Надежность технических систем

1 СТАТИСТИЧЕСКАЯ ОБРАБОТКА полной информации об износах детали

1.1 Составление сводной таблицы информации в порядке возрастания показателя надёжности (таблица 1.1.1)

 

Таблица 1 Сводная таблица информации об износе внутренней поверхности под ведущий вал шестерни (50-1701198) II ступени редуктора МТЗ-82, мм

№ детали	Размер, мм		№ детали	Размер, мм		№ детали	Размер, мм		№ детали	Размер, мм		№ детали	Размер, мм
1	36,10		12	36,18		23	36,26		34	36,34		45	36,39
2	36,10		13	36,19		24	36,26		35	36,34		46	36,40
3	36,10		14	36,20		25	36,27		36	36,35		47	36,40
4	36,10		15	36,21		26	36,28		37	36,36		48	36,42
5	36,10		16	36,22		27	36,29		38	36,36		49	36,44
6	36,12		17	36,23		28	36,30		39	36,36		50	36,44
7	36,13		18	36,23		29	36,30		40	36,37		51	36,45
8	36,14		19	36,24		30	36,31		41	36,37		52	36,46
9	36,15		20	36,24		31	36,32		42	36,38		53	36,46
10	36,16		21	36,25		32	36,33		43	36,38		54	36,48
11	36,17		22	36,25		33	36,34		44	36,38

 

 

1.2 Составление статистического ряда исходной информации

 

Статистический ряд исходной информации составляется в том случае, когда  повторность информации . При статистический ряд не составляют.

В нашем случае повторность информации , следовательно, целесообразно составить статистический ряд. При этом информацию разбивают на равных интервалов. Число интервалов статистического ряда:

.

Полученный результат округляют до ближайшего целого числа. В нашем случае . Принимаем .

Длина интервала:

,

где  и – наибольшее и наименьшее значения показателя надёжности в сводной таблице информации.

За начало первого интервала  рекомендуют принимать наименьшее значение показателя надёжности.

 

 

 

 

 

 

 

 

Таблица 1.2.1 Статистический ряд

Интервал, мм	36,10… 36,16	36,16… 36,22	36,22… 36,28	36,28… 36,34	36,34… 36,40	36,40… 36,46	36,46… 36,52
Опытная частота	9,5	6	10	8	12,5	6	2
Опытная вероятность	0,18	0,11	0,18	0,15	0,23	0,11	0,04
Накопленная опытная вероятность	0,18	0,29	0,47	0,62	0,85	0,96	1,00

Опытная вероятность:

,

где  – опытная частота в -м интервале статистического ряда.

Накопленную опытную вероятность  определяют суммированием опытных вероятностей интервалов статистического ряда.

 

1.3 Определение среднего значения надёжности и среднего квадратического отклонения

 

Среднее значение – важная характеристика показателя надёжности. По среднему значению планируют работу машин, составляют потребность в запасных частях, определяют объёмы ремонтных работ и т.д.

При наличии статистического  ряда среднее значение показателя надёжности:

,

где  – число интервалов в статистическом ряду;

 – значение середины  -го интервала;

 – опытная вероятность  -го интервала.

Характеристика рассеивания показателя надёжности – дисперсия или среднее  квадратическое отклонение, которое определяют при наличии статистического ряда по формуле:

.

 

 

1.4 Проверка информации на выпадающие точки

 

Информация по показателям надёжности, полученная в процессе испытаний или наблюдений в условиях рядовой эксплуатации, может содержать ошибочные точки, не соответствующие закону распределения случайной величины. Поэтому во время математической обработки информацию проверяют на выпадающие точки.

Грубую проверку информации на выпадающие точки проводят по правилу следующим образом. От полученного расчётным путём среднего значения показателя надёжности последовательно вычитают и прибавляют . Если крайние точки информации не выходят за пределы , то все точки информации считают действительными.

Границы достоверности информации:

нижняя  ;

верхняя .

Наименьший размер , а наибольший . Следовательно, эти точки информации действительны и должны быть учтены при дальнейших расчётах.

Более точно информацию на выпадающие точки проверяют по критерию Ирвина.

Фактическое значение критерия:

,

где  и – смежные точки информации.

При точку считают достоверной; при точку признают выпадающей и исключают из дальнейших расчётов.

Проверим, крайние точи информации об износе канавок:

наименьшая точка информации ;

наибольшая точка информации .

По приложению 1 [1] находим, что при повторности информации и доверительной вероятности  .

Первую и последнюю точки  следует признать достоверными, т.к. и .

 

1.5 Выполнение графического изображения опытного распределения показателя надёжности

 

По данным статистического ряда могут быть построены гистограмма, полигон и кривая накопленных опытных вероятностей, которые дают наглядное представление об опытном распределении показателя надёжности и позволяют решать ряд инженерных задач графическими способами.

Для построения гистограммы (рисунок 1.5.1) по оси абсцисс откладываем в определённом масштабе показатель надёжности , а по оси ординат – опытную вероятность .

Рисунок 1.5.1 Гистограмма накопленных опытных вероятностей

 

При построении полигона распределения (рисунок 1.5.2) по осям абсцисс и ординат откладываем те же значения, что и при построении гистограммы. Точки полигона распределения образуются пересечением ординаты, равной опытной вероятности интервала, и абсциссы равной середине этого интервала. Начальную и конечную точки полигона распределения приравнивают к абсциссам начала первого и конца последнего интервалов статистического ряда.

Рисунок 1.5.2 Полигон распределения износов канавок

 

С помощью гистограммы  и полигона распределения можно  определить, например, число деталей, которые достигли предельного состояния  в заданном интервале износа.

Для построения кривой накопленных  опытных вероятностей (рисунок 1.5.3) по оси абсцисс откладывают в определённом масштабе показатель надёжности , а по оси ординат – накопленную опытную вероятность . Точи кривой накопленных опытных вероятностей образуются пересечением ординаты, равной сумме вероятностей , и абсциссы конца данного интервала. Полученные точки соединяют прямыми линиями. Первую точку соединяют с началом первого интервала.

Рисунок 1.5.3 Кривая накопленных опытных вероятностей

 

Кривая накопленных опытных  вероятностей более удобна для решения  практических задач по сравнению  с гистограммой и полигоном распределения, т.к. в этом случае нет необходимости  определять площади, а все искомые  показатели находят по оси ординат.

С помощью этой же кривой можно найти число вышедших из строя деталей в любом интервале  износа.

 

1.6 Определение коэффициента вариации

 

Коэффициент вариации представляет собой  относительную безразмерную величину, характеризующую рассеивание  показателя надёжности. Коэффициент вариации:

,

где  – смещение рассеивания показателя надёжности – расстояние от начала координат до начала рассеивания случайной величины.

Смещение рассеивания при наличии  статистического ряда рассчитывают по формуле:

,

где  – начало первого интервала статистического ряда.

Тогда

 

1.7 Выбор теоретического закона распределения для выравнивания опытной информации

 

Для Выравнивания распределений показателей  надёжности широко используют закон  нормального распределения (ЗНР) и  закон распределения Вейбулла (ЗРВ).

В первом приближении теоретический  закон распределения выбирают по коэффициенту вариации. При выбирают ЗНР, при – ЗРВ. Если значение коэффициента вариации находится в интервале 0,30…0,50, то выбирают тот закон распределения (ЗНР или ЗРВ), который лучше совпадает с распределением опытной информации.

 

1.7.1 Использование для выравнивания распределения опытной информации закона нормального распределения

 

ЗНР характеризуется дифференциальной (функцией плотностей вероятностей) и  интегральной (функцией распределения) функциями. Отличительная особенность дифференциальной функции – симметричное рассеивание частных значений показателей надёжности относительно среднего значения.

Дифференциальную функцию описывают  уравнением:

,

где  – основание натурального логарифма ( ).

Если принять  и , то получим выражение для центрированной нормированной дифференциальной функции:

.

Центрированная нормированная  функция дана в приложении 2 [1].

Для определения дифференциальной функции через центрированную нормированную  функцию используют уравнение:

.

Кроме того:

.

Интегральная функция  или функция распределения:

.

При условии  и получим центрированную нормированную интегральную функцию:

.

Эта функция приведена в приложении 4 [1].

Для определения интегральной функции  через применяют уравнения:

,

.

Таблица 1.7.1.1 Значения дифференциальной и интегральной функций по интервалам статистического ряда при использовании ЗНР

Интервал, мм	36,10… 36,16	36,16… 36,22	36,22… 36,28	36,28… 36,34	36,34… 36,40	36,40… 36,46	36,46… 36,52
	0,08	0,14	0,20	0,21	0,17	0,10	0,04
	0,12	0,26	0,46	0,67	0,84	0,94	0,98