Надежность технических систем

На основании полученных значений и могут быть построены графики дифференциальной (рисунок 1.7.1.1) и интегральной (рисунок 1.7.1.2) функций. Дифференциальная кривая заменяет полигон распределения, а интегральная – кривую накопленных опытных вероятностей.

По оси абсцисс дифференциальной и интегральной кривых откладывают  в определённом масштабе значения интервалов статистического ряда, а по оси  ординат – значения или . Точки на графике дифференциальной функции находят на пересечении абсцисс, равных серединам интервалов статистического ряда, и ординат, равных , а на графике интегральной функции – на пересечении абсцисс, равных концам интервалов статистического ряда, и ординат, равных .

Рисунок 1.7.1.1 График дифференциальной функции

 

Для определения числа деталей, пришедших в негодность в каком-то интервале износа, нужно площадь  под дифференциальной кривой, соответствующую  этому интервалу, отнести к общей  площади под дифференциальной кривой и полученное значение умножить на общее число испытываемых двигателей.

Рисунок 1.7.1.2 График интегральной функции (функции распределения)

 

Число деталей, в каком-либо интервале  износа, на графике интегральной функции определяют перемножением полученного значения по оси ординат на общее число двигателей.

С помощью дифференциальной или  интегральной функции можно определить число деталей пришедших в  негодность не только в интервалах статистического ряда, но и в любом интервале износа.

 

 

 

 

1.7.2 Использование для выравнивания распределения опытной информации закона распределения Вейбулла

 

Дифференциальную функцию определяют при законе распределения Вейбулла по уравнению:

,

где  и – параметры распределения Вейбулла.

Параметр  , а также и находим по приложению 5 [1] в зависимости от . , , , .

Параметр  рассчитывают по одному из уравнений:

 или  .

.

Дифференциальную функцию определяем по приложению 6 [1]. При этом используем уравнение:

.

Интегральная функция  или функция распределения закона Вейбулла:

.

Эту функцию определяем по приложению 7 [1]. При этом используем уравнение:

.

Таблица 1.7.2.1 Значения дифференциальной и интегральной функций по интервалам статистического ряда при использовании ЗРВ

Интервал, мм	36,10… 36,16	36,16… 36,22	36,22… 36,28	36,28… 36,34	36,34… 36,40	36,40… 36,46	36,46… 36,52
	0,10	0,18	0,21	0,19	0,14	0,09	0,05
	0,12	0,29	0,50	0,69	0,83	0,92	0,97

Рисунок 1.7.2.1 График дифференциальной функции

 

Для определения числа деталей, пришедших в негодность в каком-то интервале износа, нужно площадь под дифференциальной кривой, соответствующую этому интервалу, отнести к общей площади под дифференциальной кривой и полученное значение умножить на общее число испытываемых двигателей.

Рисунок 1.7.2.2 График интегральной функции (функции распределения)

 

С помощью уравнений закона распределения  Вейбулла можно найти число пришедших  в негодное состояние деталей  не только в каждом интервале статистического  ряда, но и в любом интервале износа. Находится аналогично закону нормального распределения.

 

1.8 Оценка совпадения опытного и теоретического законов распределения показателей надёжности по критерию согласия

 

В процессе оценки совпадения определяют степень совпадения или расхождения опытной вероятности и дифференциальной функции или же накопленной опытной вероятности и интегральной функции в интервалах статистического ряда. Для определения совпадения или расхождения выбирают различные критерии: сумму квадратов отклонения дифференциальной функции от опытной вероятности, наибольшее или суммарное отклонение кривой накопленных опытных вероятностей от интегральной кривой теоретического закона распределения и т.д.

При обработке информации по показателям  надёжности наиболее часто применяют  критерий согласия Пирсона , определяемый по уравнению:

,

где  – число интервалов укрупнённого статистического ряда;

 – опытная частота в  -м интервале статистического ряда;

 – теоретическая частота  в  -м интервале статистического ряда.

Теоретическая частота:

,

где  и – интегральные функции -го и -го интервалов статистического ряда.

Для определения  строят укрупнённый статистический ряд, соблюдая условие: , . При этом допускается объединение соседних интервалов, в которых .

В нашем статистическом ряде , , поэтому объединяем 6, 7 интервалы.

Таблица 1.8.1 Укрупнённый статистический ряд

Интервал, мм	36,10… 36,16	36,16… 36,22	36,22… 36,28	36,28… 36,34	36,34… 36,40	36,40… 36,52
	9,5	6	10	8	12,5	8
При законе нормального распределения
	0,12	0,26	0,46	0,67	0,84	0,98
	6,48	7,56	10,8	11,34	9,18	7,56
При законе распределения Вейбулла
	0,12	0,29	0,50	0,69	0,83	0,97
	6,48	9,18	11,34	10,26	7,56	7,56

Критерий согласия Пирсона:

по ЗНР:

,

по ЗРВ:

.

Пользуясь критерием согласия по приложению 8 [1] определяют вероятность опытных и теоретических распределений. Для входа в таблицу определяют номер строки:

,

где  – число интервалов в укрупнённом статистическом ряду;

 – число обязательных связей.

Для закона нормального распределения  и закона Вейбулла число обязательных связей равно трём: , , ; , , .

.

Вероятность совпадения при ЗНР – , а при ЗРВ – .

 

1.9 Определение доверительных границ рассеивания одиночного и среднего значений показателя надёжности

 

Для определения доверительных  границ рассеивания одиночного значения надёжности при ЗНР вначале находят абсолютную ошибку :

,

где  – коэффициент Стьюдента приложение 9 [1].

.

Нижняя доверительная  граница:

,

.

Верхняя доверительная граница:

,

.

Доверительный интервал:

,

.

Среднее квадратическое отклонение рассеивания среднего значения показателя надёжности:

,

.

Нижняя доверительная  граница среднего значения показателя надёжности:

,

.

Верхняя доверительная граница  среднего значения показателя надёжности:

,

.

Доверительный  интервал среднего значения показателя надёжности:

,

.

 

1.10 Определение абсолютной и относительной предельной ошибок переноса характеристик показателя надёжности

 

Наибольшая абсолютная ошибка переноса опытных характеристик показателя надёжности при заданной доверительной вероятности равна по значению в обе стороны от среднего значения показателя надёжности.

 Относительная предельная ошибка:

.