Сигналы и их основные характеристики

     Длительность  импульса по уровню 0,5U_m называют активной.

    Импульсы  пилообразной (треугольной) формы не имеют вершины и характеризуются начальным уровнем U₀, амплитудой U_m, временем нарастания t_н, временем спада t_сп, а также скоростью нарастания v_н = U_m / t_н и скоростью спада v_сп = U_m / t_сп. Важнейшим параметром таких импульсов является коэффициент нелинейности пилообразного напряжения К_н, который характеризует изменение скорости нарастания или спада пилообразного напряжения в начале и конце соответствующего временного интервала:

.

     Периодическая последовательность импульсов характеризуется  длительностью импульса t_и, длительностью паузы t_п, периодом повторения Т, частотой повторения F = 1/T, скважностью импульсов Q = T/t_и, коэффициентом заполнения К_з = t_и / T = 1/Q. Периодическую последовательность прямоугольных импульсов, у которой длительность импульсов t_и равна длительности паузы t_п (Q = 2), называют меандром. 
 

1.5. Среднее, средневыпрямленное и действующее значение периодического колебания 

    Рассмотрим  два периодических тока различной  формы и попробуем ответить на вопрос: какой из этих токов больше? Очевидно, что для ответа на поставленный вопрос необходимо использовать параметры колебаний, средние в некотором смысле. Таковыми параметрами являются среднее, средневыпрямленное и действующее значения периодического колебания. Чтобы физический смысл указанных параметров был более понятен, дальнейшее изложение будем вести применительно к току.

    Среднее значение периодического колебания равно среднеарифметическому значению за период колебания:

,

где - заряд, переносимый током за период.

    Таким образом, среднее значение периодического тока равно такому значению постоянного тока, который за время переносит такой же заряд, что и заданное периодическое колебание.

    Если  отрицательный полупериод повторяет по форме положительный полупериод, то . Примером такого колебания является гармоническое колебание. Для характеристики таких колебаний используют средневыпрямленное значение:

,

которое равно  среднему полупериодному значению:

.

    Действующее значение периодического колебания  равно среднему квадратическому значению за период колебания:

.

    Поскольку мощность пропорциональна квадрату тока, то, очевидно, что действующее значение периодического тока равно постоянному току, который эквивалентен по выделяемой мощности. Номинальные токи и напряжения электротехнических устройств определяются , как правило, действующими значениями.

    Для характеристики формы периодических колебаний используют такие понятия как коэффициент нормы

и коэффициент амплитуды

.

    Эти коэффициенты чаще всего используют в электроизмерительной технике для пересчета показаний приборов. 
 

1.6. Спектральное представление периодических сигналов 

    Рассмотрим  спектральное представление периодических  негармонических сигналов. Как известно из курса математики, любая периодическая функция, удовлетворяющая условиям Дирихле (т.е. кусочно-монотонная и ограниченная на отрезке ), может быть представлена рядом Фурье.

    Пусть периодический сигнал S(t) с периодом T отвечает условиям Дирихле. Тогда он может быть представлен рядом Фурье

.

    Частоту называют основной частотой.

    Итак, в общем случае периодический  сигнал, содержит постоянную составляющую и бесконечный ряд гармонических колебаний (гармоник), частота которых кратна основной частоте.

    Каждую  гармонику можно описать ее амплитудой и фазой :

,

где ;  .

    С учетом этих соотношений ряд Фурье  можно представить в следующем  виде

.

    Совокупность амплитуд , отложенных в функции частоты, образует амплитудную спектральную диаграмму сигнала S(t). Совокупность начальных фаз , отложенных в функции частоты, образует фазовую спектральную диаграмму сигнала S(t).

    Амплитудный и фазовый спектры периодического сигнала являются линейчатыми или дискретными. В зависимости от формы сигнала S(t) амплитуды некоторых гармоник могут быть равны нулю.

    Представим  ряд Фурье в комплексной форме  записи:

.

    Окончательно,

.

    Получим формулу для вычисления коэффициентов комплексного ряда Фурье:

.

    Окончательно,

.

    Амплитудный спектр, соответствующий комплексному ряду Фурье, симметричен относительно нулевой частоты. 
 

1.7. Спектральное  представление непериодических сигналов 

    Пусть периодический сигнал s(t) представляет собой одиночный импульс прямоугольной формы, заданный на отрезке , за пределами которого s(t)=0. Чтобы непериодическую функцию s(t) можно было представить рядом Фурье, доопределим ее так, чтобы она стала периодической. Полученную периодическую функцию можно представить рядом Фурье:

,

коэффициенты  которого .

    Умножим и разделим некоторый член ряда Фурье  на . Тогда ряд Фурье можно записать в виде:

.

    По  определению основная частота  . Тогда .

    Выражение в квадратичных скобках представляет собой частотный интервал между составляющими ряда Фурье, равный частоте повторения .

.

    С учетом сказанного ряд Фурье можно  переписать в следующем виде:

.

    Представим  выражение для  :

.

    Но  исходная функция s(t) равнялась нулю всюду, за исключением интервала времени , а функция отлична от нуля не только на интервале . Чтобы вернуться к исходной непериодической функции s(t), устремим период функции к бесконечности. При :

• ;
• модули комплексных амплитуд уменьшаются, стремясь к нулю: ;
• частотный интервал между линиями спектра уменьшается, стремясь к нулю, , т.е. дискретный спектр превращается в сплошной;
• .

    Функцию

     .      

называют спектральной плотностью, спектральной характеристикой или просто спектром непериодической функции  s(t);

• операция суммирования превращается в операцию интегрирования.

    Итак, при  получим:

      .     

    Преобразование, выраженное формулой (*), называют прямым двусторонним преобразованием Фурье. Прямое преобразование позволяет перейти от представления сигнала во временной области s(t) к его представлению в частотной области .

    Преобразование, выраженное формулой (**), называют обратным преобразованием Фурье. Оно позволяет перейти от представления сигнала в частотной области к его представлению во временной области s(t). Оба представления сигнала (временное и спектральное) несут полную информацию о сигнале и являются эквивалентными.

    Согласно  обратному преобразованию Фурье  непериодический сигнал S(t) представляет совокупность бесконечной суммы гармоник с бесконечно малыми амплитудами во всем диапазоне частот от – ¥ до +¥.

    Рассмотрим  соотношение между спектрами  одиночного импульса и периодической последовательности импульсов такой же формы, для чего сравним выражение для спектральной плотности одиночного импульса с выражением для комплексной амплитуды n-ой гармоники соответствующего периодического колебания:

;  .

    В точке 

.

    Из  сопоставления S и следует, что , т.е. модуль спектральной плоскости одиночного импульса и огибающая линейчатого спектра периодической последовательности импульсов той же формы, совпадают по форме и отличаются только масштабом (множитель 2/Т). 
 

1.8. Единичные функции и их свойства 

    Рассмотрим  сигнал, описывающий линейный переход  из нулевого состояния в единичное за время . Математическая модель такого сигнала задается следующими выражениями:

;

;

.

    Если  параметр устремить к нулю, то в пределе переход от нулевого состояния в единичное будет происходить мгновенно. Такой предельный сигнал называют единичным скачком, функцией включения или функцией Хевисайда.

    Математическая  модель функции включения имеет  вид:

;

.

    В общем случае функция включения  может быть смещена относительно начала отсчета времени на величину . В аналитическом виде смещенную функцию включения можно записать следующим образом:

; 
.

    Функцию включения удобно использовать для  аналитического представления различных воздействий, значение которых изменяется скачком в момент коммутации:

;

.

    Например, включение источника постоянного  напряжения с э.д.с. E можно описать следующим образом: .

    Другой  пример. Включение источника гармонического напряжения:

.

    Воздействие в виде прямоугольного импульса может  быть представлено как разность двух одинаковых скачков, сдвинутых во времени на длительность импульса .

.

    Рассмотрим  прямоугольный импульс с единичной  площадью. Устремим длительность импульса к нулю, при этом амплитуда импульса будет стремиться к бесконечности. Предельную функцию, имеющую малую длительность, бесконечно большую амплитуду и единичную площадь называют единичным импульсом,  - функцией или функцией Дирака.