Теплопроводность

 

 

 

 

Рисунок 8 – Теплопроводность круглого стержня с внутренними  источниками теплоты

 

Уравнение теплового  баланса для любого цилиндрического  элемента внутри стержня радиуса r и  длиной l имеет вид

 

                                   (64)

 

Отсюда следует, что  при наличии внутренних источников теплы в стержне плотность теплового потока q_r изменяется пропорционально радиусу

 

                                        (65)

 

Из этого уравнения  видно, что при r = 0, q_r = 0, а при r = r₀ , т. е. достигает своего максимального значения.

 

Согласно закону Фурье

 

 ,(66)                                  (67)

Интегрируя уравнение (67), получаем:

 

                                    (68)

 

Постоянная интегрирования С определяется из граничных условий. При , , уравнение температурной кривой принимает вид

 

                                           (69)

 

При , , , и уравнение принимает следующий вид

 

                                     (70)

 

Вычитая из уравнения (69) уравнение (70), получаем перепад температуры по радиусу стержня

 

                               (71)

 

где q_l = q_vπr₀².

Если учитывать зависимость  коэффициента теплопроводности от температуры  то, подставляя это значение в уравнение (71), будем иметь

 

                            (72)

 

Интегрируя это уравнение, получаем

 

                         (73)

 

Значение постоянной интегрирования С определяется из граничных  условий. При  , и . Подставляя это значение в уравнение (73) и решая последнее относительно t, получаем следующее уравнение температурной кривой

 

                    (74)

 

 

               6.3 Теплопроводность цилиндрической стенки

Рассмотрим бесконечно длинную цилиндрическую стенку (трубу) с внутренним радиусом r₁ и внешним r₂, коэффицент теплопроводности λ которой постоянен. Внутри этой стенки имеются равномерно распределенные источники теплоты q_v.  Выделившаяся в стенке теплота может отводиться в окружающую среду либо только через внешнюю, либо только через внутреннюю, либо одновременно через обе поверхности трубы.

а)Теплота  отводится через внешнюю поверхность  трубы. Выделим в толще стенки кольцевой слой с радиусами r₁ и r, ограниченный изотермическими поверхностями (рис. 8).

 

 

 

 

 

 

Рисунок 8 – Теплопроводность цилиндрической стенки с внутренними  источниками теплоты 

Согласно закону Фурье  через поверхность радиуса r переносится тепловой поток, отнесенный к единице длины

 

,                                              (75)

 

В рассматриваемом случае . Подставляя это значение в уравнение и производя преобразование, получаем

 

                                  

                                       (76)

 

Интегрируя уравнение (76), имеем

 

                        

                                            (77)

 

Постоянная интегрирования С определяется из граничных условий. При , и .

Подставляя значение С получаем уравнение температурной кривой

 

                                                            (78)

 

Полагая, что значение , получаем перепад температуры в стенке

 

                         (79)                             

 

 

 

 

Если учитывать зависимость  коэффициента теплопроводности от температуры  , то уравнение температурной кривой принимает следующий вид

 

                          (80)

 

                                                              

б) Теплота отводится через внутреннюю поверхность трубы.

Схема процесса показана на рис. 8. Вывод расчетных формул здесь совершенно такой же, как и в предыдущем случае. Поэтому и итоговые уравнения для поля температур и температурного перепада здесь ничем не будут отличаться, за исключением того, что в них везде индексы 1 и 2 меняются на противоположные (т. е. на 2 и 1). Эти уравнения в форме, удобной для практических расчетов, имеют вид:

уравнение температурной  кривой

 

          

               (81)                                 

перепад температур в  стенке

            

                                                                                          ,       (82)

           (83)                       

 

Если учитывать зависимость  коэффициента теплопроводности от температуры  λ = λ₀(1 + bt), то уравнение температурной кривой принимает следующий вид

 

                                           (84)             

 

в) Теплота отводится через обе поверхности трубы. В первом случае (а) наивысшую температуру имеет внутренняя поверхность трубы, во втором (б) - внешняя, а в третьем (в) такая поверхность находится где-то внутри стенки; для нее q = 0.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Рисунок 9 – Теплота отводится через обе поверхности трубы

 

Положим, что радиус этой поверхности равен r_0,, а температура t₀ (рис. 9). Тогда, используя уравнения будем иметь

 

,                (85)

(86)

 

Вычитая, левые и правые части этих уравнений, получаем

 

                                               (87)             

 

Решая уравнение (87) относительно r₀, имеем

 

  

         (88)              

 

Подставляя найденное  значение r₀ в уравнения (86) и (87), определяем значение t₀. Если t₁ = t₂, то уравнение (88) упрощается и принимает следующий вид

 

                                       

                                        (89)

 

Последнее означает, что  в этом случае r₀ от тепловых условий не зависит и определяется лишь размерами трубы (например, при ' r₂= 2 и r₁ = 1 r₀ = 1,46).