Оценка ценных бумаг на основании предположения о невозможности арбитражных операций

,

тогда как, если выплаты производятся раз в полгода (m=2), эффективная  доходность составит

.

 

Произвольный период расчета  сложного процента

Если в качестве альтернативы рассматриваются  инвестиции с доходностью r процентов  годовых, причем выплаты осуществляются m раз в год равными долями через  равные промежутки времени, формула  для расчета будущей (через n лет) стоимости сегодняшнего денежного потока Сс примет вид

,       (5.7)

соответственно, сегодняшняя стоимость  суммы Сб, которую инвестор планирует  получить через n лет, будет равна

.        (5.8)

Например, текущая стоимость 100 гривен, которые будут получены через 5 месяцев  при годовой ставке дисконтирования 120% и месячном периоде расчета  сложного процента будет равна

 грн.

 

 

Непрерывный сложный процент

В предельном случае, если период расчета сложного процента считать бесконечно малым (m стремится к бесконечности, то есть процент выплачивается и реинвестируется непрерывно), формулы (5.7) и (5.8) принимают вид

, (5.9)

,        (5.10)

где r - годовая ставка доходности, n - количество лет (в общем  случае - дробное число), e - основание  натурального логарифма: е = 2.718272... . Результат  получен из известной формулы (один из так называемых замечательных пределов)

.

Соответственно, эффективная  ставка процента будет равна

. (5.11)

Дисконтирование с непрерывным  сложным процентом удобно использовать для небольших промежутков времени, или если необходимо сравнить доходность с различной временной структурой выплат. Например, сегодняшняя стоимость 100 гривен, которые будут получены через 3 дня при годовой ставке 120% может быть рассчитана как

 грн.

 

Критерии оценки эффективности инвестиций

Рассмотренные нами принципы соизмерения затрат и доходов  во времени, позволяют сформулировать четкие правила оценки эффективности  инвестиций. Итак, инвестирование выгодно, если суммарная дисконтированная стоимость  доходов, обеспечиваемых данным проектом, превышает суммарную дисконтированную стоимость затрат. Данный критерий носит название критерия чистой приведенной стоимости (net present value, NPV).

 

Чистая приведенная  стоимость

Пусть есть инвестиционный проект, предусматривающий чистые денежные потоки c₀, c₁, c₂, ..., c_t, ..., c_n в моменты времени 0, 1, 2, ..., t, ..., n соответственно (момент 0 будем считать сегодняшним днем).

Чистой приведенной  стоимостью инвестиционного проекта  мы будем называть суммарную сегодняшнюю стоимость чистых денежных потоков, которые обеспечивает данный проект:

        (5.12)

Другими словами, чистая приведенная стоимость - есть суммарная  приведенная стоимость доходов  за вычетом суммарной приведенной стоимости затрат. Тем самым, критерий NPV оценки инвестиционных решений состоит в сравнении сегодняшней стоимости затрат и доходов: если NPV>0 - инвестирование выгодно, если NPV<0 - невыгодно.

Если  считать, что  денежные потоки ct расположены во времени через равные промежутки, равные одному году (то есть с1 возникает через один год, с2 - через два года, и т.д.), то чистая приведенная стоимость рассчитывается как

        (5.13)

где r - максимальная доходность (процентов в год), обеспечиваемая альтернативными способами вложения средств, причем в формуле (5.13) мы предполагаем, что r с течением времени будет неизменной.

Например, для проекта, рассматриваемого в начале данной главы

 млн. гривен, млн. грн.

Если r =10%, то

 млн. грн.

Если длительность промежутков  времени между денежными потоками, возникающими в моменты (t-1) и t (t=0, ...,n) одинакова, но меньше года (пусть, например, m раз в год), чистая приведенная стоимость рассчитывается по формуле

,        (5.14)

здесь r - годовая доходность альтернативных инвестиций с такой  же периодичностью выплат.

В общем случае, для  произвольной непериодичной последовательности денежных потоков, чистая приведенная стоимость рассчитывается по формуле

,       (5.15)

где w(t) - количество лет  до момента t, re - годовая эффективная  доходность альтернативных инвестиций.

Очевидно, что доходность альтернативных инвестиционных решений  может меняться с течением времени, поэтому денежные потоки в общем  случае должны быть дисконтированы по ставке, соответствующей тому моменту  времени, в который они возникают, и более точным вариантом формулы (5.15) будет

,       (5.16)

где r_et - эффективная доходность альтернативных вложений за время от сегодняшнего дня до момента возникновения t-го денежного потока.

 

Пример расчета  чистой приведенной стоимости

Пусть некий инвестиционный проект предусматривает следующие  денежные потоки

 гривен;

 гривен через три месяца;

 гривен через девять месяцев.

В качестве альтернативного  инвестиционного решения рассматривается банковский депозит, обеспечивающий доходность в 40% годовых с ежеквартальной выплатой процентов (10% от суммы вклада выплачивается каждые три месяца).

Вычислим чистую приведенную  стоимость оцениваемого проекта, воспользовавшись формулой (5.14):

 грн.,

то есть инвестиционный проект выгоден (NPV>0). Использование формулы (5.15) дает аналогичный результат. Эффективная  ставка по банковскому депозиту в  нашем примере равна

,

следовательно, чистая приведенная стоимость в соответствии с (5.15)

 грн.

 

Внутренняя норма доходности

Внутренней нормой доходности (internal rate of return, IRR) инвестиции называется такое  значение ставки дисконтирования, при  котором сегодняшняя стоимость затрат равняется сегодняшней стоимости доходов, то есть такое значение r, при котором NPV=0. В общем случае, внутренняя норма доходности есть решение относительно r уравнения:

.        (5.17)

Экономический смысл величины r, полученной из уравнения (5.17) - это такая величина годовой доходности альтернативных способов инвестирования, при условии периодичности выплат m раз в год, при которой чистая приведенная стоимость проекта равна нулю. В дальнейшем, говоря «доходность финансового инструмента», мы будем подразумевать именно величину внутренней нормы доходности, полученную из уравнения (5.17).

 

 

Для того чтобы избежать путаницы в определении внутренней нормы  доходности инвестиций, вызванной возможностью использования разных величин m (периода расчета сложного процента), применяют простое правило. В качестве периода расчета сложного процента берут наименьший период между денежными потоками. В рассмотренном выше примере, так как наименьший период между денежными потоками равен трем месяцам, необходимо использовать квартальный период расчета сложного процента (m=4). Соответственно, внутренней нормой доходности будет решение относительно r уравнения

,

то есть, IRR=44.26% годовых. Эффективная годовая ставка будет равна

 годовых.

Следует отметить, что эффективной  внутренней доходностью инвестиции является решение уравнения (5.16) при m=1.

Критерий внутренней нормы доходности состоит в сравнении величины IRR и доходности альтернативных инвестиционных решений: проект считается выгодным, если IRR > r.

 

Чистая приведенная стоимость  и ставка дисконтирования

Величина чистой приведенной  стоимости в большинстве случаев  отрицательно зависит от ставки дисконтирования. Действительно, чем больше r, тем меньше сегодняшняя стоимость будущих доходов, тогда как затраты, как правило, производятся в начальные периоды реализации инвестиционного проекта. Типичная зависимость NPV от r приведена на рисунке 5-1. Значение r, при котором график NPV пересекает горизонтальную ось (NPV=0) есть внутренняя норма доходности проекта.

 

 

Тем не менее, генерируемые проектом денежные потоки могут быть таковы, что уравнение (5.17) будет  иметь более одного корня. Например, если инвестиция предусматривает значительные затраты в последние периоды реализации проекта, зависимость NPV от r будет такой, как на рисунке 5-2: при низких значениях r, сегодняшняя стоимость будущих затрат велика, соответственно, проект невыгоден; повышение r делает величину NPV положительной, но при дальнейшем росте ставки дисконтирования приведенная стоимость доходов уже не компенсирует первоначальные затраты, соответственно значение NPV становится отрицательным.

 

 

Оба рассмотренные нами критерия оценки эффективности инвестиционных решений  дают одинаковый результат при решении  вопроса о выгодности или невыгодности финансовых вложений. Однако каждый из них имеет свои особенности, и  для любой инвестиции всегда полезно рассчитывать оба показателя. Например, пусть сравнивается эффективность двух проектов. Зависимость NPV от ставки дисконтирования для первого и второго приведена на рисунке 5-3. Проект 2 имеет более высокую внутреннюю норму доходности, тем не менее, если альтернативная доходность  равна r₁, более выгоден проект 1, так как его чистая приведенная стоимость выше.

 

Дисконтирование и риск

До этого, говоря о стоимости  денег во времени, мы подразумевали, что существует полная уверенность  в получении будущих доходов на инвестированные средства, так же как есть полная определенность относительно альтернативных возможностей инвестирования, доходность которых использовалась в качестве ставки дисконтирования. Но как оценить сегодняшнюю стоимость будущих денежных потоков, если нет определенности относительно их размеров?

Правило можно сформулировать следующим  образом: ставка дисконтирования должна соответствовать степени уверенности  инвестора в получении будущего дохода, то есть учитывать степень  риска, связанного с данной инвестицией. Поэтому в качестве ставки дисконтирования должна использоваться доходность альтернативных инвестиционных решений с такой же или сравнимой степенью риска.

Действительно, для несклонного  к риску инвестора две альтернативы по инвестированию средств, - при полной определенности и при риске, - будут эквивалентны, если ожидаемая доходность рискованной инвестиции превышает безрисковую доходность на величину, называемую премией за риск.

Таким образом, если - случайная величина будущего денежного потока, его сегодняшняя стоимость равна

, (5.18)

где Е[.] - оператор математического  ожидания, - ставка доходности по альтернативным возможностям инвестирования со сравнимой степенью риска. Ставка называется еще предполагаемой ставкой доходности для оцениваемой инвестиции.

 

Метод капитализации дохода

Основной проблемой финансовой теории является разработка методов  оценки стоимости финансовых активов. Какова стоимость того или иного актива? Почему он вообще сколько-нибудь стоит? Общий принцип ответа на эти вопросы состоит в следующем. Стоимость любого актива, не только финансового, но и реального, определяется тем, что владение им дает возможность получения некоторых выгод (доходов) на протяжении определенного промежутка времени. Любой актив обладает стоимостью только потому, что обеспечивает некоторые доходы в будущем. Этот принцип лежит в основе метода расчета истинной (внутренней или инвестиционной) стоимости активов, называемого методом капитализации дохода. Метод состоит в том, что истинная стоимость актива считается равной сегодняшней (приведенной) стоимости денежных потоков, генерируемых данным активом:

 

    Инвестиционная Суммарная сегодняшняя стоимость

    стоимость         = будущих денежных потоков                 .

 

Более формально, пусть  ожидаемые денежные потоки, обеспечиваемые владением финансовым активом, составляют с₁, с₂, ..., с_t, ..., с_n, в периоды времени 1, 2, ..., t, ..., n соответственно (для простоты будем считать промежутки времени равными между собой, а денежные потоки - приходящимися на конец каждого периода). Пусть - предполагаемая доходность оцениваемого актива, то есть максимальная доходность альтернативных инвестиций с такой же степенью риска. Тогда инвестиционная стоимость равняется

    (5.19)

Если P - текущая рыночная цена рассматриваемого актива, то его  чистая приведенная стоимость будет равна

NPV = V - P.

Соответственно, внутренней нормой доходности будет решение  относительно r следующего уравнения

 

Информационная  эффективность

С точки зрения финансовой теории, инвесторы, принимая решения о финансовых вложениях, руководствуются, во-первых, собственными целями и предпочтениями относительно риска и дохода, во-вторых - оценкой выгодности инвестиционных возможностей, предлагаемых рынком, то есть оценкой истинной стоимости финансовых активов. Насколько точно инвестор определяет истинную стоимость актива, зависит от того, насколько полно он информирован относительно всех факторов, влияющих на будущие доходы. Если актив свободно продается и покупается на рынке, его цена, в конечном счете, формируется под воздействием спроса и предложения. Если относительно большое число субъектов рынка считает, что истинная стоимость актива выше его текущей рыночной цены (актив недооценен) - спрос на этот актив будет расти и, соответственно, будет расти цена. И наоборот, если в глазах большинства инвесторов, текущая рыночная цена превышает истинную стоимость финансового инструмента (актив переоценен), - вырастет предложение и цена снизится. То есть, если участники рынка ведут себя рационально, цена финансового инструмента будет стремиться к оцениваемой большинством инвесторов истинной стоимости актива. Очень важным является вопрос: насколько точно рынок оценивает истинную стоимость?