Исследование переходных процессов в линейных электрических цепях

 

По результатам  расчета переходных процессов на рис. 1.3 и 1.4  построены искомые  зависимости.

 

Рис. 1.3. Кривые переходных процессов принужденной 

, свободной   составляющих и тока индуктивности ,   в относительных единицах

 

Рис. 1.4. Кривые переходных процессов тока индуктивности

, напряжения индуктивности   в относительных единицах

 

 

Задача 2. Исследование переходных процессов в линейных цепях постоянного тока

 

В электрической цепи (рис. 2.1), питаемой от сети постоянного тока, происходит коммутация ключом  К.

Требуется:

1. Составить характеристическое  уравнение и найти его корни.

2. Составить уравнения для расчета переходных процессов тока индуктивности , напряжения индуктивности , напряжения конденсатора и его тока для двух вариантов сопротивления и .

3. Рассчитать переходные процессы и построить на одном графике зависимости ,  ,    и в относительных единицах для двух вариантов сопротивления .

4. Построить на одном графике зависимости  ,  при вещественных и комплексных корнях.

Построить на одном  графике зависимости    и при вещественных и комплексных корнях.

Проанализировать  построенные кривые и сделать  соответствующие выводы.

 

Параметры заданной цепи

Таблица 2.2

	Обозначение	Значения	Ед. изм.
Вариант		51
Входное напряжение		200	В
Активное сопротивление		10	Ом
Активное сопротивление		20	Ом
Индуктивность		1200	мГн
Емкость конденсатора		400	мкФ
Номер схемы		1

Исследуемая цепь приведена на рис. 2.2.

Рис. 2.2. Расчетная схема

 

1. Составление  характеристического уравнения  и определение его корней

Перевод индуктивности  из в и емкости из  в   проводим по уравнениям

; .

Одним из методов  составления характеристического  уравнения заключается в следующем:

1. Составляется  выражение для комплексного  входного  сопротивления

.

2. В полученном  выражении  заменяем на и найденное уравнение приравнивается к нулю

.

Из последнего уравнения следует

, ;

где  ; .

Корни характеристического  уравнения .

При положительном  подкоренном выражении корни  вещественные

;  .

При отрицательном  подкоренном выражении корни комплексные  ;  ,

где - коэффициент затухания ;  - частота собственных колебаний .

Результаты  расчетов сведены в табл. 2.3.

Таблица 2.3

	Обозначение	Значения	Ед. изм.
Входное напряжение		200	В
Активное сопротивление		10	Ом
Активное сопротивление		20	Ом
		100	Ом
Индуктивность		1200	мГн
		1.2	Гн
Емкость конденсатора		400	мкФ
		0.0004	Ф
Коэффициент с	1 вариант	133.33	1/c
	2 вариант	33.33	1/c
Коэффициент d	1 вариант	3125.00	1/c
	2 вариант	2291.67	1/c
Подкоренное выражение	1 вариант	1319.44	1/c^2
	2 вариант	-2013.89	1/c^2
Корень характеристического  уравнения при вещественных корнях		-30.34	1/c
Корень характеристического  уравнения  при вещественных корнях		-102.99	1/c
Коэффициент затухания		-16.67	1/c
Частота собственных  колебаний		44.88	1/c

 

2. Расчетные уравнения переходных процессов

 

Уравнения для тока индуктивности  и напряжения на ней при вещественных корнях

; ,

где и - принужденные составляющие  ; .

Начальные условия  по законам коммутации для схемы  рис. 2.2

; .

Постоянные  интегрирования находим из уравнений 

;  ; ; ,

где  ; .

Окончательный вид расчетных уравнений 

; ,

где  , .

Уравнения для  напряжения на емкости  и тока конденсатора при вещественных корнях

; ,

где и - принужденные составляющие  ; .

Начальные условия  по законам коммутации для схемы рис. 2.2

; .

Постоянные  интегрирования находим из уравнений

;  ; ; ,

где  ; .

Окончательный вид расчетных уравнений для  напряжения и тока конденсатора

; ,

где  , .

Уравнения для  тока индуктивности и напряжения на ней при комплексных корнях

,

,

где - постоянная интегрирования;   -  начальная фаза.

Постоянные  интегрирования находим из уравнений

; .

Из последних уравнений  получаем  ; ,

где  ; .

Окончательный вид расчетных уравнений 

; ,

где  .

Уравнения для  напряжения и тока конденсатора при  комплексных корнях

,

,

где - постоянная интегрирования;

      -  начальная фаза.

Подставляем начальные условия в уравнения для напряжения и тока

; .

Из последних уравнений  получаем ; ,

где  ; .

Окончательный вид расчетных уравнений 

; ,

где  .

Результаты  расчетов сведены в табл. 2.4.

 

Таблица 2.4

	Обозначение	Значения	Ед. изм.
Ток индуктивности
Принужденная  составляющая  тока индуктивности	1 вариант	6.67	А
	2 вариант	1.82	А
Принужденная  составляющая  напряжения индуктивности		0.00	В
Начальное значение тока индуктивности		0	А
Начальное значение напряжения на индуктивности		200	В
Коэффициент	1 вариант	-6.67	А
	2 вариант	-1.82	А
Коэффициент		166.67	В
Постоянные интегрирования для тока		-7.16	А
		0.49	А
Постоянные интегрирования для напряжения		260.59	В
		-60.59	В
Начальная фаза		-0.54	рад
Постоянная интегрирования для тока		3.54	А
Постоянная интегрирования для напряжения		4.25	B
Напряжение емкости
Принужденная  составляющая  напряжения на емкости	1 вариант	133.33	B
	2 вариант		B
Принужденная  составляющая  тока емкости		0.00	А
Начальное значение напряжения на емкости		0	B
Начальное значение тока емкости		0	А
Коэффициент	1 вариант	-133.33	В
	2 вариант	-181.82	В
Коэффициент		0.00	А
Постоянные интегрирования  для напряжения		-189.02	В
		55.69	В
Постоянные интегрирования  для тока		2.29	А
		-2.29	А
Начальная фаза для тока		1.22	рад
Постоянная интегрирования  для напряжения		-193.95	В
Постоянная интегрирования  для тока		-0.08	А

 

Для проверки проведенных  расчетов определим начальные значения токов и напряжений по полученным расчетным уравнениям:

для первого  варианта

; ,

; ,

для второго варианта 

, ,

; .

Результаты  расчетов сведены в табл. 2.5.

Таблица 2.5

	Обозначение	Значения	Ед. изм.
Ток индуктивности
Начальное значение тока индуктивности при вещественных корнях		0.00	А
Начальное значение напряжения на индуктивности при  вещественных корнях		200	В
Начальное значение тока индуктивности при комплексных корнях		0.00	А
Начальное значение напряжения на индуктивности при комплексных корнях		200	В
Напряжение  емкости
Начальное значение напряжения на емкости  при вещественных корнях		0.00	В
Начальное значение тока емкости  при вещественных корнях		0.00	А
Начальное значение напряжения на емкости  при комплексных корнях		0.00	В
Начальное значение тока емкости  при комплексных корнях		0.00	А

Результаты  проверки позволяют сказать, что  постоянные интегрирования определены верно.

 

3. Расчет переходных  процессов

При вещественных корнях характеристического уравнения  время переходного процесса 

Задаемся N расчетными точками, приращение времени между двумя расчетными точками .

Для наглядности  графиков переходных процессов их целесообразно строить в относительных единицах (табл.2.6).

Таблица 2.6

	Обозначение	Значения	Ед. изм.
Продолжительность переходного процесса		0.13	c
Количество расчетных  точек		25
Приращение времени		0.0053	c
Базовая величина тока индуктивности		6.67	А
Базовая величина напряжения  индуктивности		200.00	В
Базовая величина тока конденсатора		1.00	А
Базовая величина напряжения  конденсатора		200.00	В

Результаты  расчетов переходных процессов сводим в табл. 2.7.

Таблица 2.7

1	0	0.00	1.00	0.00	0.00
2	0.0053	0.13	0.93	0.93	0.05
3	0.0105	0.25	0.84	1.34	0.15
4	0.0158	0.35	0.75	1.45	0.27
5	0.0211	0.44	0.65	1.42	0.40
6	0.0264	0.52	0.57	1.32	0.52
7	0.0316	0.59	0.49	1.19	0.63
8	0.0369	0.65	0.42	1.05	0.73
9	0.0422	0.70	0.36	0.91	0.82
10	0.0475	0.75	0.31	0.79	0.89
11	0.0527	0.78	0.26	0.68	0.95
12	0.0580	0.82	0.22	0.58	1.01
13	0.0633	0.84	0.19	0.50	1.06
14	0.0686	0.87	0.16	0.43	1.10
15	0.0738	0.89	0.14	0.36	1.13
16	0.0791	0.90	0.12	0.31	1.16
17	0.0844	0.92	0.10	0.27	1.19
18	0.0896	0.93	0.09	0.23	1.21
19	0.0949	0.94	0.07	0.19	1.23
20	0.1002	0.95	0.06	0.16	1.24
21	0.1055	0.96	0.05	0.14	1.26
22	0.1107	0.96	0.05	0.12	1.27
23	0.1160	0.97	0.04	0.10	1.28
24	0.1213	0.97	0.03	0.09	1.29
25	0.1266	0.98	0.03	0.07	1.29
26	0.1318	0.98	0.02	0.06	1.30