Сравнение эффективности пенсионных вложений

По модели Марковица определяются показатели, характеризующие объем инвестиций и риск что позволяет сравнивать между собой различные альтернативы вложения капитала с точки зрения поставленных целей и тем самым создать масштаб для оценки различных комбинаций.

В качестве масштаба ожидаемого дохода из ряда возможных доходов на практике используют наиболее вероятное значение, которое в случае нормального  распределения совпадает с математическим ожиданием.

Математическое ожидание дохода по i-й ценной бумаге (m_i) рассчитывается следующим образом:

,

где R_i – возможный доход по i-й ценной бумаге, руб.;

P_ij – вероятность получение дохода;

n – количество ценных бумаг.

Для измерения риска служат показатели рассеивания, поэтому чем больше разброс величин возможных доходов, тем больше опасность, что ожидаемый  доход не будет получен. Мерой  рассеивания является среднеквадратическое отклонение⁴:

.

В отличие от вероятностной модели, параметрическая модель допускает  эффективную статистическую оценку. Параметры этой модели можно оценить  исходя из имеющихся статистических данных за прошлые периоды. Эти статистические данные представляют собой ряды доходностей  за последовательные периоды в прошлом.

Любой портфель ценных бумаг  характеризуется двумя величинами:

• ожидаемой доходностью

,

где X_i – доля общего вложения, приходящаяся на i-ю ценную бумагу;

m_i – ожидаемая доходность i-й ценной бумаги, %;

m_p – ожидаемая доходность портфеля, %

• мерой риска – среднеквадратическим отклонением доходности от ожидаемого значения

где s_p – мера риска портфеля;

 s_ij – ковариация между доходностями i-й и j-й ценных бумаг;

X_i и X_j – доли общего вложения, приходящиеся на i-ю и j-ю ценные бумаги;

n – число ценных бумаг портфеля.

Ковариация доходностей ценных бумаг (s_ij) равна корреляции между ними, умноженной на произведение их стандартных отклонений:

где r_ij – коэффициент корреляции доходностей i-ой и j-ой ценными бумагами;

s_i, s_j – стандартные отклонения доходностей i-ой и j-ой ценных бумаг.

Для i = j ковариация равна дисперсии акции.

Рассматривая теоретически предельный случай, при котором в  портфель можно включать бесконечное  количество ценных бумаг, дисперсия (мера риска портфеля) асимптотически будет  приближаться к среднему значению ковариации.

Совокупный риск портфеля можно разложить на две составные  части: рыночный риск, который нельзя исключить и которому подвержены все ценные бумаги практически в  равной степени, и собственный риск, который можно избежать при помощи диверсификации. При этом сумма вложенных  средств по всем объектам должна быть равна общему объему инвестиционных вложений, т.е. сумма относительных  долей в общем объеме должна равняться  единице.

Напомним основное понятие: Портфель – это совокупность финансовых активов, объединенных вместе для реализации целей инвестора, для максимизации прибыли и минимизации убытков. В модели Марковица допустимыми являются только стандартные портфели, портфели без коротких позиций, то есть портфель, состоящий только из купленных акций. 
Отсюда первое ограничение, которое накладывается на портфель, это положительные доли всех ценных бумаг (х_i).

 
Второе ограничение состоит в том, что сумма всех долей ценных бумаг должна составлять 1, это правило нормировки долей. Формула  показывает это ограничение:

 
Так же доходность портфеля будет выглядеть  как сумма доходностей отдельных  акций с выбранными весовыми коэффициентами. Так как каждый инвестор пытается максимизировать получаемую доходность, то необходимо будет максимизировать  эту целевую функцию. В итоге  это будет выглядеть в виде формулы:

 
Помимо доходности инвестору необходимо так же учесть и риск, связанный  с той или иной акцией.

Риск по Марковицу выражается в виде среднеквадратического отклонения δ_i каждой акции. Значение  δ_р – это уровень приемлемого риска для инвестора. В итоге риск всего портфеля представлен формулой:

 
Экономико-математическая модель задачи формирования оптимального портфеля акций максимальной эффективности при которой риск портфеля не превышает заданного значения δ_р , и при учете всех ограничений на портфель, примет следующий вид : 

Теперь начнем строить  оптимальный портфель – для этого  потребуются данные о доходности ГКВ и ГКО.

Данные о доходности ГКВ  и ГКО взяты с официального бюллетеня НБКР за первый квартал 2013 года.

Вначале рассчитаем оптимальный  портфель инвестиций в ГКО и ГКВ  с помощью метода Марковица.

Исходные данные следующие:

Доходность, %
ГКВ	ГКО
0,09679512	0,1497
0,0950746	0,1502
0,09517682	0,1508

Данные взяты с сайта  НБКР по адресу: www.nbkr.kg/index1.jsp?item=137&lang=RUS

Рассчитаем среднюю доходность и среднеквадратическое отклонение по ГКО и ГКВ.

Введем начальные условия, приняв доли портфеля за 0,5 и 0,5. Сформируем оптимальный портфель Марковица с максимальной доходностью при уровне риска, равном 3%.

Ценная бумага	Доходность	Доля ЦБ	Отклонение
ГКВ	0,0957	0,5000	0,0010
ГКО	0,1502	0,5000	0,0006
Ограничения
Сумма долей портфеля		1,0000	=1
Рисковость		0,0006	=<0,03
Целевая функция: Доходность		0,1230

_{Составим  модель Марковица. Обозначим через x1 и x2 доли ГКВ и ГКО.}

_{Тогда доходность будет  равна 0,0957х1+0,1502х2,  риск будет рассчитан как квадратный корень из выражения (0,001х1)² + (0,0006х2)²}

_{Модель  Марковица для нашего случая будет выглядеть следующим образом:}

Вызовем «Поиск решения» и  введем ограничения задачи, а также  целевую функцию:

Получим следующий результат:

Ценная бумага	Доходность	Доля ЦБ	Отклонение
ГКВ	0,0957	0,0000	0,0010
ГКО	0,1502	1,0000	0,0006
Ограничения
Сумма долей портфеля		1,0000	=1
Рисковость		0,0006	=<0,03
Целевая функция: Доходность		0,1502

 

Следовательно, портфель, состоящий  на 100% из государственных казначейских облигаций, способен обеспечить доходность на уровне 15% при уровне риска 0,06% - это гораздо меньше требуемых 3%.

Теперь рассчитаем доходность схемы, предлагаемой НПФ «Кыргызстан».

Нам известна окончательная  сумма, равная 142954,85 сом – она  будет получена через 180 месяцев, при  ежемесячном вложении 300 сом.

Тогда доходность будет найдена  из формулы FVA:

Преобразуем уравнение к  виду .

Методом линейной интерполяции найдем пределы, в которые заключена  доходность НПФ. Доходность колеблется между 11% и 12% годовых.

Как видно, доходность портфеля ГКО гораздо выше, чем доходность в ДосКредо банке. При этом министерство финансов КР гарантирует безопасность вкладов, к тому же их можно конвертировать в сомы в любой момент времени.

Следовательно, выгоднее вкладываться в государственные облигации, нежели инвестировать в ДосКредо банк.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Заключение

В условиях нестабильной экономики  каждый человек должен задуматься о  будущем обеспечении своей жизни. Практика показывает, что государственные  пенсионные программы в Кыргызстане  не отличаются надежностью, что стимулирует  развитие альтернативных вариантов  в виде негосударственных пенсионных фондов.

В курсовой работе было проведено  сравнение эффективности вложений в НПФ «Кыргызстан» против альтернатив  – открытия депозитного счета  в ДосКредо банке и инвестиций в ГКО.

В итоге были получены следующие  результаты:

1) Открыв депозит в  ДосКредо банке, вкладчик через 15 лет будет получать 1666 сомов ежемесячно – это больше, чем предлагает пенсионный фонд. Следовательно, в первом случае выгоднее открыть депозит в ДосКредо банке.

2) Инвестировав в ГКО,  вкладчик получит доходность в размере 15%. Таким образом, инвестировать в ГКО гораздо выгоднее, чем депозит в ДосКредо.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Список литературы

1. «Математические методы в экономике», Кыдыралиев С.К, КРСУ, 2011.

2. «Пенсионные модели  для Кыргызстана», Роман Могилевский,  CASE-Kyrgyzstan

3. Пенсионная система  и проблемы пожилых людей, Аналитическая  записка фонда Сорос-Кыргызстан, 2006

4. Воронин В.П., Федосова СП. Деньги, кредит, банки: Учеб. пособие. - М.: Юрайт-Издат, 2006.

5. www.doscredobank.kg/services/006/

6. http://www.npf.kg/forold

7. www.nbkr.kg/index1.jsp?item=137&lang=RUS

 

 

¹ «Пенсионные модели для Кыргызстана», Роман Могилевский, CASE-Kyrgyzstan

² «Стратегия развития страны (2006 –2010 г.г.)» //htpp:www.open.kg

³ Пенсионная система и проблемы пожилых людей, Аналитическая записка фонда Сорос-Кыргызстан

⁴ Инвестиции “Портфель роста дохода”// Портфель роста дохода. 2009