Задача по системному анализу

 

 

 

 

Задачи для самостоятельного решения.

 

Задача 26.

Процесс сборки изделия (автомобиля, прибора и т.п.) можно рассматривать как систему, элементами которой являются отдельные операции. Их взаимосвязь представлена матрицей инциденций, приведенной в таблице. По данным таблицы постройте уровни порядка следования операций по очередности. Итоговый результат представьте в виде порядкового графа. 

Таблица к задаче 26

 

Операции	O1	O2	O3	O4	O5	O6	O7	O8	O9	O10	O11	O12	O13
O1			1										1
O2													1
O3
O4			1
O5			1						1	1
O6				1							1	1	1
O7											1
O8		1		1		1	1
O9	1
O10	1						1					1
O11			1
O12
O13			1

Примечание.  Для получения варианта задания следует вычеркнуть  i-ю строку и  i -й столбец, а также  j-ю  строку и  j-й   столбец из исходной матрицы (оставшиеся строки и столбцы не перенумеровываются); для  i = 0  и (или)  j = 0 вычеркиваются 10-я строка и 10-й столбец.

 

Определим систему S = {X, R}, где Х – множество операций, состоящее, например, из 11 операций: Х = (О1, О2, О3, О4, О7, О8, О9, О10, О11, О12, О13); R – отношение порядка “операция Оi предшествует операции Оj”. Матрица инциденций, представленная в таблице, получена на основе анализа технологического процесса с учетом свойств отношения порядка.

Этот пример решается так:  
Шаг 1. Определить векторную строку А0 – сумма строк исходной матрицы А0 =(2,1,4,1,2,0,0,0,1,1,2) 
выделяются операции О8, О9 и О10 образующие порядковый уровень N0:{О8, О9 , О10} – N0. ( 1-й порядковый уровень)  

Эти операции выполняются раньше всех  других (им не предшествует никакая другая операция).

Шаг 2. После преобразования строки А0 – А1 =(0,0,4,0,0, ´, ´, ´,1,0,1) выделяется операция О1, О2 , О4 , О7 ,О12 :{ О1 О2 О4 О7 О12 } – N1 (2-й порядковый уровень). которая выполняется раньше всех других, кроме уже выделенных.

Шаг 3. После преобразования строки А1– А2 =(´,´,2, ´ , ´,´,´,´,0, ´,0) выделяется операция О11 , О13: { О11 О13} – N2 (3-й порядковый уровень).

Шаг 4. А3 =(´,´,0, ´,´,´,´,´,´,´,´) выделяется операция О11:{О11} –  N3 (4 порядковый уровень)

Окончательно получаем, что операции располагаются по уровням порядка следующим образом: {О8, О9 , О10} – N0, { О1 О2 О4 О7 О12 } – N1, { О11 О13} – N2, {О3} –  N3 ,. Таким образом, система разбивается на 4 порядковых уровня. Первыми выполняются операции уровня N0, а последними – операции уровня N3.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Задача 28. 

По результатам испытаний приборостроительной продукции были выявлены типовые неисправности и проведено их ранжирование по ряду признаков. Соответствующая матрица инциденций дана в табл. Постройте уровни порядка на множестве неисправностей по отношению предпочтения («не менее важен, чем»). Итоговый результат представьте в виде порядкового графа.

 

Таблица к задаче 28

 

Неисправности	x1	x2	x3	x4	x5	x6	x7	x8	x9	x10	x11
x1	1						1
x2	1	1						1			1
x3			1	1					1	1
x4				1	1
x5				1	1
x6						1		1
x7							1				1
x8								1
x9			1						1
x10	1			1	1				1	1
x11	1				1	1					1

      

       Примечание.  Для получения варианта задания следует вычеркнуть  i-ю строку и  i -й столбец, а также  j-ю  строку и  j-й   столбец из исходной матрицы (оставшиеся строки и столбцы не перенумеровываются); для  i = 0  и (или)  j = 0 вычеркиваются 10-я строка и 10-й столбец.

 

 

Решение

Из таблицы видно, что вектор-строка А0, равная сумме строк исходной матрицы, не содержит нулей, т.е. алгоритм задачи 2 применить невозможно. Решение строится по алгоритму, рассмотренному в разделе 3 конспекта. Он представлен ниже более подробно.

Шаг 1. Проводим анализ исходной матрицы с целью выявления циклов. Анализ проводится последовательно сверху вниз, начиная с первой строки. Каждый элемент должен входить в один и только один класс эквивалентности. Если какой-то элемент, например х1, уже проанализирован и включен в класс эквивалентности, то к нему уже не возвращаются при дальнейшем анализе. Класс эквивалентности может содержать цикл, а может состоять из отдельных изолированных элементов.

Начинаем анализ с элемента х1. Наша цель определить все пути, ведущие из х1 обратно в х1. Для этого рассмотрим его связи с другими элементами. Элемент х1 связан с самим собой, т.е. он циклический и с х7. Смотрим строку х7. Наша цель – установить, есть ли обратный путь из х7 в х1. Элемент х7 связан с самим собой - циклический, и с х11 а х11 связан с х1 образуя цикл и с х5, х6 пути нет. Таким образом, класс эквивалентности С1 состоит из элемента х1 , х7 и х11.

Рассмотрим теперь связи элемента х2. Он связан с самим собой, т.е. он циклический; а также с х1, х8 и х11.  Смотрим строку х1 связан с самим собой - циклический и х7 пути нет. Элемент х8 связан с самим собой –циклический - пути нет. Элемент х11   связан с х1 пути нет. Получаем класс С2 состоящий из элементов х2.       

Анализируем связи элемента х3. Элемент х3 связан с самим собой-циклический и с х4, х9 и х10. Смотрим строку х4 –циклический. Элемент х9        связан с х3 образуя цикл и сам с собой- циклический. Элемент х10 связан  с х1 , х4 , х9 и с самим собой пути нет. Получаем класс С3 состоящий из элементов х3 и х9. 

Элемент х4-циклический. Получаем класс С4 состоящий из элементов х4

Элемент х7  входит в состав класса С1  поэтому его не рассматриваем.

Анализируем связи элемента х8. Элемент х8 связан только с самим собой-циклический. Окончательно получаем класс С5, состоящий из элемента х8.    

Элемент х9  входит в состав класса С1  поэтому его не рассматриваем.

Анализируем связи элемента х10. Он связан с х1 , х4 , х9 пути нет и самим собой – циклический. Элемент х10 образует класс эквивалентности С6.

Элемент х9  входит в состав класса С1  поэтому его не рассматриваем..

 

Таким образом, анализ показывает, что система содержит 6 классов эквивалентности.

 

Шаг 2. Проводится преобразование исходной матрицы, состоящее в том, что для элементов, входящих в один и тот же класс эквивалентности, единицы, соответствующие связям между ними, заменяются нулями.. Отметим, что преобразованием мы нивелировали (устранили) различие между элементами, связанными циклом, т.е. они стали неразличимы между собой и матрица теперь циклов не содержит. Элементы из разных классов связаны исходным отношением предпочтения. Преобразованная матрица представлена в табл. 2.

 

 

 

 

Неисправности	x1	x2	x3	x4	x5	x6	x7	x8	x9	x10	x11
x1	0						0
x2	1	0						1			1
x3			0	1					0	1
x4				0	1
x5				1	1
x6						1		1
x7							0				1
x8								0
x9			0						0
x10	1			1	1				1	0
x11	0				1	1					0

      

 

Таблица 2 к примеру 1 задачи 28

 

Шаг 3. К преобразованной матрице применим алгоритм задачи 2. Образуем вектор-строку А0, равную сумме строк исходной матрицы А0 = (2 0 0 2 0 1 1 1 2). “Нулевые” элементы х2, х3, х7. Порядковый уровень образуют классы эквивалентности, а не отдельные элементы, т.е. пока не соберутся все элементы, входящие в один класс, они на данном уровне не показываются. В нашем случае: элемент х2 образует класс С2, а элементу х7 для образования класса С1 не хватает элементов х1 и х11  поэтому х7 на данном уровне он не показывается. Элементу х3 для создания класса не хватает х9 – на данном уровне не учитывается. Элемент х2 составляет порядковый уровень N0: {C2} – N0.

Преобразуем строку А0 аналогично задаче 2, получим строку A1 = (1 ´ 0 1 0 0 1 0 0).       “Нулевые” элементы х3, х7, х8 х10 и х11. Элементам х7 и х11 для образования класса не хватает х1, а элементу х3 не хватает х9. Элементы х8 и х10 образуют классы C5 и C10 поэтому они выделяются на этом порядковом уровне N1: {{C5},{C6}} – N1. 

Преобразуем строку А1, получим строку A2 = (0 ´ 0 0 0 ´ 0 ´ 0). “Нулевые” элементы х1, х3, х4, х7 х9 и х11 . Элементы х1, х7 и х11 образуют класс C1. Элементы х3 и х9 образуют класса C3. Элемент х4 образует класс C4. Поэтому на данном порядковом уровне выделяется класс C1, C3, C4    N2: {{C1},{C3},{C4}} – N2.

Окончательный результат имеет вид N0: {C2} – N0., N1: {{C5},{C6}} – N1,  
N2: {{C1},{C3},{C4}} – N2,.

Таким образом, система разбивается на 3 порядковых уровня. Наиболее предпочтительны (важны) классы неисправностей порядкового уровня N0 (класс C2), а наименее предпочтительны (важны) классы уровня N2 (класс С1, С3, С4).

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Задача 76.

 

По данным приведенной ниже таблицы определите наилучший вариант решения, используя следующие методы: аддитивная свертка, мультипликативная свертка, свертка по наихудшему критерию, свертка по наилучшему критерию, метод главного критерия.

Задачу решите для двух случаев: а) важность  критериев одинакова; б) важность критериев составляет соответственно a1 = 0,26, a2 = 0,21, a3 = 0,15, a4 = 0,18.

Таблица к задаче  76

Варианты	K1	K2	K3	K4	K5
B1	19	20	20	21	24
B2	19	21	21	23	24
B3	21	23	22	22	25
B4	23	23	25	24	27
B5	23	24	25	26	27
B6	25	24	26	27	27
B7	23	26	26	29	29