Загальна характеристика моделей з розподіленим лагом

г) переходить лаг з поточного періоду. Цей інтегральний лаг утворюється: з частково переходить лага 11, реализующегося в наступному періоді і частково переходить лага 12, реализующегося в перспективі. Подібно лагу 4 для перехідного лага з попереднього періоду лаг 11 спільно з лагом 10 утворює лаг доробку для лага 12 в перспективі. Отже, лаг 11 відіграє таку ж подвійну роль в структурі динаміки, що і лаги 4, 7 і 8, будучи одночасно і лагом зачепила, і перехідним лагом. Велика складність динаміки зовні пояснюється тим, що друга зверху смуга містить вже не два (як на рис. 2), а чотири типи лага. Це означає, що зібрані на ній цикли "охоплюють" всі періоди. Решта смуги - це аналоги відповідних смуг на рис. 2.

Змішана динаміка (у якій спостерігаються цикли суттєво відрізняються за своєю тривалістю) може бути представлена у вигляді комбінації динамік, у яких вже зібрані цикли, що мало відрізняються за тривалістю.

Так само або приблизно так, як були побудовані лагові характеристики динаміки для циклів і періодів, можуть бути виділені відповідні показники і для підциклів, наприклад для всіх підциклів в межах одного циклу, коли його тривалість вимірюється в досить великих в порівнянні з тривалістю підциклів одиницях відліку часу . Подібні одиниці грають тут роль періодів, число яких може бути і більше, ніж для динаміки в цілому.

Тепер можна зробити два важливих зауваження.

1. Вже на цьому рівні уявлення  динаміки лагових систем є  можливість уявити собі, який  же геометричний образ можна  зіставити нетривіальному часу  замість традиційної стріли. На  малюнках 1-3 видно, що всі події  укладаються (розміщуються) на смузі, що проходить під кутом в 45 градусів з лівого нижнього  кута малюнків, причому лівий  край смуги проходить через  початок поточного періоду.

Будемо враховувати, що кожен цикл має структуру і потужність, які графічно розміщуються на площинах, що проходять через горизонтальні лінії перпендикулярно площині аркушів, на яких ці малюнки зображені. Але на плоскому малюнку будова і зовнішні характеристики циклів виявляються невидимі. Навіть для їх подання у найпростішій графічній формі потрібно тривимірне зображення. Стає очевидно, що часовий простір - це щонайменше труба і вже ніяк не пряма. Вісь абсолютного часу в міру руху в майбутнє зсувається вгору щодо цієї нерухомої труби або, що одне і те ж, труба спускається вниз щодо абсолютної осі, якщо остання нерухома. Задня (невидима нами) стінка (поверхня) труби плоска, а вигини бічних і передньої стінок визначаються режимами реалізації циклів. Якщо ж у циклах виділяється їх структура, то для такого подання тимчасового простору його геометричним чином може служити щось вельми складний для нашого обмеженого уяви, наприклад, щось схоже на каналізаційну систему з частково сполученими трубами.

 

3.2 Розглянемо загальну модель з розподіленим лагом, що має кінцеву, максимальну величину лага, яка описується співвідношенням (7.3)

 

Припустимо, було встановлено, що в досліджуваної моделі має місце поліноміальна структура лага, т. е. залежність коефіцієнтів регресії Ь, від величини лага описується поліномом k-Pi ступеня. Окремим випадком поліноміальной структури лага є лінійна модель (рис. 7.1а)). Прикладами лагов, що утворюють поліном 2-го ступеня, являються варіанти рис. 7.1 г; і д). Перевернута V-подібна структура лага також може бути апроксимована за допомогою полінома 2-го ступеня. Нарешті, графік, представлений на рис. 7.1 е), є прикладом моделі лагов у формі полінома 3-го ступеня. Лаги, структуру яких можна описати за допомогою поліномів, називають також лагами Алмон, на ім'я Ш. Алмон, вперше проратівшей увагу на таке подання лагов. Формально модель залежності коефіцієнтів Ь} від величинини лага j у формі полінома можна записати в наступному вигляді:

 

Таблиця 3.2.1 :Динамика объемов ВВП США (у, в ценах 1987 г., млрд долл. США) и валовых внутренних инвестиций в экономику США (х, в ценах 1987 г., млрд долл. США)*

Год	Y	х	zо	z1	z2
1959	1931,3	296,4
1960	1973,2	290,8
1961	2025,6	289,4
1962	2129,8	321,2
1963	2218	343,3	1541,1	2958	8838,4
1964	2343,3	371,8	1616,5	3017,1	8885,5
1965	2473,5	413	1738,7	3179,6	9266,2
1966	2622,3	438	1887,3	3471,3	10129,1
1967	2690,3	418,6	1984,7	3752,6	10929
1968	2801	440,1	2081,5	4020,8	11836,4
1969	2877,1	461,3	2171	4243,3	12664,5
1970	2875,8	429,7	2187,7	4349,3	12997,1
1971	2965,1	481,5	2231,2	4347	12993,4
1972	3107,1	532,2	2344,8	4485,2	13393,6
1973	3268,5	591,7	2496,4	4629,5	13706,3
1974	3248,1	543	2578,1	4819,4	13929,2
1975	3221,7	437,6	2586	5249	15403,6
1976	3380,8	520,6	2625,1	5427,5	16450,1
1977	3533,2	600,4	2693,3	5391,6	16625,2
1978	3703,5	664,6	2766,2	5126,4	15309,2
1979	3796,8	669,7	2892,9	5177,6	14753,2
1980	3776,3	594,4	3049,7	5882,5	17061,3
1981	3843,1	631,1	3160,2	6329,2	18861
1982	3760,3	540,5	3100,3	6478,4	19669,6
1983	3906,6	599,5	3035,2	6264,7	19129,7
1984	4148,5	757,5	3123	5951,4	17951,8
1985	4279,8	745,9	3274,5	6102,4	18117,6
1986	4404,5	735,1	3378,5	6221,4	17819,4
1987	4540	749,3	3587,3	6897,4	20128,2
1988	4781,6	773,4	3761,2	7487,2	22522,8
1989	4836,9	789,2	3792,9	7460,9	22320,9
1990	4884,9	744,5	3796,5	7524,3	22388,1
1991	4848,4	672,6	3734	7645,3	22855,7

 

Процедура застосування методу Алмон для розрахунку параметрів

моделі з розподіленим лагом виглядає наступним чином.

1. Визначається максимальна  величина лага.

2. Визначається ступінь  полінома ку описує структуру  лага.

3. За співвідношенням  розраховуються значення пересних ^, ..., Zk-

4. Визначаються параметри  рівняння лінійної регресії

5. За допомогою співвідношень  розраховуються парамет-ри вихідної  моделі з розподіленим лагом.

Застосування методу Алмон пов'язане з рядом проблем.

По-перше; величина лага / повинна бути відома заздалегідь. при

її визначенні краще виходити з максимально можливого лага, ніж обмежуватися лагами невеликої довжини. вибір меньшего лага, ніж його реальне значення, призведе до того, що в моділи регресії НЕ буде врахований фактор, що робить значительве вплив на результат, т. е. до невірної специфікації моделі.

Вплив цього фактора в такій моделі буде виражено в остатках. Тим самим в моделі не будуть дотримуватися передумови

МНК про випадковість залишків, а отримані оцінки її параметрів виявляться неефективними і змішання. вибір більшої

величини лага в порівнянні з її реальним значенням буде розпочати включення в модель статистично незначного фактора

і зниження ефективності отриманих оцінок, проте ці

оцінки все ж будуть незміщеними. Існує кілька практичних підходів до визначення реальної величини лага, наприклад побудова кількох уравнений регресії і вибір найкращого з цих рівнянь або застосування формальних критеріїв, наприклад критерію Шварца. Однак найбільш простим способом є вимірювання тісноти зв'язку між результатом і лагів значеннями фактора. Крім того, оптимальну величину лага можна наближено визналити на основі апріорної інформації економічної теорії або проведених раніше емпіричних досліджень. По-друге, необхідно встановити ступінь полінома к.

Зазвичай на практиці обмежуються розглядом полиномов 2-й і 3-го ступеня, застосовуючи наступне просте правило: вилайлива ступінь полінома до повинна бути на одиницю більше числа екстремумів в структурі лага. Якщо апріорну інформацію про структуру лага отримати неможливо, величину до простіше все визначити шляхом порівняння моделей, побудованих для

різних значень до, і вибору найкращої моделі.

По-третє, змінні г, які визначаються як лінійні комбінації вихідних змінних х, будуть корелювати між собою у випадках, коли спостерігається висока зв'язок між самими вихідними змінними. Тому оцінку параметрів

моделі доводиться проводити в умовах мультіколлінеарності факторів. Однак мул ьтіколл і неарность факторів го.- »Zk в моделі позначається на оцінках параметрів b0, ..., bt в дещо меншою мірою, ніж якби ці оцінки були напів-

чени шляхом застосування звичайного МНК безпосередньо до моділи в умовах мультиколінеарності факторів * "..., *, _ /.

Це пов'язано з тим, що в моделі (7.15) мультиколінеарності веде до зниження ефективності оцінок С0, ..., ch тому кожен з параметрів ^, ..., bh які визначаються як лінійні комбінації оцінок С0, ..., ск, буде являти собою більш точну оцінку, а стандартні помилки цих установки не будуть переви-

шать стандартні помилки параметрів, отриманих за моделлю звичайним МНК1.

Метод Алмон має дві незаперечні переваги.

• Він досить універсальний і може бути застосований для моді-

лирования процесів, які характеризуються разнообраз-

структурами лагов.

• При відносно невеликій кількості змінних в

(зазвичай вибирають к = 2 або к = 3), яка не приводит до втрати значного числа ступенів свободи, за дощью методу Алмон можна побудувати моделі з распределенвим лагом будь-якої довжини. Приклад. Побудова моделі з розподіленим лагом. У табл. представлені дані про обсяг випуску продукції в бізнес-секторі економіки США (у% до рівня 1982) і загальній сумі витрат на придбання нових заводів і оборунання в промисловості за 1959-1990 рр. (млрд дол. США).Побудуємо модель з розподіленим лагом для / = 4 в предпододатку, що структура лага описується поліномом другого степені. Загальний вигляд цієї моделі:

Формула 3.2.1

 

Для розрахунку параметрів цієї моделі необхідно провести

перетворення вихідних даних в нові змінні Zo> Z \ і г2.

Це перетворення відповідно до (7.14) виглядає наступним чином:

Формула 3.2.2

 

 

Значення змінних Zo> Z {і г2 наводяться в табл. 7.1. отме-

тім, що число спостережень, за якими проводився розрахунок

цих змінних, склало 28 (чотири спостереження було поті-

ряно внаслідок зсуву фаюх) рного ознаки х, на чотири момен-

та часу).

Модель з розподіленим лагом має вигляд:

Формула 3.2.3

= 3000,01 + 1,922 * xt + 1,185 * Хt-1 + 0,184 * xt -2 + 0,811 * Хt-3 + 1,176 * Хt-4; R2 = 0,990.

(66,200) (0,205) (0,100) (0,142) (0,096) (0,208)

У дужках вказані стандартні помилки коефіцієнтів регресії.

Нанесемо отримані значення на графік (рис.2). 

Рисунок 3.2.1 : Структура лага в моделі залежності обсягу ВВП від обсягу інвестицій в економіку

 

Аналіз цієї моделі показує, що зростання інвестицій в еко¬номіку США на 1 млрд. Дол. В поточному періоді призведе через 4 роки до зростання ВВП в середньому на (1,922 + 1,184 + 0,814 + 0,811 + 1,176) = 5,908 млрд. Дол. США.

Визначимо відносні коефіцієнти регресії:

Формула 3.2.4

β0 = 1,922 / 5,908 = 0,325;

β1 = 1,184 / 5,908 = 0,200;

β2 = 0,814 / 5,908 = 0,138;

β 3 = 0,811 / 5,908 = 0,138;

β4 = 1,176 / 5,908 = 0,199.

Більше половини впливу фактора на результат реалізует¬ся з лагом в 1 рік, причому 32,5% цього впливу реалізується відразу ж, в поточному періоді.

Середній лаг в даній моделі складе:

Формула 3.2.5

= 0,325 + 0,200 * 1 + 0,138 * 2 + 0,138 * 3 + 0,199 * 4 = 1,686.

В середньому збільшення інвестицій в економіку США призведе до збільшення ВВП через 1,69 року.

Для порівняння наведемо результати застосування звичайного МНК для розрахунку параметрів цієї моделі:

Формула 3.2.6

= 296,56 +2,082 * xt +0,784 * Хt-1 + 1,298 * xt - 2 + 0,428 * Хt-3 +1,323 * Хt-4; R2 = 0,991.

(67,7) (0,314) (0,428) (0,439) (0,432) (0,324) 

 Хоча коефіцієнт детермінації  по моделі, параметри якої були  розраховані звичайним МНК, трохи  вище, одна¬ко стандартні помилки  коефіцієнтів регресії в моделі, отриманий з урахуванням обмежень на поліноміальну структуру лага, значно знизилися. Крім того, модель, отримана звичайним МНК, володіє більш істотним недоліком: коефіцієнти регресії при лагових змінних цієї моделі Хt-1 і Хt-3 не можна вважати статистично значущими.

 

ВИСНОВОК

Використання різних методів і моделей економетрики має важливе значення в наш час. Постановка і рішення задач, пов'язаних з розробкою економіко-математичних моделей дозволяє фахівцеві досягти високого рівня кваліфікації.

У цій роботі ми розглянули класичний економетрічний підхід до моделі розподілених лагів, вивчили структуру лага і розглянули загальну характеристику моделі з розподіленим лагом. За підсумками даної роботи ми зробили висновок, що стосовно до конкретних економічних процесів існуюча економічна теорія не може і не повинна нав'язувати застосування якоїсь единої і завжди свідомо кращої моделі, що не існує будь-яких формалізованих рекомендацій, якщо, звичайно, не рахуватися з можливістю послідовно перепробувати моделі всіх відомих типів, які дозволили б обрати модель, краще за інших відповідну досліджуваному об'єкту і наявними даними.

Що стосується стабільності умов, необхідних для проведення економетрічних процесів: у разі, якщо вона не має місце для тривалих періодів часу, це призводить до ідеї обобщенія моделі розподіленого лага, що складається в додаванні до неї інших змінних-чинників z1, z2, .. ., значення яких zt, s характерізуют поточні умови функціонування досліджуваної системи в період t.