наборов можно присвоить порядковую полезность. Данное утверждение можно считать словесным способом задать функцию полезности.

Безусловно, не все предпочтения могут быть заданы функцией полезности. Например, потребитель предпочитает три товарных набора X,Y,Z следующим не транзитивным неравенством: X>Y>Z>X. Значит, существуют такие числа q(X), q(Y), q(Z) – количественные меры полезностей такие, что q(X)>q(Y)>q(Z)>q(X), что невозможно. Такой случай аномальных потребительских предпочтений необходимо исключить. В остальном, при соблюдении аксиомы транзитивности, всегда можно задать функцию полезности, представляющие те или иные предпочтения.

Рис.13 Функция полезности, построенная на кривых безразличия

Пусть имеется  некоторая карта кривых безразличия. Закономерно, что более высокие  кривые имеют большие предпочтения, значит, функцию полезности в таком случае следует рассматривать как меру удаления одних кривых от других. На Рис.13 луч, выпущенный из начала координат, пересекает каждую кривую единственный раз (следствие монотонности). Измерив расстояние от начала координат до каждого пересечения, можно присвоить каждому набору товаров численное значение, которое будет больше у более высоких кривых.

В случае товаров-субститутов  потребителю важно лишь их суммарное  количество, которым и следует  измерять полезность. Тогда функция  полезности в данном случае может  иметь вид f(x₁,x₂)=x₁+x₂. При перемещении по кривой безразличия функция будет принимать постоянные значения, при этом более высокие значения будут соответствовать более предпочитаемым наборам. Функцию f(x₁,x₂) всегда можно монотонно преобразовать. Например, g(x₁,x₂)= f²(x₁,x₂)=(x₁+x₂)² также задает предпочтения в случае товаров-субститутов. Если дробь не равна единице, то есть потребитель замещает x₁ товаром x₂ не в единичном соотношении, то функция полезности общего вида для товаров-заменителей может быть записана как f(x₁,x₂)=px₁+qx₂, где p,q>0 – меры соотношения замены одного товара другим. Предельная норма замещения в таком общем случае равна –p/q – наклон соответствующей кривой.

В случае комплементарных  товаров потребителю важно лишь число одновременно имеющихся у  него количеств x₁ и x₂, а точнее минимум среди x₁ и x_2. Значит, функция полезности в данном случае может задана как f(x₁,x₂)=        min{x₁,x₂}. Свойством товаров-дополнителей является тот факт, что никакая добавленная единица к одному из товаров не прибавит общей полезности. В случае данной формулы это также закономерно, так как при любых x₁,x₂>0 min{x₁,x₂}= min{x₁+1,x₂}. Эту функцию можно также легко монотонно преобразовать, не меняя тем самым ее смысл. В общем виде для комплементарных товаров функция полезности может быть задана как f(x₁,x₂)=        min{px₁,qx₂}, где p,q>0 есть те же самые меры соотношения замены одного товара другим.

На Рис.14 кривые безразличия вертикально смещены друг относительно друга, являясь как бы копиями самих себя. Аналитическое уравнение таких кривых в общем виде задается как x₂=k-y(x₁), где k=const принимает единственное значение для каждой кривой: при возрастании k соответствующая кривая лежит выше. Значит, k является мерой полезности, а функция задается уравнением k= f(x₁,x₂)=y(x₁)+x₂.

Рис.14 Квазилинейные предпочтения

Таким образом, функция одновременно линейная относительно x₂ и не всегда линейная относительно x₁ называется функцией квазилинейных предпочтений.

На Рис.15 изображены кривые безразличия стандартного вида, заданные функцией полезности Кобба-Дугласа f(x₁,x₂)= , где c,d>0, при этом разные значения c и d обеспечивают различие в формах кривых.

Рис.15 Кривые Кобба-Дугласа

Такой вид функции  полезности является наиболее простым алгебраическим выражением, позволяющим описать стандартные предпочтения. С ним же можно совершать монотонные преобразования. Например, логарифмирование полезности превратит произведение правой части в сумму g(x₁,x₂)=lnf(x₁,x₂)=clnx₁+dlnx₂. Возведение полезности в степень при введении нового члена a= функция полезности примет вид g(x₁,x₂)= , то есть сумма показателей степени станет равной единице.

2.2 Вычисление  предельной полезности

Пусть потребитель  располагает неким товарным набором (x₁,x₂). Можно вычислить, на сколько изменится полезность для данного потребителя, если увеличить количество товара x₁ на малую величину ∆x₁ при неизменном x₂. Такое отношение будет называться предельной полезностью (MU₁) товара x₁ и вычисляться по формуле MU₁= = .

Таким образом, величина MU всегда зависит от величины самой полезности и того способа, который используется для ее измерения. Это означает, что предельная полезность никак не зависит от характера потребительского поведения, то есть не может быть рассчитана, исходя из выбора потребителя, так как выбор есть лишь информация о ранжировании потребителем различных товарных наборов. Поэтому MU зависит непосредственно от самой функции полезности, при этом ее величина не несет особого смысла, хотя может быть использована для расчета чего-либо, что лишено поведения.

Предельная  полезность может быть удобно использована для расчета предельной нормы  замещения. Поскольку MRS есть наклон кривой безразличия в точке, показывающей отношение, в котором потребитель может заместить x₂ малым ∆x₁, то при перемещении по кривой соблюдается тождество MU₁∆x₁+MU₂∆x₂=0. Из этого следует, что MRS= =- .